Weyl定理及其緊攝動*

楊莉莉, 曹小紅

(陜西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,710119,陜西省西安市)

0 引 言

在本文中,H表示無限維可分的復Hilbert空間,B(H)和K(H)分別表示H上的全體有界線性算子和全體緊算子構成的集合. 對T∈B(H),用n(T)和d(T)分別表示算子T的零空間N(T)的維數(shù)和值域R(T)的余維數(shù),即n(T)=dimN(T),d(T)=dim[HR(T)]=codimR(T). 算子T的升標和降標分別定義為

asc(T)=inf{n∈:N(Tn)=N(Tn+1)},

des(T)=inf{n∈:R(Tn)=R(Tn+1)},

對于T∈B(H),T的譜集定義為

σ(T)={λ∈:T-λI不為可逆算子}.

T的Weyl譜σw(T),Browder譜σb(T),半Fredholm譜σSF(T)分別定義為

σw(T)={λ∈:T-λI不為Weyl算子};

σb(T)={λ∈:T-λI不為Browder算子};

σSF(T)={λ∈:T-λI不為半Fredholm算子}.

顯然,σSF(T)?σw(T)?σb(T).

令ρ(T)=σ(T),ρw(T)=σw(T),ρSF(T)=σSF(T).σ0(T)表示T的所有正規(guī)特征值構成的集合,即σ0(T)=σ(T)σb(T).

設T∈B(H),稱T滿足Browder定理,如果

σ(T)σw(T)?π00(T),

其中,π00(T)={λ∈isoσ(T):0

若σ(T)σw(T)=π00(T),則稱T滿足Weyl定理. 顯然,Weyl定理?Browder定理.

若對任意K∈K(H),T+K都滿足Weyl定理,則稱T具有Weyl定理穩(wěn)定性.

1909年,Weyl[1]在檢查Hermitian算子T的譜結(jié)構時發(fā)現(xiàn),T的所有緊擾動譜集的交集在其譜集中的余集恰好等于它的譜集中孤立點的有限重特征值. 這一性質(zhì)后來被稱為“Weyl定理”. 之后,許多學者對算子的Weyl定理及其穩(wěn)定性作了大量的研究工作(見文獻[2-6]). 本文對B(H)中一類具有特殊譜結(jié)構的算子的Weyl定理及其緊擾動進行討論,并且將文獻[2]中有關復對稱算子Weyl定理的研究結(jié)果進行了拓展.

1 預備知識

引理1.1[7]設T∈B(H). 若λ∈isoσ(T),則下列等價:

(1)λ∈ρSF(T);

(2)λ∈ρw(T);

(3)λ∈σ0(T).

引理1.2[8]設T∈B(H). 若σ(T)=σSF(T)∪σ0(T),則對任意的>0,都存在K∈K(H)滿足‖K‖<,σ(T+K)=σSF(T+K)∪σ0(T+K)且isoσ(T+K)=σ0(T+K).

由引理1.2我們可以得到如下的推論.

推論1.3設T∈B(H),則下面的論述是等價的.

(1)σ(T)=σSF(T)∪σ0(T).

(ⅰ)σ(T+K)=σSF(T+K)∪σ0(T+K);

(ⅱ) isoσ(T+K)=σ0(T+K);

(ⅲ)σ(T+K)=σ(T)∪E,其中E?ρ(T)是至多可數(shù)集.

證明(1)?(2). 參考引理1.2的證明可得,這里不再贅述.

(2)?(1). 設λ0?σSF(T),則T+K-λ0I為半Fredholm算子. 由條件知T+K-λ0I為Browder算子, 則存在δ>0使得B0(λ0,δ)?ρ(T+K). 由(ⅲ)可知ρ(T+K)?ρ(T), 所以λ0∈isoσ(T)∪ρ(T). 由于T-λ0I為半Fredholm算子,結(jié)合引理1.1可知T-λ0I為Browder 算子. 因此σ(T)=σSF(T)∪σ0(T).

注解1.4由引理1.2的證明還可以得到:推論1.3中的(ⅲ)可以替換為accσ(T+K)=accσ(T)∪[isoσ(T)∩σSF(T)].

引理1.5[8]設T∈B(H)且滿足Browder定理,λ0∈isoσw(T),則存在K∈K(H)且K≠0使得λ0∈accσ0(T+K).

注解1.6由引理1.5可以得到下列事實.

設T∈B(H)滿足Browder定理. 若對任意非零緊算子K都有isoσw(T)∩accσ0(T+K)=?,則

(1) isoσw(T)=?;

(2) 對任意K∈K(H)都有isoσ(T+K)=σ0(T+K).

同時,還可以得到下面的推論.

推論1.7設T∈B(H). 若T滿足Browder定理且對于任意K∈K(H)都有accσ(T)=accσ(T+K),則

(1) isoσ(T)=σ0(T);

(2) 對任意K∈K(H)都有isoσ(T+K)=σ0(T+K);

(3)ρw(T)連通.

證明(1) 假設isoσ(T)≠σ0(T),則存在λ0∈isoσ(T)σ0(T). 從而由引理1.1可知λ0∈isoσw(T). 于是由引理1.5可知存在緊算子K0≠0使得λ0∈accσ0(T+K0). 然而據(jù)條件可得λ0∈accσ0(T),矛盾.

同理可證得(2).

(3) 假設ρw(T)不連通,現(xiàn)取其有界連通分支Ω. 令Γ=?Ω?σSF(T),則由文獻[9,引理3.2.6]可知存在K1∈K(H)使得

于是,得到下面的定理.

定理1.8設T∈B(H),則T具有Weyl定理穩(wěn)定性當且僅當下列條件成立:

(1)T滿足Browder定理;

(2) 對于任意K∈K(H)都有accσ(T+K)=accσ(T).

證明必要性. (1)顯然成立. 下面說明(2). 由文獻[5,引理2.1]可知:對于任意K∈K(H)都有isoσ(T+K)=σ0(T+K). 假設λ0?accσ(T+K),則λ0∈isoσ(T+K)∪ρ(T+K),從而T+K-λ0I是Browder算子. 結(jié)合(1)可知T-λ0I是Browder算子, 因此λ0∈σ0(T)∪ρ(T), 于是λ0?accσ(T). 同理可以證得accσ(T+K)?accσ(T).

充分性. 任取K∈K(H),設λ0∈σ(T+K)σw(T+K),則T-λ0I是Weyl算子,從而T-λ0I是Browder算子,于是λ0?accσ(T+K). 由推論1.7可知λ0∈σ0(T+K)?π00(T+K). 反之,設λ0∈π00(T+K),再由推論1.7可知λ0∈σ0(T+K), 因此T+K-λ0I是Weyl算子, 于是T+K滿足Weyl定理.這樣就證明了T具有Weyl定理穩(wěn)定性.

2 主要結(jié)論

在這一節(jié)中,我們對一類具有特殊譜結(jié)構的算子的Weyl定理的緊攝動給出等價刻畫.

定理2.1設T∈B(H). 若σ(T)=σSF(T)∪σ0(T),則對于任意K∈K(H){0},T+K滿足Weyl定理當且僅當下列條件成立:

(1) 對任意K∈K(H){0},accσ(T+K)∪{λ∈:n(T+K-λI)=∞}∪{λ∈σ(T+K):n(T+K-λI)=0}都相同;

(2) 對任意K∈K(H){0}都有accσ(T+K)∪[π00(T)∩σb(T)]=accσ(T)∪[σSF(T)∩isoσ(T)].

證明首先證明必要性. 分以下2種情形來完成.

情形1 isoσ(T)∩σSF(T)=?.

此時isoσ(T)=σ0(T). 從而π00(T)∩σb(T)=?且T滿足Weyl定理,所以T具有Weyl定理穩(wěn)定性. 由定理1.8可知對任意K∈K(H)都有accσ(T+K)=accσ(T). 于是(2)得證.

為證明(1)我們斷言:對任意K∈K(H)都有accσ(T+K)∪{λ∈:n(T+K-λI)=∞}∪{λ∈σ(T+K):n(T+K-λI)=0}=accσ(T).

由于accσ(T+K)=accσ(T),由推論1.7可知isoσ(T+K)=σ0(T+K),于是 [{λ∈:n(T+K-λI)=∞}∪{λ∈σ(T+K):n(T+K-λI)=0}]∩isoσ(T+K)=?,即{λ∈:n(T+K-λI)=∞}∪{λ∈σ(T+K):n(T+K-λI)=0}?accσ(T+K). 于是accσ(T+K)∪{λ∈:n(T+K-λI)=∞}∪{λ∈σ(T+K):n(T+K-λI)=0}=accσ(T+K). 所以斷言得證.

情形2 isoσ(T)∩σSF(T)≠?.

由注解1.4可知存在K0∈K(H)且K0≠0使得σ(T+K0)=σSF(T+K0)∪σ0(T+K0),isoσ(T+K0)=σ0(T+K0)且accσ(T+K0)=accσ(T)∪[isoσ(T)∩σSF(T)]. 此時容易看出T+K0滿足Weyl定理.

類似于情形1可以證明:對任意K∈K(H)都有accσ(T+K)∪{λ∈:n(T+K-λI)=∞}∪{λ∈σ(T+K):n(T+K-λI)=0}=accσ(T+K0).

對于(2),下證對任意K∈K(H){0}都有accσ(T+K)∪[π00(T)∩σb(T)]=accσ(T+K0).

一方面,設λ0?accσ(T+K0),則λ0∈σ0(T+K0)∪ρ(T+K0). 所以T+K0-λ0I是Browder算子,因此T-λ0I是Weyl算子. 于是對任意K∈K(H){0},T+K-λ0I都是Weyl算子. 由σ(T)=σSF(T)∪σ0(T)及T+K滿足Weyl定理可知λ0?σb(T)且λ0?accσ(T+K). 于是λ0?accσ(T+K)∪[π00(T)∩σb(T)]. 包含關系accσ(T+K)∪[π00(T)∩σb(T)]?accσ(T+K0)得證.

另一方面,任取K∈K(H){0},設λ0?accσ(T+K)∪[π00(T)∩σb(T)],則λ0∈isoσ(T+K)∪ρ(T+K).

若λ0∈ρ(T+K),則易知T+K0-λ0I是Weyl算子,從而是Browder的. 于是λ0∈isoσ(T+K0)∪ρ(T+K0),即λ0?accσ(T+K0).

若λ0∈isoσ(T+K),此時斷言λ0?accσ(T+K0). 事實上,若λ0∈accσ(T+K0),則有λ0∈σw(T+K0). 由λ0∈isoσ(T+K)及σw(T+K0)=σw(T)=σw(T+K)?σ(T+K)可知λ0∈isoσw(T+K0). 由于T+K0滿足Weyl定理,于是存在δ>0使得σ=B(λ0,δ)∩σ(T+K0)是σ(T+K0)的一個開閉子集,且σ由λ0和T+K0的可數(shù)個正規(guī)特征值構成. 由文獻[6,推論2.2]可知,此時T+K0可分解為

接下來證明充分性. 對于任意K∈K(H){0},下面說明σ(T+K)σw(T+K)=π00(T+K).

設λ0∈σ(T+K)σw(T+K),則T-λ0I是Weyl算子,從而是Browder算子,所以λ0?accσ(T)∪[isoσ(T)∩σSF(T)]. 由(2)可知λ0?accσ(T+K),所以λ0∈isoσ(T+K)且0

反之,設λ0∈π00(T+K),分2種情形來討論.

情形1 isoσ(T)∩σSF(T)=?.

此時isoσ(T)=σ0(T)且π00(T)∩σb(T)=?, 于是條件(2)即為:對任意K∈K(H){0}都有accσ(T+K)=accσ(T). 因此λ0?accσ(T). 則λ0∈σ0(T)∪ρ(T),從而T+K-λ0I是Weyl算子.

情形2 isoσ(T)∩σSF(T)≠?.

根據(jù)引理2.2可知,存在非零緊算子K0使得σ(T+K0)=σSF(T+K0)∪σ0(T+K0)且 isoσ(T+K0)=σ0(T+K0). 由條件(1)可知λ0?accσ(T+K0),于是λ0∈σ0(T+K0)∪ρ(T+K0),即T+K0-λ0I是Browder算子. 因此λ0∈ρw(T+K).

包含關系σ(T+K)σw(T+K)?π00(T+K)得證.

例2.2令H=l2,設T∈B(H)定義為

T(x1,x2,x3,…)=(0,x2,x3,x4,…),

則σ(T)=σSF(T)∪σ0(T),而且accσ(T)∪[σSF(T)∩isoσ(T)]={1}. 定義K0∈B(H)為

K0(x1,x2,x3,…)=(x1,0,0,…).

則K0∈K(H). 通過計算可知accσ(T+K0)∪[π00(T)∩σb(T)]=?. 于是存在緊算子K0∈K(H){0},使得定理2.1中條件(2)不成立. 因此由定理2.1可知一定存在非零緊算子K,使得T+K不滿足Weyl定理.

下面討論復對稱算子的Weyl定理. 首先看一下復對稱算子的定義:H上的映射C稱為是共軛算子,若C是共軛線性,可逆且C-1=C,并且任給x,y∈H都有〈Cx,Cy〉=〈y,x〉;算子T∈B(H) 稱為是復對稱算子,若存在H上的共軛算子C,使得CTC=T*. 用S(H)表示H上的所有復對稱算子全體.

對復對稱算子的Weyl定理,文獻[2]給出了非常好的結(jié)果. 本文根據(jù)上面的結(jié)果,繼續(xù)來研究復對稱算子Weyl定理的攝動.

推論2.3設T∈S(H),則對任意K∈K(H){0},T+K滿足Weyl定理當且僅當下列條件成立:

(1) 對任意K∈K(H){0},accσ(T+K)∪{λ∈:n(T+K-λI)=∞}∪{λ∈σ(T+K):n(T+K-λI)=0}都相同;

(2) 存在K0∈K(H)使得T+K0滿足Weyl定理,并且對任意K∈K(H){0}都有accσ(T+K)∪[π00(T)∩σb(T)]=accσ(T+K0).

證明由于T∈S(H),則由文獻[2,命題2.7]及引理1.2可知,存在緊算子K1滿足σ(T+K1)=σSF(T+K1)∪σ0(T+K1)且 isoσ(T+K1)=σ0(T+K1). 顯然,T+K1滿足Weyl定理.

必要性. 類似于定理2.1的證明可知,對任意K(H){0}都有accσ(T+K)∪{λ∈:n(T+K-λI)=∞}∪{λ∈σ(T+K):n(T+K-λI)=0}=accσ(T+K1). 于是(1)成立. 由定理2.1的證明可知,取K0=K1可得(2)成立.

充分性. 對任意非零K∈K(H),下面說明σ(T+K)σw(T+K)=π00(T+K).

一方面,設λ0∈σ(T+K)σw(T+K)，從而T+K0-λ0I是Weyl的. 因為T+K0滿足Weyl定理,所以λ0?accσ(T+K0). 由(2)可知λ0?accσ(T+K)，因此λ0∈π00(T+K).

另一方面,設λ0∈π00(T+K),則λ0?accσ(T+K)∪{λ∈:n(T+K-λI)=∞}∪{λ∈σ(T+K):n(T+K-λI)=0}.

下面分2種情形進行討論.

情形1K1=0.

此時有σ(T)=σSF(T)∪σ0(T)且isoσ(T)=σ0(T)，則isoσ(T)∩σSF(T)=?,從而π00(T)∩σb(T)=?. 于是,條件(2)即為accσ(T+K)=accσ(T+K0)對任意非零K∈K(H)都成立.

若K0=0,則λ0?accσ(T). 這樣就有T-λ0I為Browder算子,從而T+K-λ0I為Weyl算子.

若K0≠0,由條件(1)可知λ0∈π00(T+K0)∪ρ(T+K0). 由于T+K0滿足Weyl定理,于是T+K0-λ0I為Weyl算子,從而T+K-λ0I為Weyl算子.

情形2K1≠0.

此時由條件(1)可知λ0?accσ(T+K1)∪{λ∈:n(T+K1-λI)=∞}∪{λ∈σ(T+K1):n(T+K1-λI)=0},即λ0∈ρ(T+K1)∪π00(T+K1). 由T+K1滿足Weyl定理可知T+K1-λ0I是Weyl的,從而T+K-λ0I是Weyl算子.

因此對于任意K∈K(H){0},T+K都滿足Weyl定理.

進一步,得到下面的推論.

推論2.4設T∈B(H)且σ(T)=σSF(T)∪σ0(T),則下列陳述等價：

(1)T具有Weyl定理穩(wěn)定性;

(2) 對任意K∈K(H)都有accσ(T+K)=accσ(T).

對于復對稱算子,也有類似的結(jié)論.

推論2.5設T∈S(H),則下列陳述等價：

(1)T具有Weyl定理的穩(wěn)定性;

(2) 對任意K∈K(H)都有accσ(T+K)=accσ(T).

如例2.2中定義的算子T,即T∈B(l2)定義為

T(x1,x2,x3,…)=(0,x2,x3,x4,…).

容易驗算T∈S(l2). 前面已經(jīng)證明了存在非零緊算子K,使得T+K不滿足Weyl定理,即T不具有Weyl定理的穩(wěn)定性. 由于accσ(T)=?,于是由推論2.4或者推論2.5可知,一定存在非零緊算子K0使得accσ(T+K0)≠?.