非自治擬線性雙曲組的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)精確邊界能控性及漸近穩(wěn)定性*

王利彬

(復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,200433,上海市)

0 引 言

近年來,雙曲型方程組的精確邊界能控性問題被廣泛關(guān)注和研究(見文獻(xiàn)[1,2,5,6]等). 特別地,通過一個模塊結(jié)構(gòu)的構(gòu)造性方法,對一維擬線性雙曲型方程組

(0.1)

的局部精確邊界能控性建立了完善的理論[6]. 概括起來,這個方法主要基于3個基本結(jié)論: 混合初邊值問題半整體經(jīng)典解的存在唯一性; 在沒有零特征值的條件下,時間變量t和空間變量x的地位可交換; 單邊混合初邊值問題在最大決定區(qū)域內(nèi)的經(jīng)典解是唯一的.

2011年,從氣體通過管道網(wǎng)輸運(yùn)以滿足用戶需求這一實(shí)際問題出發(fā),Gugat等人提出了一類新的邊界能控性問題. 與通常的精確邊界能控性不同,這類能控性不是要求在邊界控制的作用下混合初邊值問題的解在某個適當(dāng)大的時間T(>0)達(dá)到給定的終態(tài),而是要求在邊界控制的作用下解在某個適當(dāng)大的時間T以后在一個或幾個節(jié)點(diǎn)處滿足給定的狀態(tài)[4]. 同樣利用一個基于上述3個基本結(jié)論的構(gòu)造性方法,他們的這一結(jié)果很快被推廣到具一般非線性邊界條件的一階擬線性雙曲組(0.1)式,并稱這類能控性為節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的精確邊界能控性[7].

然而,在實(shí)際應(yīng)用中,我們常會遇到非自治的擬線性雙曲組,即(0.1)式中的A或F顯含t的情形. 比如,交通流方程組[3，13]

我們將在第3節(jié)對它進(jìn)行詳細(xì)討論.

對于非自治擬線性雙曲組,是否也有與自治情形類似的精確邊界能控性和節(jié)點(diǎn)狀態(tài)精確邊界能控性呢？前一問題已得到完滿解決[12],對后一問題,若節(jié)點(diǎn)狀態(tài)給在有限時間區(qū)間上時作者已于近期獲得結(jié)果,但在無窮時間區(qū)間上,到目前為止,還沒有相關(guān)結(jié)果. 本文將致力于解決這一問題,即:非自治一階擬線性雙曲組在無窮時間區(qū)間上的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)精確邊界能控性及其漸近穩(wěn)定性.

本文具體安排如下:在第1節(jié),將給出節(jié)點(diǎn)狀態(tài)精確邊界能控性的定義和本文的主要結(jié)論;然后,在第2節(jié)給出主要結(jié)論的證明;最后,在第3節(jié)中將給出主要結(jié)論在交通流系統(tǒng)中的應(yīng)用.

1 定義及主要結(jié)果

考慮如下的非自治一階擬線性雙曲組

(1.1)

其中t是時間變量,x是空間變量,u=(u1,…,un)T是(t,x)的未知向量函數(shù),A(t,x,u)∈C1是給定的n×n矩陣函數(shù),F(t,x,u)是給定的C1模有界的n維向量值函數(shù),且滿足

F(t,x,0)=0.

(1.2)

由(1.2)式知,u=0是(1.1)式的一個平衡態(tài).

由雙曲性,矩陣A(t,x,u)在所考察的區(qū)域上有n個實(shí)的特征值λr(t,x,u)及一組完備的左(相應(yīng)地,右)特征向量li(t,x,u)=(li1(t,x,u),…,lin(t,x,u))(相應(yīng)地ri(t,x,u)=(r1i(t,x,u),…,rni(t,x,u))T)(i=1,2,…,n),即

li(t,x,u)A(t,x,u)=λi(t,x,u)li(t,x,u)(相應(yīng)地A(t,x,u)ri(t,x,u)=λi(t,x,u)ri(t,x,u)),

(1.3)

det|lij(t,x,u)|≠0(相應(yīng)地det|rji(t,x,u)|≠0).

(1.4)

不失一般性,假設(shè)在所考察的區(qū)域上有

li(t,x,u)rj(t,x,u)≡δij(i,j=1,2,…,n),

(1.5)

(1.6)

其中δij表示Kronecker符號.

假設(shè)λi,li和ri(i=1,2,…,n)均為C1模有界的函數(shù)且在所考察的區(qū)域上雙曲組(1.1)沒有零特征值,即

λr(t,x,u)<0<λs(t,x,u)(r=1,2,…,m;s=m+1,…,n),

(1.7)

其中1≤m

vi=li(t,x,u)u(i=1,2,…,n)

(1.8)

為方程組(1.1)的對角化變量.

注意到(1.7),對于方程組(1.1)的前向混合初邊值問題,我們給如下的初始條件

t=0:u=φ(x),0≤x≤L

(1.9)

和邊界條件

x=0:vs=Gs(αs(t),v1,…,vm)+Hs(t)(s=m+1,…,n),

(1.10)

x=L:vr=Gr(αr(t),vm+1,…,vn)+Hr(t)(r=1,2,…,m),

(1.11)

其中φ,Gi,αi(t)和Hi(i=1,2,…,n)均為C1函數(shù),并且αi(t)(i=1,2,…,n)可為向量值函數(shù). 不失一般性,假設(shè)Gi滿足

Gi(αi(t),0,…,0)≡0(i=1,2,…,n).

(1.12)

(1.13)

然后,

(1.14)

要實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的精確邊界能控性,僅需要求初值,給定的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)和已知的邊界函數(shù)具有適當(dāng)小的C1模. 具體地說,有以下定理.

定理1 令T滿足

(1.15)

這個定理的證明將在2.1節(jié)中給出.

下面考察能控性的漸近穩(wěn)定性. 與自治情形類似[11],假設(shè)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)和已知的邊界函數(shù)具有指數(shù)或多項(xiàng)式衰減性,那么可以得到邊界控制函數(shù)和相應(yīng)的混合初邊值問題的解也具有同樣的衰減性.

(1.16)

(1.17)

其中a是正常數(shù),則一定存在邊界控制Hs(t)(s=m+1,…,n),滿足

eat(|Hs(t)|+|h′s(t)|)?1(s=m+1,…,n),?t≥0,

(1.18)

使得混合初邊值問題(1.1)及(1.9)～(1.11)在區(qū)域R={(t,x)|0≤t<+∞,0≤x≤L}上存在唯一的C1解u=u(t,x),滿足

eat(|u(t,x)|+|ut(t,x)|)?1,?t≥0,0≤x≤L,

(1.19)

(1.20)

(1.21)

其中μ是正常數(shù),則一定存在邊界控制Hs(t)(s=m+1,…,n),滿足

(1+t)μ(|Hs(t)|+|h′s(t)|)?1(s=m+1,…,n),?t≥0,

使得混合初邊值問題(1.1)及(1.9)～(1.11)在區(qū)域R={(t,x)|0≤t<+∞,0≤x≤L}上存在唯一的C1解u=u(t,x),滿足

(1+t)μ(|u(t,x)|+|ut(t,x)|)?1,?t≥0,0≤x≤L,

定理2和定理3的證明將分別在2.2節(jié)和2.3節(jié)中給出.

注2 對于方程組(1.1),如果初始條件(1.9)被取在t=T0時刻,其中T0是一個任意給定的正數(shù),那么條件(1.15)應(yīng)被

替代,此時,定理1、定理2和定理3中的相應(yīng)結(jié)論依然成立. 這意味著控制時間T雖然依賴于T0,但系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)精確邊界能控性總能實(shí)現(xiàn). 這一性質(zhì)與非自治雙曲組的精確邊界能控性明顯不同[9].

注3 對于節(jié)點(diǎn)x=0,可以類似地定義和討論其節(jié)點(diǎn)狀態(tài)精確邊界能控性,此時,節(jié)點(diǎn)狀態(tài)給在x=0上,邊界控制取為Hr(t)(r=1,2,…,m),而(1.15)應(yīng)被替代為

2 主要定理的證明

在這一節(jié),將用引言中提到的構(gòu)造性方法來證明本文的主要定理.

2.1 定理1的證明

首先,由(1.7)和(1.15)式知， 存在適當(dāng)小的ε0>0和T1∈(0,T),使得

(2.1)

在區(qū)域R(T1)={(t,x)|0≤t≤T1,0≤x≤L}上,考慮方程組(1.1)具初始條件(1.9)、邊界條件(1.11)及如下人工邊界條件

x=0:vs=gs(t)(s=m+1,…,n)

(2.2)

的前向混合初邊值問題,其中g(shù)s(t)是任意給定的C1[0,T1]模適當(dāng)小的C1函數(shù),且在點(diǎn)(t,x)=(0,0)處滿足C1相容性條件. 由非自治擬線性雙曲組半整體C1解理論[12]可知,此前向混合初邊值問題在區(qū)域R(T1)上存在唯一的C1解u=uf(t,x),其C1模充分小. 特別有

|uf(t,x)|≤ε0,?(t,x)∈R(T1).

(2.3)

由T1

(2.4)

由于方程組(1.1)沒有零特征值,交換t和x的地位得到

(2.5)

對方程組(2.5),考慮半無界區(qū)域R={(t,x)|0≤t<+∞,0≤x≤L}上的左向混合初邊值問題,其邊界條件由原初始條件(1.9)導(dǎo)出

t=0:vr=vr(x)?lr(0,x,φ(x))φ(x)(r=1,2,…,m),0≤x≤L,

(2.6)

初始條件為

x=L:u=u(t),t≥0,

(2.7)

其中u(t)由隱式關(guān)系

(2.8)

確定,這里vs(t)(s=m+1,…,n)已知,vr(t)(r=1,2,…,m)由邊界條件(1.11)給出,即

vr(t)=Gr(αr(t),vm+1(t),…,vn(t))+Hr(t)(r=1,2,…,m),

(2.9)

從而u(t)滿足邊界條件(1.11).

注意到(1.12)式,由(1.11)式有

(2.10)

(2.11)

其中θ∈(0,1). 然后,注意到(1.6)式,Hr(t)和αr(t)(r=1,2,…,m),以及vs(t)(s=m+1,…,n) 具有適當(dāng)小的C1模,從(2.8)式可以得到u(t)在區(qū)間[0,+∞)上滿足

(2.12)

于是,用類似于文獻(xiàn)[11]中定理3.1的證明方法可以獲得: 這個左向問題存在唯一的C1解u=u(t,x),其C1模充分小,特別有

|u(t,x)|+|ut(t,x)|≤ε0,?t≥0,0≤x≤L.

(2.13)

顯然,u=u(t,x)滿足方程組(1.1)及邊界條件(1.11),下面驗(yàn)證其還滿足初始條件(1.9).

事實(shí)上,u=u(t,x)和u=uf(t,x)均為單邊混合初邊值問題(2.5)、(2.6)及

(2.14)

在最大決定區(qū)域Ω上的C1解. 由唯一性有

u(t,x)≡uf(t,x),?(t,x)∈Ω.

(2.15)

注意到(2.3)和(2.13)式,由T1的選取(2.1)式易知,Ω包含初始軸t=0上的區(qū)間[0,L],從而u=u(t,x)滿足初始條件(1.9).

最后,把u=u(t,x)代入到邊界條件(1.10)中,即得到在整個時間區(qū)間t≥0上的邊界控制函數(shù)Hs(t)(s=m+1,…,n),并且由(1.12)和(2.13)式可知‖Hs‖C1[0,+∞)充分小.

2.2 定理2的證明

定理2的證明過程與定理1的證明類似,我們僅僅指出本質(zhì)不同之處.

注意到(1.16)～(1.17),代替(2.12),從(2.8)可以得到

(2.16)

于是,用類似于文獻(xiàn)[11]中定理3.3的證明方法可以獲得: 這個左向問題存在唯一的C1解u=u(t,x),且滿足

eat(|u(t,x)|+|ut(t,x)|)?1,?t≥0,0≤x≤L.

(2.17)

最后,把u=u(t,x)代入到邊界條件(1.10)中,即得到在整個時間區(qū)間t≥0上相應(yīng)的邊界控制函數(shù)Hs(t)(s=m+1,…,n),并且由(1.12)和(2.17)可知(1.18)成立.

2.3 定理3的證明

定理3的證明與定理1和定理2的證明類似,注意到(1.20)～(1.21)式,僅需將(2.16)式中的權(quán)eat換成(1+t)μ,并利用類似于文獻(xiàn)[11]中定理3.5的證明方法即可獲得我們需要的結(jié)論,至于細(xì)節(jié)不再贅述.

3 應(yīng) 用

本節(jié)考慮交通流方程組

(3.1)

A(t,x,ρ0)≡0,

(3.2)

Aρ(t,x,ρ0)>V2(ρ0),

(3.3)

其中ρ0為正常數(shù).

記V(ρ0)為v0,由(3.2)式知,(ρ0,v0)為(3.1)式的一個平衡態(tài).

由(3.3)式知,在(ρ,v)=(ρ0,v0)的一個鄰域,方程組(3.1)是嚴(yán)格雙曲的,其特征值為

相應(yīng)的左特征向量可取為

(3.4)

考慮方程組(3.1)具如下初始條件

和速度邊界條件

x=0:v=v0+h2(t),

(3.5)

x=L:v=v0+h1(t)

(3.6)

從而得到

顯然,(ρ,v)=(ρ0,v0)等價于(V1,V2)=(0,0),并且可將(3.5)～(3.6)改寫為

x=0:V2=-V1+2h2(t),x=L:V1=-V2+2h1(t).

其中a和μ為正常數(shù),則相應(yīng)地由定理1～定理3之一可得該交通流系統(tǒng)在節(jié)點(diǎn)x=L上有節(jié)點(diǎn)狀態(tài)精確邊界能控性和相應(yīng)的漸近穩(wěn)定性,h2(t)為控制函數(shù).

對節(jié)點(diǎn)x=0可進(jìn)行相應(yīng)的討論. 此外,若速度邊界條件(3.5)～(3.6)換成密度邊界條件

x=0:ρ=ρ0+H2(t),x=L:ρ=ρ0+H1(t),

或流量邊界條件

x=0:ρv=ρ0v0+H2(t),x=L:ρv=ρ0v0+H1(t),

在適當(dāng)?shù)臈l件下,也可到相應(yīng)的結(jié)果.