基于Copula理論的成都各區(qū)房屋價(jià)格關(guān)聯(lián)分析

(四川大學(xué)，四川 成都 610065)

1 引言

一個(gè)區(qū)域房?jī)r(jià)的暴漲或暴跌，往往會(huì)呈現(xiàn)星星之火可以燎原的勢(shì)態(tài)向周邊區(qū)域波及，進(jìn)而可能引發(fā)全局性的房?jī)r(jià)同步調(diào)漲跌。若無(wú)法宏觀把控這種房?jī)r(jià)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和溢出效應(yīng)，即使某個(gè)區(qū)域房?jī)r(jià)已發(fā)出明顯的漲跌信號(hào)，仍無(wú)法將信息效益最大化，難以預(yù)判即將到來(lái)的房?jī)r(jià)的整體性震蕩趨勢(shì)。此外，基于我國(guó)土地財(cái)政目前高杠桿、高負(fù)債的特點(diǎn)，將房?jī)r(jià)區(qū)域關(guān)聯(lián)規(guī)律邊緣化會(huì)加劇地方財(cái)政收入、銀行貸款投放以及居民償債能力中潛在的風(fēng)險(xiǎn)，甚至?xí)?gòu)成嚴(yán)重的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)和社會(huì)性危害?！笆濉币?guī)劃布局也明確指出政府部門對(duì)于房?jī)r(jià)的干預(yù)和調(diào)控需要特別考慮房?jī)r(jià)的區(qū)域關(guān)聯(lián)和溢出效應(yīng)。因此，發(fā)掘各個(gè)區(qū)域房地產(chǎn)價(jià)格變化的內(nèi)在關(guān)聯(lián)規(guī)律尤為重要，這樣才能更好地預(yù)估房?jī)r(jià)變化，對(duì)老百姓消費(fèi)與投資進(jìn)行引導(dǎo)。

對(duì)于房?jī)r(jià)聯(lián)動(dòng)關(guān)系和Copula理論，研究者已經(jīng)留下了大量的學(xué)術(shù)成果，具有豐富的研究?jī)r(jià)值，下面將綜述國(guó)內(nèi)外學(xué)者有關(guān)房?jī)r(jià)變化的研究及Copula理論的發(fā)展情況。

1.1 國(guó)外的研究近況

Meen最早提出了“波紋效應(yīng)”，認(rèn)為一個(gè)區(qū)域房?jī)r(jià)的波動(dòng)會(huì)在空間上擴(kuò)散傳導(dǎo)到周圍區(qū)域，引起周邊房?jī)r(jià)的波動(dòng)。Holmes使用時(shí)間序列和截面兩個(gè)維度的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，結(jié)果表明在“波紋效應(yīng)”下，從長(zhǎng)期來(lái)看各地區(qū)的房?jī)r(jià)將逐漸收斂?？v觀Copula理論的發(fā)展，著名的Sklar引理為日后連接函數(shù)理論打下了理論根基。Deheuvels給出了查驗(yàn)不同Copula模型擬合優(yōu)度的標(biāo)尺。Rodriguez指出房?jī)r(jià)在急劇上升或下降時(shí)對(duì)周圍地區(qū)的影響較大，此時(shí)相關(guān)性較顯著。Zimmer使用Clayton-Gumbel Copula發(fā)現(xiàn)美國(guó)四個(gè)州房?jī)r(jià)的上尾相關(guān)性比下尾相關(guān)性更強(qiáng)。

1.2 國(guó)內(nèi)的研究近況

中國(guó)房地產(chǎn)與發(fā)達(dá)國(guó)家相比起步較晚，對(duì)房?jī)r(jià)的研究更多局限于單一區(qū)域。梁云芳、高鐵梅研究發(fā)現(xiàn)我國(guó)房?jī)r(jià)波動(dòng)強(qiáng)度存在區(qū)域性差異，或許有從東部傳播到中西部的“波紋效應(yīng)”。余華義和黃燕芬分析了我國(guó)不同城市房?jī)r(jià)溢出效應(yīng)的強(qiáng)度，GVAR模型的結(jié)果表明一線城市最強(qiáng)、東部地區(qū)減弱、西部地區(qū)最弱。張銜、林仁達(dá)使用向量誤差分析模型發(fā)現(xiàn)我國(guó)房?jī)r(jià)存在短期“波紋效應(yīng)”，表現(xiàn)為依賴型和獨(dú)立型。

2 Copula相關(guān)理論原理

2.1 Copula函數(shù)的定義

N

元Copula函數(shù)是具有以下性質(zhì)的函數(shù)

C

(

u

,

u

,…,

u

):自變量取值范圍是[0,1]；

C

(

u

,

u

,…,

u

)有零基面，且為

N

維增函數(shù)；

C

(

u

,

u

,…,

u

)有邊緣分布函數(shù)

C

(

u

)，(

i

=1,2,…，

N

)，并且有

C

(

u

)=

C

(1,…,1,

u

,1,…,1)=

u

，其中，

u

∈[0,1]，

i

∈(1,2,…,

N

)。Copula理論的核心結(jié)論是Sklar引理，它揭示了Copula理論的基本原理：令

F

(

x

,

x

,…,

x

)是

N

元聯(lián)合分布函數(shù)，對(duì)應(yīng)的邊緣分布為

F

(

x

),…,

F

(

x

)，則存在一個(gè)Copula函數(shù)

C

(

u

,

u

,…,

u

)，滿足：

F

(

x

,

x

,…,

x

)=

C

[

F

(

x

),

F

(

x

),…,

F

(

x

)]

(1)

特別地，邊緣分布的連續(xù)性可以保證Copula函數(shù)的唯一性；相反，給定N個(gè)邊緣分布函數(shù)和一個(gè)Copula函數(shù)，則由式(1)可以確定一個(gè)N元聯(lián)合分布函數(shù)。該定理指明Copula函數(shù)決定了由邊緣分布到聯(lián)合分布以及由聯(lián)合分布到邊緣分布的轉(zhuǎn)換橋梁。聯(lián)合分布函數(shù)的拆解是隨機(jī)性和耦合性的剝離，隨機(jī)性由對(duì)應(yīng)的邊緣分布刻畫，耦合性則由Copula函數(shù)來(lái)描述，不同的耦合方式對(duì)應(yīng)不同的聯(lián)合分布，但這種耦合并不會(huì)改變耦合體與邊緣分布之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)聯(lián)合分布函數(shù)的求解可以轉(zhuǎn)化為求Copula函數(shù)?；诖穗p向粘合的性質(zhì)，Copula函數(shù)又被稱作連接函數(shù)。

2.2 常用的Copula函數(shù)

2.2.1 正態(tài)Copula函數(shù)

N

元正態(tài)(或高斯Gauss)Copula分布函數(shù)表達(dá)式是：

C

(

u

,

u

,…,

u

;

ρ

)=

φ

(

φ

(

u

),

φ

(

u

),…,

φ

(

u

))

(2)

式中，

ρ

是

N

階對(duì)稱正定矩陣，

φ

為

N

元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，且對(duì)應(yīng)的

N

維隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)矩陣為

ρ

，它的對(duì)角元都為1，其他元素是不同變量間的協(xié)方差，

φ

表示一元標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的逆函數(shù)。

2.2.2 t-Copula函數(shù)

N

元t-Copula分布函數(shù)是：

(3)

式中，

t

,為協(xié)方差矩陣是

ρ

、自由度是

k

的

N

元標(biāo)準(zhǔn)

t

分布的分布函數(shù)，表示自由度為

k

的

t

分布的分布函數(shù)的逆函數(shù)。對(duì)于二元情形，自由度為

k

的二元

t

-Copula分布函數(shù)可以寫作：

(4)

2.2.3 阿基米德Copula函數(shù)

阿基米德Copula函數(shù)是由其生成元唯一確定，可以分為對(duì)稱型和非對(duì)稱型，常見(jiàn)的二元Copula函數(shù)有Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)、Frank Copula函數(shù)，都為對(duì)稱型，非對(duì)稱型更適用于三維以上變量間的耦合。二元情況下，Copula分布函數(shù)的參數(shù)只有一個(gè)：

Gumbel Copula：

C

(

u

,

v

;

α

)=

(5)

(6)

Frank Copula：

C

(

u

,

v

;

λ

)=

(7)

3 實(shí)證研究

將成都市成華區(qū)、武侯區(qū)、青羊區(qū)和錦江區(qū)四個(gè)區(qū)域2016—2020年的月度房?jī)r(jià)平均增長(zhǎng)率，作為房?jī)r(jià)的代理變量，研究房?jī)r(jià)增速的相關(guān)程度，每個(gè)區(qū)域的有效樣本數(shù)據(jù)為60個(gè)，其時(shí)間跨度和樣本量足以保證研究的有效性。

3.1 邊緣分布的建立

常用的正態(tài)檢驗(yàn)方法都存在不同的瑕疵，本節(jié)綜合運(yùn)用Jarque-Bera檢驗(yàn)、Kolmogorov檢驗(yàn)和Lilliefors檢驗(yàn)三種方法對(duì)變量的正態(tài)性加以驗(yàn)證。

在常用的刻畫變量分布的方法中，有參數(shù)法和非參數(shù)法，運(yùn)用參數(shù)法的前提是假定變量服從某已知分布，采用樣本觀測(cè)值來(lái)估計(jì)分布中的參數(shù)；但如果變量呈現(xiàn)尖峰、厚尾等非正態(tài)特征，就無(wú)法預(yù)判其分布形式，對(duì)于這種情況應(yīng)使用非參數(shù)法。

3.1.1 正態(tài)性檢驗(yàn)

Jarque-Bera法是以建立的統(tǒng)計(jì)量所呈現(xiàn)的觀測(cè)值大小為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)做出是否拒絕變量服從正態(tài)分布原假設(shè)的決定。因?yàn)檎龖B(tài)分布的偏度為0，峰度為3，若樣本服從正態(tài)分布，則樣本偏度和峰度也應(yīng)分別接近0和3。

Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn)的核心是判斷樣本變量的分布是否與一個(gè)已知分布相同，原假設(shè)為分布相同。采用方法是判斷樣本變量的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與已知分布函數(shù)的距離大小，距離越大，認(rèn)為兩分布相差越遠(yuǎn)，當(dāng)超過(guò)給定的閾值時(shí)，拒絕原假設(shè)。

Lilliefors檢驗(yàn)是對(duì)KS檢驗(yàn)的發(fā)展和修正，根據(jù)觀測(cè)值來(lái)估計(jì)變量的均值和方差，算出分布函數(shù)和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的最大差值，而對(duì)于差值是否足夠大的評(píng)估，這一過(guò)程比KS檢驗(yàn)更加復(fù)雜。

根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果，這三個(gè)區(qū)房?jī)r(jià)增速序列非正態(tài)，因此使用非參數(shù)法求解其分布。

3.1.2 非參數(shù)法求解邊緣分布

非參數(shù)法核密度估計(jì)法的核心原理是對(duì)于任意一點(diǎn)

x

處的密度函數(shù)估計(jì)值的大小與該點(diǎn)鄰域內(nèi)樣本點(diǎn)的稠密程度有關(guān)，分布越密集，該點(diǎn)的密度函數(shù)估計(jì)值越高，并按照樣本點(diǎn)與

x

的距離大小分配權(quán)重，權(quán)重函數(shù)為

K

(

x

,

x

)，即核函數(shù)。核函數(shù)可以有各樣的形式，但共同點(diǎn)是一定為某個(gè)分布的密度函數(shù)，取不同的核函數(shù)對(duì)最終結(jié)果影響差異性不大。

3.2 二元Copula函數(shù)的估計(jì)

得到了邊緣分布之后，對(duì)于相關(guān)性的探究就轉(zhuǎn)化為Copula函數(shù)的估計(jì)，它體現(xiàn)著這些邊緣分布之間的相依結(jié)構(gòu)，加之它對(duì)于邊緣分布沒(méi)有特殊要求，在揭示尾部相關(guān)上有良好的性質(zhì)，對(duì)房?jī)r(jià)之間的關(guān)聯(lián)有精準(zhǔn)的刻畫。

若兩區(qū)域的房?jī)r(jià)增速在較大值和較小值處分布相對(duì)對(duì)稱，則可以選用具有對(duì)稱厚尾的

t

-Copula來(lái)描述其相關(guān)結(jié)構(gòu)，而 Frank Copula、Gauss Copula尾部漸進(jìn)獨(dú)立，無(wú)法捕捉尾部相關(guān)，對(duì)于重視尾部風(fēng)險(xiǎn)的房?jī)r(jià)相關(guān)性來(lái)說(shuō)不是很好的選擇；若尾部不對(duì)稱，則選用阿基米德人工合成的Copula模型，比如 Clayton Copula對(duì)下尾相關(guān)更敏感而上尾獨(dú)立， Gumbel Copula對(duì)邊緣分布的上尾粘合效果更好但無(wú)法描述下尾相關(guān)性。

此處采用的擬合手段是調(diào)用copulafit函數(shù)計(jì)算相應(yīng)Copula函數(shù)的參數(shù)。

3.3 模型評(píng)價(jià)

至此，得到了區(qū)域之間房?jī)r(jià)的Copula函數(shù)的參數(shù)，對(duì)于最優(yōu)Copula函數(shù)的選取，評(píng)價(jià)依據(jù)是：所求的Copula函數(shù)與樣本經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)偏差越小，則認(rèn)為擬合效果更佳。使用樣本數(shù)據(jù)擬合對(duì)應(yīng)的樣本經(jīng)驗(yàn)Copula函數(shù)

C

(

u

,

v

)，在多維空間中分別比較樣本經(jīng)驗(yàn)函數(shù)與這五種Copula函數(shù)的綜合距離的平方：

(8)

可以得出成華青羊、成華錦江、武侯錦江選取Gumbel Copula，成華武侯、青羊武侯、青羊錦江選用

t

-Copula，

t

-Copula與Gumbel Copula的密度函數(shù)通式分別見(jiàn)式(4)和式(5)，相應(yīng)參數(shù)見(jiàn)表1。

成華青羊成華武侯成華錦江青羊武侯青羊錦江武侯錦江tρ0.81640.70070.7336k2.02611.00001.3652Gumbel3.04432.38912.2087

3.4 模型結(jié)論和購(gòu)房建議

3.4.1 模型結(jié)論

根據(jù)計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，四個(gè)區(qū)域房?jī)r(jià)整體上存在較高的上尾部相關(guān)，即當(dāng)出現(xiàn)或嚴(yán)重通貨膨脹等極端狀況時(shí)，房?jī)r(jià)往往表現(xiàn)出同漲同跌的趨勢(shì)。成華武侯、青羊武侯、青羊錦江尾部結(jié)構(gòu)是對(duì)稱的，成華與青羊、成華與錦江、青羊與錦江之間，房?jī)r(jià)同時(shí)上升時(shí)兩者同向運(yùn)動(dòng)的態(tài)勢(shì)要強(qiáng)于房?jī)r(jià)同時(shí)下降時(shí)兩者同向運(yùn)動(dòng)的態(tài)勢(shì)。但除去極端情況后，一般情況下房?jī)r(jià)間的非線性相關(guān)結(jié)構(gòu)格外復(fù)雜，并無(wú)固定規(guī)律可循，宏觀政策的調(diào)控可能對(duì)彼此產(chǎn)生正向影響或負(fù)向影響。作為成都市的主城區(qū)，由于經(jīng)濟(jì)聯(lián)系緊密，整體房?jī)r(jià)漲跌聯(lián)系也是十分密切的。由于成都向東向南的發(fā)展趨勢(shì)，盡管這四個(gè)區(qū)都地處“中優(yōu)”，但相較青羊區(qū)，剩下三區(qū)會(huì)更加被發(fā)展大潮流帶動(dòng)，因此，未來(lái)這三個(gè)區(qū)域房?jī)r(jià)的聯(lián)系可能會(huì)更加密切。

但成都主城區(qū)的這種完善和成熟，也導(dǎo)致當(dāng)?shù)胤康禺a(chǎn)行業(yè)趨于飽和，規(guī)模效應(yīng)大不如周邊的發(fā)展中區(qū)域，房子的增值空間更易被壓縮。而在不成熟的區(qū)域，如果規(guī)劃政策足夠優(yōu)質(zhì)，房?jī)r(jià)漲幅可能會(huì)較大，甚至成為領(lǐng)漲區(qū)；但對(duì)于這些成熟區(qū)域而言，難有大的規(guī)劃利好刺激，也不太會(huì)出現(xiàn)領(lǐng)漲的區(qū)域。

3.4.2 購(gòu)房建議

在房住不炒的背景下，現(xiàn)階段成都的樓市一般來(lái)說(shuō)不會(huì)出現(xiàn)某個(gè)區(qū)域房?jī)r(jià)大幅度上漲的情況，只要有異常高漲的苗頭，就逃不脫當(dāng)?shù)卣{(diào)控政策的精準(zhǔn)打擊。因此在選擇這四個(gè)區(qū)域購(gòu)房時(shí)，沒(méi)有所謂的方向論，不存在不能買的區(qū)域，只存在不能買的價(jià)格。對(duì)區(qū)域的選擇，購(gòu)房者要根據(jù)自身的不同需求做出具體選擇；對(duì)樓市的判斷，則要細(xì)分到板塊、精確到小區(qū)甚至是樓層戶型。不同區(qū)域的每個(gè)方向，都有值得購(gòu)買的小區(qū)，同樣也有不劃算的房源，因?yàn)槊總€(gè)小區(qū)在所處板塊的定位不同，具體情況不同，其增值潛力上的情況也大不相同。