利用解題教學培養(yǎng)師范本科生的創(chuàng)新思維能力

仲崇軼，夏順友*，王常春，陳治友，李艷琴

(1.貴州師范學院數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，貴州 貴陽 550018；2.遵義師范學院數(shù)學學院，貴州 遵義 563006；3.貴陽學院數(shù)學與信息科學學院，貴州 貴陽 550005)

0 引言

數(shù)學課堂教學不僅要傳授數(shù)學知識、掌握數(shù)學方法和領(lǐng)會數(shù)學思想，還要強調(diào)立德樹人和創(chuàng)新思維的培養(yǎng)。師范類數(shù)學專業(yè)本科生在成為一名數(shù)學教師前必須進行“上通數(shù)學，下達課堂”的數(shù)學專業(yè)知識和數(shù)學課堂教學理論以及課堂教學技能的專門培養(yǎng)和訓練。數(shù)學課堂教學離不了“數(shù)學概念教學、數(shù)學命題教學和數(shù)學解題教學”三個基本教學內(nèi)容。數(shù)學概念教學是整個教學的基礎(chǔ)，數(shù)學命題教學是深化，數(shù)學解題教學是前兩者的鞏固、延伸和應(yīng)用。數(shù)學解題教學在數(shù)學教學中起到舉足輕重的作用，所以在解題和解題教學方面有許多好的研究成果，如波利亞的《怎樣解題》和《數(shù)學解題思維策略》，羅增儒的《數(shù)學解題學引論》和《中學數(shù)學解題的理論與實踐》，吳有昌和王林全等的《中學數(shù)學解題研究》等。從這些論著中可見貫徹“源于教材而高于教材，基于教材而不拘泥于教材”的解題教學才是更有效的課堂教學。因此本文將以近兩年高中數(shù)學學業(yè)水平考試中的幾個代表性題目為例，論述如何利用解題教學培養(yǎng)師范生的創(chuàng)新思維能力以啟迪學生脫離“題?！崩Ь?，并以培養(yǎng)靈活的思維為導向，重在提供可以借鑒的教學題例，可以參考的教學方法，可以模仿的教學策略和教學模式。

1 平面解析幾何中的點到直線的距離公式

1.1 點到直線的距離公式

1.2 題例1(2020年12月貴州普通高中學業(yè)水平考試第35題)

點到直線的距離公式是六個變量的一個方程，已知其中五個可求余下的一個，這是基本認識。如果考慮點P0(x0，y0)在不同的圖象上，或直線l的方程有不同特征，或者把確定與不確定條件互換等，就可以創(chuàng)造出與題例1相似甚至更新穎的問題。

1.3 題例1培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的實踐

學生對點到直線的距離公式的理解容易限于點的坐標和直線方程確定的情況，常重點強調(diào)直線方程必須化成一般式便于準確確定公式中的系數(shù)A、B、C，從而能準確利用公式的這個基礎(chǔ)層面。在實際教學中，第一個層面要讓學生對中學數(shù)學中所有公式，以含有未知數(shù)的等式來理解，即，把點到直線的距離公式看作一個六元方程，這有利于學生發(fā)散思維的培養(yǎng)，從而提升創(chuàng)新思維能力。第二個層面是點或直線有變動的情形，可以組織學生分組創(chuàng)造出相應(yīng)的題目，并匯報。第三個層面是學生創(chuàng)新思維培養(yǎng)的關(guān)鍵教學階段，也是課堂上學生思維最活躍的階段。綜上，通過學生討論，引導完成下面三個問題的案例創(chuàng)造。

(1)點固定，直線變動的問題與解答。此處僅附一個案例(解答略去)供參考。

案例1.1：已知點P(3，1)，點A(0，2)，點Q是圓O：x2+y2=1上一動點，求點P到直線AQ的距離的最大值和最小值。

(2)點變化，直線固定的問題與解答。此處僅附一個案例(解答略去)供參考。

案例1.2：已知直線l的方程為x-y-6=0，點P在拋物線y=x2上，求點P到直線l的距離的最小值。

(3)點變化，直線也變化的問題與解答。此處僅附一個案例(解答略去)供參考。

題例1中，由于圓的特殊性，問題本身雖然屬于點和直線都變化的情形，但最后都歸結(jié)為圓心到直線的距離來考慮，從而轉(zhuǎn)為了點固定而直線變化的情形。

2 數(shù)列中裂項、疊加和迭代

在這里，僅對等差數(shù)列定義以及通項與求和之間關(guān)系中的思想方法的本質(zhì)進行闡述，對不同題例的本質(zhì)進行挖掘。關(guān)于等比數(shù)列的情形，可以通過類比處理。

2.1 等差數(shù)列定義以及通項與求和關(guān)系

等差數(shù)列定義的關(guān)鍵是遞推關(guān)系。具體的， 從第二項開始，后項減前項等于公差，即

a2-a1=d

a3-a2=d

……

an-1-an-2=d

an-an-1=d

前n-1個式子疊加可得an=a1+(n-1)d.

(1)上面疊加中關(guān)鍵是有“相消”的特征，從而也蘊含了“裂項”的思想(式子從右往左看)。

如果改寫這些式子為：

a2=a1+d

a3=a2+d

……

an-1=an-2+d

an=an-1+d.

前n-1個式子，從第一式依次往后迭代同樣可以得到an=a1+(n-1)d.

(2)迭代中體現(xiàn)了“遞推”及其反向的“遞歸”。 再看通項與求和的關(guān)系：

a1=S1

a2=S2-S1

a3=S3-S2

……

an-1=Sn-1-Sn-2

an=Sn-Sn-1

如果將這些式子改寫為：

S1-0=a1

S2-S1=a2

S3-S2=a3

……

Sn-1-Sn-2=an-1

Sn-Sn-1=an，

此時與等差數(shù)列定義的式子的左邊和右邊對比，會發(fā)現(xiàn)它們形式上有相同之處，而不同之處在于左邊字母符號不同，前者的右邊是后者右邊的特殊形式。

2.2 題例2(2020年12月貴州普通高中學業(yè)水平考試第43題)

解法一：(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.

從而

Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn

=[12·21-(1-1)2·21-1]+[22·22-(2-1)2·22-1]+[32·23-(3-1)2·23-1]+…+[(n-1)2·2n-1-((n-1)-1)2·2(n-1)-1]+[n2·2n-(n-1)2·2n-1]

=n2·2n.

所以數(shù)列{bn}的前n項和Tn=n2·2n.

數(shù)列求和除利用等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式外，可以分組求和、錯位相減求和、逆序相加求和、裂項求和等等。而錯位相減求和，逆序相加求和、裂項求和都可以在基本題型和思想方法上進行拓展創(chuàng)新，以此培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。

2.3 題例2培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的實踐

題例2的關(guān)鍵是將數(shù)列{bn}的通項公式巧妙裂項為bn=n2·2n-(n-1)2·2n-1，從而疊加，相消，即b1=12·21-(1-1)2·21-1

b2=22·22-(2-1)2·22-1

…

bn-1=(n-1)2·2n-1-((n-1)-1)2·2(n-1)-1

bn=n2·2n-(n-1)2·2n-1，

這n個式子疊加，可得Tn=n2·2n.

如果對數(shù)列{bn}的通項公式裂項為

bn=(n+1)2·2n-1-2n，

則題例2的第二問有以下第二種解法。

解法二：因為

=(n+1)2·2n-1-2n，

所以，有

①

于是，有

②

①-②得

③

進而有

④

③-④得

=n2·2n.

解法一裂項最佳，疊加相消就求出了Tn，而解法二裂項后與解法一的形式有不同，所以需要利用錯位相減的思想方法進行。

通過完成以下教學任務(wù)，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。

(1)由于解法一沒有學生想到，只有部分學生想到與解法二類似的求解，因此在教學中，在學生討論探索之后，要講授和啟發(fā)學生深刻理解等差數(shù)列定義式、通項與求和公式關(guān)系和題例2的裂項式之間的共同本質(zhì)。簡述如下：

等差數(shù)列定義式an+1-an=d，n=1，2，…，式中后項減前項均為常數(shù)d，而和式與通項的關(guān)系式S1=a1，Sn+1-Sn=an+1，n=1，2，…中，后項減前項都為常數(shù)d，后者是求和數(shù)列{Sn}從第二項開始的后項減前項為變數(shù)an+1，如果an+1=d，n=1，2，…，則定義式和關(guān)系式相同。因此不把Sn看作數(shù)列{an}的前n項和，比如寫作an+1-an=bn+1，n=1，2，…，就容易把定義式視為關(guān)系式的一種特例。下面的案例供參考(解答略)。

案例2.1：已知數(shù)列{an}，{bn}滿足an+1-an=bn+1，n=1，2，…，且a1=0，以及bn=2n-1，n=1，2，…，求數(shù)列{an}的通項公式。

案例2.2：已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=1，且an+1-an=bn+1，bn=2n，n=1，2，…，求數(shù)列{an}的通項公式。

(2)引導學生參考案例2.1和案例2.2認識題例2并構(gòu)造類似新題和歸類，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力。其實題例2第一種裂項，相對于把數(shù)列{bn}的通項理解為通項公式為an=(n-1)·2n-1，n=1，2，…的數(shù)列{an}的后項減前項，即bn=an+1-an，n=1，2，…. 而第二種裂項bn=(n+1)2·2n-1-2n的右邊可以看作兩個數(shù)列的通項相減，即bn=cn-dn，cn=(n+1)2·2n-1，dn=2n，此時比案例2.1和案例2.2更一般了。

(3)要求學習高階等差數(shù)列、線性遞歸數(shù)列和數(shù)列差分等內(nèi)容，仿題例3構(gòu)造新題并寫學習探索報告。

3 均值不等式

3.1 基本均值不等式

該不等式應(yīng)用時除大家熟知的“一正，二定，三相等”及其推廣形式外，更重要的是其中的a、b可以是較復雜的代數(shù)式。

3.2 題例3(2020年7月貴州普通高中學業(yè)水平考試第43題)

題例3：已知數(shù)列{an}的通項an=pn+q，其中p，q為常數(shù)，n∈N*.

因an>0，n∈N*，故x=a2>0，y=a4>0.

于是， 有

≥2x+2y-3(當且僅當x=1，y=2時等號成立)

因為x>0，y>0，所以

又由于x=1，y=2滿足y=2x，所以，有

題例3比題例1和題例2難，因為要兩次利用均值不等式，能做出的學生很少，亦沒有同學嘗試使用拉格朗日乘數(shù)法解決條件極值問題。

3.3 題例4(2019年12月貴州普通高中學業(yè)水平考試第43題)

3.4 題例3與題例4解題教學中培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的實踐

題例3與題例4之間有一定的對偶性。在解題教學中，主要利用此兩題例培養(yǎng)學生“一題多解”和“一題多變”到解法歸類和題型歸類的創(chuàng)新思維能力。

教學實踐中，通過重點完成以下教學任務(wù)，來培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。

(1) 多種解法探索創(chuàng)新。題例4的其他解法參考文獻[1]。在此，具體補充題例3的下列解法(簡述)。

(2) 一題多變，并統(tǒng)一題型。具體從項數(shù)、次數(shù)和系數(shù)變化上探索“一題多變”?；谙嗤棓?shù)的項的次冪的倒數(shù)的線性組合和它們次冪的線性組合之一為常數(shù)，求另一個的最小值問題來統(tǒng)一題例3和題例4。

4 柯西不等式

4.1 基本柯西不等式

有(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)，其中a，b，c，d∈R， 當且僅當ad=bc時，等號成立。

該不等式是向量數(shù)量積的一個直接結(jié)論。應(yīng)用于最大值計算時，常用于具有某兩個變量的平方和為常數(shù)且另外兩個變量平方和具有最大值的情形。

4.2 題例5(2019年7月貴州普通高中學業(yè)水平考試第43題)

題例5：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=pn2+qn，其中p，q為常數(shù)。

該題例利用柯西不等式處理第二問的解法見文獻[2]中的法五至法九。

4.3 題例5培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的實踐

題例5與題例3和題例4都歸結(jié)為帶約束的二元目標函數(shù)優(yōu)化問題，但在教學實踐中側(cè)重點各有不同。通過這三個題例的問題類型異同與解法異同的比較，來培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。

(1)多種解法探索創(chuàng)新。 題例5的多種解法見參考文獻[3]。教學實踐中，要求學生進行小組討論，教師在旁實時引導啟發(fā)。

(2)題型歸類與拓展創(chuàng)新，并給出一般解法。

學生自主探索完成題例5歸類與拓展實質(zhì)為以下三類二元、二次約束條件下求二元線性目標函數(shù)z=ax+by(其中a,b為常數(shù))的最大值問題：

①x2+y2≤M(或x2+y2=M)，M為正常數(shù)；②kx2+ly2≤M(或kx2+ly2=M)，其中k,l，M為正常數(shù)；③λ(kx+ly)2+μ(px+qy)2≤M(或λ(kx+ly)2+μ(px+qy)2=M)，其中λ,μ,M為正常數(shù)。

(3)引導學生探索構(gòu)造三類最值新題。 在此僅給出構(gòu)造的三個題例(不給求解過程)供參考。

案例4.2：已知單價分別為4、7的兩種商品A、B的采購量分別記為x、y，如果商品A、B采購量之間滿足關(guān)系x2+2y2=6時都可以全部銷售完，問商品A、B采購量分別為多少時，獲得的收益最大？

案例4.3：在條件13x2+2xy+y2≤7約束下，計算目標函數(shù)z=21x+7y的最大值。

案例4.1至案例4.3以及題例5還可以考慮目標函數(shù)最小值計算方法探索。

5 總結(jié)

解題教學一般包括四個教學環(huán)節(jié)：在審題環(huán)節(jié)中弄清題目的條件與結(jié)論以及相關(guān)的知識范圍等；在探索解題方法環(huán)節(jié)中尋找解題的具體方法；在陳述解題過程環(huán)節(jié)中以嚴密的語言表述解答的過程；在反思環(huán)節(jié)中透析題目所涉及的數(shù)學知識、數(shù)學思想和數(shù)學方法，是思維創(chuàng)新培訓的重要階段。 本文的教學方法、模式總結(jié)為以下三點。

第一是以自主探索、合作交流為主，結(jié)合實時點撥為輔，培養(yǎng)個體探索與集體合作探索相結(jié)合的培養(yǎng)創(chuàng)新思維的策略方法和教學模式。

審題階段以學生自主完成題目的顯含、隱含條件和結(jié)論以及相關(guān)知識點審定，明確是充分還是必要條件等。探索解法環(huán)節(jié)和陳述解答過程環(huán)節(jié)以小組討論探索然后集中匯報為主。 反思環(huán)節(jié)以個體查閱資料自主探索為主，可以個體自主結(jié)對，并以一題多解和一題多變?yōu)橹饕问?，再集中匯報。這種體現(xiàn)個體與集體學習和探索的創(chuàng)新思維培養(yǎng)的策略方法和教學模式可作為培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的基礎(chǔ)。

第二是在解題教學的每個環(huán)節(jié)以“變”為核心，在知識范圍、條件與結(jié)論、解題方法、確定與不確定、代數(shù)與幾何等等方面求變的培養(yǎng)創(chuàng)新思維的策略方法和相應(yīng)教學模式。

創(chuàng)新思維培養(yǎng)的關(guān)鍵是不能使學生思維僵化，形成定式，因此以“變”體現(xiàn)特殊與一般、確定與不確定、歸納與演繹和代數(shù)與幾何等求“變”求轉(zhuǎn)化的動態(tài)思維策略方法與相應(yīng)教學模式是解題教學培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的關(guān)鍵。

第三是以點帶面，完善知識的結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，促進思想方法的深刻化、靈活化的“歸類”創(chuàng)新思維培養(yǎng)的策略方法和相應(yīng)教學模式。

數(shù)學知識、思想方法及其應(yīng)用不是獨立單一的，是相互聯(lián)系且具有一定結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)化體系。通過解題教學完善并強化知識結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化以及思想方法理解的深刻化等“歸類”創(chuàng)新思維培養(yǎng)的策略方法和相應(yīng)教學模式是解題教學培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力的重要目標。

其它解題教學的理論、策略和方法等可參考文獻[1-6]。