嚴睿琪,李 斌,王 佩,陳松良
(貴州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,貴州 貴陽 550018)
卷積形式的積分方程在物理和工程等領(lǐng)域有許多的應(yīng)用,如在散射問題中合成積分方程是卷積型的[1]。在物理學(xué)、工程學(xué)等眾多領(lǐng)域的積分方程中常含有雙曲函數(shù)[2]。在這篇文章里,我們主要研究帶貝塞爾高振蕩核函數(shù)和雙曲函數(shù)的第一類Volterra積分方程
(1.1)
的解,這里f(x)為光滑的函數(shù),f(0)=0,y(x)為未知函數(shù),Jv(wx)為第一類貝塞爾函數(shù),v>-1,w,r為振動參數(shù)。
最近關(guān)于Volterra積分方程的求解問題的文獻較多[3-4],但對于方程(1.1)而言,最顯著的特點就是含有高振蕩性,當(dāng)w,r?1時,核函數(shù)將變得高振蕩,標準的配置方法和不連續(xù)的Galerkin方法無法有效的計算,因為與空間網(wǎng)格相關(guān)的長度尺度過小,導(dǎo)致得到的是一個大規(guī)模的病態(tài)線性系統(tǒng)[5]。而Laplace變換法是計算第一類Volterra積分方程的有效方法,特別是對卷積形式的積分方程有效。2007年,Rahman[6]比較系統(tǒng)的介紹了通過Laplace變換計算各類Volterra積分方程的方法;2014年,向[3]使用Laplace變換和Laplace逆變換來求解帶高振蕩貝塞爾核函數(shù)的沃爾特拉積分方程
(1.2)
這里w?1,v為非負整數(shù),f(x)為光滑的函數(shù)。大多數(shù)情況下,這類方程的解不能以封閉形式解析求解,只能寫成高振蕩積分解的形式。2018年, Uddin M[7]通過Laplace變換的應(yīng)用,將積分方程(1.2)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程,然后利用Laplace逆變換的方法,將解表示為沿延伸到復(fù)平面左半部分的光滑曲線的積分,再求積分。2019年,李[8]等考慮來自電磁與聲散射問題,例如平面波是空間時諧波,通過Laplace變換來求解兩端帶高振蕩核函數(shù)的第一類Volterra積分方程
(1.3)
并通過克倫肖·柯蒂斯型方法求出方程的高精度近似解。本文的所有數(shù)值結(jié)果都是在臺式機上用Matlab R2014a實現(xiàn)的(8gb內(nèi)存,2個2.50 GHz的處理器,Windows 10操作系統(tǒng))。
例1設(shè)方程(1.3)中f(x)=x2sin(x),r=1000,m=0,則|f(x)e-irx-xm+1qN(x)|和|f(x)-xm+1qN(x)|在x=0.4處的誤差分別為表1和表2所示。
表1 例1中f(x)e-irx-xm+1qN(x)在x=0.4處的絕對誤差
表2 例1中f(x)-xm+1qN(x)在x=0.4處的絕對誤差
稱為函數(shù)f(t)的Laplace變換,這里的逆Laplace變換記為
(2.1)
將(2.1)的解yN(x)作為方程(1.1)的近似解,然后令N→∞,則得到方程(1.1)的精確解y(x).
引理1[8]定義m=「ν?為小于或等于ν的最小整數(shù),若f(x)∈Cm+1[0,1],m是非負整數(shù),則(1.3)有唯一解y(x)∈C[0,1]的充要條件是
f(0)=f′(0)=…=f(m)(0)=0.
定理1假設(shè)f(x)∈Cm+1[0,1],v0=m-ν,f(0)=f′(0)=…=f(m)(0)=0,則方程(1.1)的解可以表示為:
(2.2)
這里
(2.3)
證明(1)方程(2.1)是有卷積形式的積分方程,兩邊同時采用Laplace變換有
L[yN(x)]
這里
由于L1,L2類似,若算出其中一個,就可得到另外一個。下面先考慮L2的Laplace變換。
則有
這里ν=m-ν0,ν0≥0.下面討論上面最后一個等式中的第二個和式
則有
接下來考慮Laplace逆變換,上式結(jié)合下面的式子(見[10])
(2.4)
(2.5)
=w-δJδ(wx),δ>-1,
(2.6)
δ>0,
(2.7)
可得
根據(jù)下面的Laplace逆變換公式
(2.8)
易得
同理,可得關(guān)于L1的逆Laplace變換計算公式
從而得到了方程(2.1)的精確解為
(2)當(dāng)ν∈Z+,m=ν≠0時,ν0=0,下面考慮m=ν=0時方程(1.1)的解。
這里
從而得到方程(2.1)的解為
例2求Volterra積分方程
的解,這里f(0)=f'(0)=0.
解由于v=0.2,則m=1,v0=0.8, 結(jié)合公式(2.3)可得方程的解為
例3求Volterra積分方程
的解,這里f(x)為連續(xù)函數(shù),且滿足f(0)=0.
解由于v=0, 結(jié)合公式(1.4)可得方程的解為
(3.1)
這里
例4求Volterra積分方程
通過Laplace變換得到積分方程積分形式的精確解,這些解的形式為
(3.2)
其中f(x)在區(qū)間[0,1]上是連續(xù)函數(shù)。
如果需要Volterra積分方程的高精度數(shù)值解,可通過克倫肖·柯蒂斯型方法[11]計算得到在不同x處的高精度近似解(如表3所示),其誤差如圖1和圖2所示,誤差分析為下面的定理2。
定理2[11]采用克倫肖·柯蒂斯型方法計算積分(3.2)可得到如下的誤差:
(1)若f在伯恩斯坦橢圓Eρ上是分析性,則I[f]-QN[f]=O(ρ-N);
(2)如果f,f',…,f(m-1)在區(qū)間[0,1]上是絕對連續(xù)的,且Var(f(m))<∞,則I[f]-QN[f]=O(N-m).
表3 例題4中,當(dāng)r=1000時,由克倫肖·柯蒂斯型方法[11]在不同的x,w處得到的誤差
圖1 數(shù)值解的誤差分析圖
圖2 數(shù)值解絕對誤差分析圖