多維度比較“反比例函數(shù)”習題
——以人教版和東京版為例

云南省昆明市云南師范大學(650500) 楊 壯 楊亞平

1 研究背景

教材是教學內容的重要載體,也是教師溝通學生、學生學習的載體.近些年,數(shù)學教材對比一直是研究熱點,數(shù)學教材由正文、例題和習題組成,習題作為數(shù)學教材的重要組成部分,在數(shù)學教材中發(fā)揮著重要作用,在一定程度上反映了數(shù)學教材的特征和數(shù)學教材編寫者的設計意圖[1].

反比例函數(shù)是初中階段“數(shù)與代數(shù)”的重要模塊之一,是學習函數(shù)知識的基礎,作為中考數(shù)學的熱點命題方向,這部分內容題源豐富,題目既源自于教材而又高于教材,因此選擇反比例函數(shù)作為研究的主題.因為日本的學生在國際測試中的優(yōu)異表現(xiàn)以及中日兩國相似的文化背景,在一定程度上日本的教育改革經驗能給我國帶來一定的影響,故研究中日兩國的數(shù)學教材有重要意義.

2 研究設計

2.1 研究對象

本研究選取人教版課標教材九年級下冊“第二十六章”、東京版《新編(新)數(shù)學·1》“第四章”的部分習題為研究對象.習題是教材的重要組成部分,是學生學習過程中必不可少的重要環(huán)節(jié),一方面有助于學生加深對數(shù)學知識的理解,形成良好的數(shù)感與數(shù)學思維,另一方面也有助于學生獲得必要的技能,為后續(xù)學習和解決問題奠定基礎,提供支持.基于此,本研究從節(jié)中、節(jié)末、章末三個位置進行整理習題,針對人教版中“練習”“習題”“復習題”進行統(tǒng)計和考量;同理,東京版中研究“確認題、問、補充的問題”“基本的問題”“章的問題A、B”等板塊習題.

2.2 研究方法

根據(jù)人教版與東京版反比例函數(shù)習題的呈現(xiàn),本研究運用比較研究法和文獻研究法,從習題數(shù)量、數(shù)學核心素養(yǎng)、數(shù)學思想方法、數(shù)學文化以及綜合難度5個維度習題進行比較研究研究.其中習題的數(shù)學文化按照習題的內容分布,從數(shù)學史、數(shù)學與現(xiàn)實生活、數(shù)學與科學技術、數(shù)學與人文藝術4方面對兩版教材的習題進行數(shù)學文化比較.習題的綜合難度將結合鮑建生教授的綜合難度模型[2]與覃淋的統(tǒng)計習題難度測量模型[3],從認知、背景、運算、知識量、與例題的關聯(lián)程度5個難度因素對兩版教材的習題進行難度對比.

3 研究結果

3.1 習題數(shù)量比較

本研究采用的習題數(shù)量統(tǒng)計方法:若一道習題按(1)(2)(3)……編號,則按習題中的小題個數(shù)進行統(tǒng)計;若一個題目包含多個問題,但未分成(1)(2)(3)……,則按照一個題目進行統(tǒng)計.需要注意的是,東京版的反比例函數(shù)與正比例函數(shù)為同一章節(jié)的內容,部分習題混合在一起,需要人工進行辨別.基于以上統(tǒng)計方法,繪制兩版教材中反比例函數(shù)部分的習題數(shù)量對比統(tǒng)計圖,如圖1所示.

圖1

從習題數(shù)量上看,人教版習題總數(shù)為70,東京版習題總數(shù)為47,差異較大.人教版教材關注節(jié)中、節(jié)末、章末的習題,而東京版教材尤其關注節(jié)中的習題,重視教學過程中的練習.

3.2 習題數(shù)學核心素養(yǎng)比較

本部分通過分析教材習題體現(xiàn)的六大數(shù)學核心素養(yǎng)對人教版與東京版教材反比例函數(shù)習題進行統(tǒng)計分析,因反比例函數(shù)內容不涉及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng),故本部分僅從數(shù)學運算、數(shù)學建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學抽象這五大素養(yǎng)進行統(tǒng)計分析.統(tǒng)計方法為:分別統(tǒng)計人教版和東京版教材中考察各素養(yǎng)的“反比例函數(shù)”習題題目個數(shù),并統(tǒng)計其在相應版本習題中所占比重.(如果一道習題涉及多個數(shù)學核心素養(yǎng),則按多個數(shù)學核心素養(yǎng)統(tǒng)計)兩版教材反比例函數(shù)習題在各素養(yǎng)類型上的統(tǒng)計結果如圖2所示.

圖2

1.數(shù)學運算和數(shù)學抽象素養(yǎng)呈兩極分布

橫向對比發(fā)現(xiàn):兩版教材“反比例函數(shù)”內容的習題在數(shù)學運算素養(yǎng)占比最高;往后依次為邏輯推理、直觀想象和數(shù)學建模素養(yǎng);從上圖可發(fā)現(xiàn),數(shù)學抽象素養(yǎng)在人教版和東京版教材反比例習題中都少有考察,僅占10%和2.1%.

2.兩版教材習題側重的素養(yǎng)類型基本一致

縱向對比發(fā)現(xiàn)各素養(yǎng)占比發(fā)現(xiàn):人教版和東京版教材各素養(yǎng)占比按從大到小順序排列均為數(shù)學運算＞邏輯推理＞直觀想象＞數(shù)學建模＞數(shù)學抽象.

3.3 習題數(shù)學思想方法比較

數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓,是數(shù)學的本質所在[4].本部分主要關注數(shù)學思想方法在習題中的滲透,整理發(fā)現(xiàn)“反比例函數(shù)”的習題主要涉及數(shù)形結合、函數(shù)與方程、分類討論這三種數(shù)學思想方法,從上述三個數(shù)學思想方法對兩版教材的習題進行統(tǒng)計分析,統(tǒng)計方法為:分別統(tǒng)計人教版和東京版教材“反比例函數(shù)”中涉及以上三種數(shù)學思想方法的習題數(shù),再除以本習題總數(shù).(同一道習題可能涉及多個數(shù)學思想方法,規(guī)定只按最主要的數(shù)學思想方法進行計數(shù)統(tǒng)計.)兩版教材反比例函數(shù)習題在數(shù)學思想方法上的統(tǒng)計結果,統(tǒng)計結果如表1所示.

表1 反比例函數(shù)習題數(shù)學思想方法上的數(shù)量百分比

1.函數(shù)與方程思想與分類討論思想呈兩極分布

橫向對比發(fā)現(xiàn):兩版教材的反比例函數(shù)習題在函數(shù)與方程思想所占百分比均為最高,人教版教材在函數(shù)與方程思想的百分比高達57.1%,由于反比例函數(shù)本身的特性,致使涉及函數(shù)與方程思想方法的習題數(shù)量最多;其次是數(shù)形結合思想和分類討論思想;從上表可觀察,分類討論思想在人教版和東京版教材反比例函數(shù)習題中都少有甚至沒有考察,人教版教材僅占4.3%,而東京版教材未涉及分類討論思想.

2.兩版本教材習題側重的數(shù)學思想方法基本一致

縱向對比發(fā)現(xiàn)各數(shù)學思想方法占比發(fā)現(xiàn):人教版和東京版教材涉及的數(shù)學思想方法占比按從大到小順序排列均為函數(shù)與方程思想＞數(shù)形結合思想＞分類討論思想.

3.4 習題數(shù)學文化比較

中國和日本有著相似的文化背景,加上數(shù)學文化博大精深,本部分志在比較兩個版本教材習題在數(shù)學文化的異同.從數(shù)學史、數(shù)學與現(xiàn)實生活、數(shù)學與科學技術、數(shù)學與人文藝術四個方面對兩版教材的反比例函數(shù)習題進行統(tǒng)計分析[5],統(tǒng)計方法為:分別統(tǒng)計人教版和東京版教材“反比例函數(shù)”習題在各個數(shù)學文化的習題數(shù),再除以本習題總數(shù)得出相應的百分比,統(tǒng)計結果如表2所示.

表2 反比例函數(shù)習題數(shù)學文化內容分布

1.數(shù)學與現(xiàn)實生活、數(shù)學與科學技術齊頭并進

橫向對比發(fā)現(xiàn):兩版教材反比例函數(shù)習題涉及數(shù)學文化的占比不到一半,也即只有不到一半的習題涉及了數(shù)學文化,其中數(shù)學與現(xiàn)實生活占比最高,其次為數(shù)學與科學技術;從圖表可發(fā)現(xiàn),數(shù)學史、數(shù)學與人文藝術在人教版和東京版教材反比例函數(shù)習題中均未涉及.

2.兩版本教材習題側重的數(shù)學文化基本一致

縱向對比發(fā)現(xiàn)各數(shù)學文化占比發(fā)現(xiàn):人教版和東京版教材涉及的數(shù)學文化占比按從大到小順序排列均為數(shù)學與現(xiàn)實生活＞數(shù)學與科學技術＞數(shù)學史=數(shù)學與人文藝術.

3.5 習題綜合難度比較

本文參考了鮑建生教授的綜合難度模型與覃淋在《“中國大陸”“日本”和“中國臺灣”高中數(shù)學教材統(tǒng)計習題難度比較研究》中提出的統(tǒng)計習題難度測量模型,并且結合反比例函數(shù)的要求及反比例函數(shù)習題的特征,構建了一個五因素習題難度測量模型,各難度因素的及在三水平的劃分如下.

認知(A)——A1:記憶,即可以直接回憶反比例函數(shù)的相關知識就能解決的問題;A2:理解,即在理解反比例函數(shù)知識的基礎上,需要通過組織前后所學知識才能解決的問題;A3:探究,如解決反比函數(shù)問題的存在性問題等.

背景(B)——B1:無背景,即反比例函數(shù)習題為純數(shù)學背景;B2:個人生活,即反比例函數(shù)的習題與學生的生活相關聯(lián),關注與個體自身、個體所在家庭、個體同伴等相關的日?；顒?B3:公共常識,即反比例函數(shù)習題的背景為大眾所熟知.

運算(C)——C1:無運算,即沒有運算步驟的反比例函數(shù)習題;C2:數(shù)值運算,即只含常數(shù)的數(shù)學題;C3:符號運算,即反比例函數(shù)的習題需要用到符號表示數(shù)字的習題.

知識量(D)——D1:一個知識點;D2:兩個知識點;D3:三個及三個以上知識點.

與例題的關聯(lián)程度(E)——E1:高度相關,即反比例函數(shù)的習題與教材的例題部分基本一樣;E2:一般相關,即反比例函數(shù)的習題與教材的例題部分相似;E3:無關,即跟教材的例題一點都不同,需要從其它角度思考.

各難度因素加權平均計算方法:例如對于難度因素“背景”,第1個水平“無背景”的習題數(shù)有15道,第2個水平“個人生活”的習題數(shù)有9道,第3個水平“公共常識”的習題數(shù)有13道,則“背景”因素的加權平均為=1.95.

因兩版教材反比例函數(shù)習題總量相差較大,僅用題目數(shù)量無法清晰看出具體情況,故選擇各難度因素各水平占比來直觀地比較,如圖3所示.為了進一步考察兩版本教材的綜合難度水平.通過對兩版本教材中五個難度因素的不同水平題目的統(tǒng)計,并利用加權平均計算公式得到五個難度因素的加權平均值,繪制出反映兩版本教材綜合難度的雷達圖模型,如圖4所示.

圖3

圖4

從認知因素分析,記憶水平層面上人教版的考察少于東京版,而理解水平層面上的考察高于東京版,兩版教材均較少考察探究水平,人教版教材的認知因素綜合難度略高于東京版.

從背景因素分析,兩版教材均設置無背景、個人生活、公共常識的習題,但東京版教材主要考察無背景的習題,人教版教材的背景因素綜合難度略高于東京版.

從運算因素分析,兩版教材主要考察符號運算,并且均未設置數(shù)值運算的習題,較少考察無運算的習題,東京版,人教版教材的運算因素綜合難度低于東京版.

從知識量因素分析,兩版本教材習題主要涉及一到兩個知識點,較少設置包含三個及三個以上知識點的習題,人教版教材的知識量因素綜合難度大致與東京版相同.

從與例題的關聯(lián)程度因素分析,兩版本教材反比例函數(shù)習題分布基本一致,均主要考察與例題相關的習題,但與例題無關的習題上東京版教材高于人教版,人教版教材的與例題關聯(lián)程度因素綜合難度高于東京版.

綜上,人教版教材的習題綜合難度略高于東京版.

4 啟示

4.1 習題設置應遵循創(chuàng)新性與激勵性

反比例函數(shù)習題涉及的數(shù)學思想方法和數(shù)學文化都較為局限,題型陳舊,大部分習題無背景,缺乏創(chuàng)新性與激勵性,可能致使學生對數(shù)學學習缺乏興趣.《義務教育數(shù)學課程標準(2011版)》明確提出要發(fā)展學生的創(chuàng)新意識,習題是教材的重要組成部分,承擔著發(fā)展學生關鍵能力的重要作用,因此教材習題的編寫要緊扣課標,遵循激勵性與創(chuàng)新性,注意與數(shù)學史、人文藝術相關聯(lián),增加學生的學習興趣,加深對數(shù)學知識的理解,讓學生感悟數(shù)學之美.

4.2 習題編寫應注重導向性和綜合性

反比例函數(shù)屬于數(shù)與代數(shù)模塊,習題蘊含的核心素養(yǎng)在數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象較數(shù)學抽象更多,函數(shù)知識本身就較難理解,較為抽象,但兩版教材過于壓縮數(shù)學抽象的考察,缺乏對學生抽象意識的導向性培養(yǎng),對六大核心素養(yǎng)考察不夠全面.習題的編寫既要符合課標要求,也要注意習題蘊含的數(shù)學核心素養(yǎng)的綜合性與導向性.