趙爽與《周髀算經(jīng)》

吳文俊

趙爽是中國歷史上著名的數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家.他在數(shù)學(xué)上的主要貢獻(xiàn)是為《周髀算經(jīng)》寫了序言，并作了詳細(xì)的注釋.他對《周髀算經(jīng)》的研究包括三個方面：一是為書中文字作注解;二是進(jìn)行較詳細(xì)的數(shù)學(xué)理論推演;三是為其補(bǔ)圖.他在序中說：“其（《周髀算經(jīng)》）旨約而遠(yuǎn)，其言曲而中，將恐廢替濡滯不通，使談天者無所取則，輒依經(jīng)為圖，誠冀頹毀重仞之墻，披露堂室之奧.”現(xiàn)傳《周牌算經(jīng)》中的圖形均為趙爽所補(bǔ).

《周牌算經(jīng)》是中國古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作.就其數(shù)學(xué)內(nèi)容看，主要有三方面：其一，相當(dāng)復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘除運(yùn)算，在開方運(yùn)算中有六位有效數(shù)字的答數(shù);其二，用勾股定理計算距離;其三，測量太陽的高度.趙爽為《周髀算經(jīng)》作注釋時，作過“勾股圓方圖”“日高圖”“七衡圖”以及各種“弦圖”，還用黃、朱、青三種顏色來標(biāo)記圖形中的不同部位.從現(xiàn)傳本趙爽注中可以看到，他在插圖上確實(shí)下過大功夫.

現(xiàn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言對“勾股圓方圖”“日高圖”注作出解釋.為歸類方便，改變了某些命題的前后次序.

一、勾股圓方圖注中的命題

第一組

命題1：“勾、股各自乘，并之為弦實(shí).”

記直角三角形勾、股、弦分別為a、b、c.（如圖1）

該命題是說，a+b=c.

推論：“開方除之，即弦.”

證明：“按弦圖一又可以勾、股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四.以勾股之差自相乘，為中黃實(shí)·加差實(shí)一，亦成弦實(shí).”

以勾、股作為長方形的兩條邊，其面積是朱色直角三角形的2倍.以勾、股的差為邊作中間的黃色正方形，其面積加上4個朱色三角形的面積，即為以弦為邊的正方形的面積.（如圖2）

第二組

命題2：“以差實(shí)減弦實(shí)，半其余，以差為從法.開方除之，復(fù)得勾矣.”

命題3：“加差于勾，即股.”

命題4：“倍股在兩邊，為從法.開矩勾之角，即股弦差.”

命題5：“加股為弦.”

該命題可表示為：已知a、b，求c-b、c.趙爽認(rèn)為所求c-b是二次方程x+2bx=a的根，而c=b+（c-b）.

命題6：“倍勾在兩邊，為從法.開矩股之角，即勾弦差.”

命題7：“加勾為弦.”

這是命題4、5的對偶命題.

第三組

命題8：“凡并勾、股之實(shí)，即成弦實(shí).或方于內(nèi)，或矩于外.形詭而量均，體殊而數(shù)齊.”

這是說，以弦為邊的正方形的面積是以勾、股為邊的正方形面積之和.在以弦為邊的正方形內(nèi)截去以股（或勾）為邊的正方形，余下的曲尺形面積等于以股（或勾）為邊的正方形的面積.（《周牌算經(jīng)》趙爽注中弦圖二）二者的形狀不同，然而它們的面積卻是相等的.

命題9：“勾實(shí)之矩以股弦差為廣，股弦并為表，而股實(shí)方其里.減矩勾之實(shí)于弦實(shí).開其余，即股.”

命題10：“以差除勾實(shí)，得股弦并.”

命題11：“以并除勾實(shí)，亦得股弦差.”

命題12：“令并自乘，與勾實(shí)為實(shí).倍并為法，所得亦弦.”

命題13：“勾實(shí)減并自乘，如法為股.”

由命題9可知兩個正方形的面積（c+b）與a之差是以c+b與2b為邊的長方形的面積之和.

第四組

命題14：“股實(shí)之矩以勾弦差為廣，勾弦并為袤，而勾實(shí)方其里.減矩股之實(shí)于弦實(shí).開其余，即勾.”（《周牌算經(jīng)》趙爽注中弦圖三）

命題15：“以差除股實(shí)，得勾弦并.”

命題16：“以并除股實(shí)，亦得勾弦差.”

命題17：“令并自乘，與股實(shí)為實(shí).倍并為法，所得亦弦.”

命題18：“股實(shí)減并自乘，如法為勾.”

命題14～18依次為命題9～13的對偶命題.

第五組

命題19：“兩差相乘，倍而開之.所得.以股弦差增之.為勾.”（《周牌算經(jīng)》趙爽注中弦圖四）

命題20：“以勾弦差增之，為股.”

命題21：“兩差增之，為弦.”

第六組

命題22：“令并自乘，倍弦實(shí)乃減之.開其余，得中黃方.”

命題23：“黃方之面，即勾股差.”

命題24：“以差減并，而半之，為勾.”

命題25：“加差于并，而半之，為股.”

證明：“以圖考之，倍弦實(shí)滿外大方而多黃實(shí).黃實(shí)之多，即勾股差實(shí).以差實(shí)減之，開其余，得外大方.大方之面，即勾股并也.”

趙爽用出入相補(bǔ)原理證明倍弦實(shí)、外大方與黃實(shí)之間的面積關(guān)系.（如圖4）

第七組

命題26：“其倍弦為廣袤合.令勾股見者自乘為其實(shí).四實(shí)以減之.開其余，所得為差.”

命題27：“以差減合.半其余，為廣.”

命題28：“減廣于倍弦，即所求也.”

如果把所求長、寬視為二次方程的兩根x，x那么趙爽的命題相當(dāng)于：已知x+x=2c，xx=a，所求數(shù)為二次方程x-2cx+a=0的兩根，而且根與系數(shù)的關(guān)系類似于韋達(dá)定理.

二、日高圖注中的命題

趙爽在日高圖注中用出入相補(bǔ)原理提出并證明劉徽公式1.

命題1：“黃甲與黃乙其實(shí)相等.”

這是說，平行四邊形IT全等于平行四邊形OE.由平行四邊形KD及對角線KD可得以公共頂點(diǎn)G的平行四邊形JT全等于平行四邊形NE.又由平行四邊形KD及對角線KD可得以公共頂點(diǎn)I的平行四邊形JS全等于平行四邊形LU.又作IU=SD=GQ，平行四邊形NQ（青己）全等于平行四邊形LU全等于平行四邊形JS（青丙）.做一次減法得平行四邊形IT（黃甲）全等于平行四邊形OE（黃乙）.

命題2：“以表高（IS）乘兩表相去（ST）為黃甲之實(shí)，以影差（TD2-SD1）為黃乙之廣而一，所得則變得黃乙之袤（PE）.”

綜合命題1、2得劉徽公式1.

由命題1可計算出兩個長方形的邊長，推出“日去表頂”的距離.

命題3：“按日高圖加表高（得日去地）.”

證明：“青丙與青己其實(shí)亦等.黃甲與青丙相連，黃乙與青己相連，其實(shí)亦等.”

但是從現(xiàn)存文獻(xiàn)看，《周牌算經(jīng)》趙爽注和《九章算術(shù)》劉徽注所用數(shù)學(xué)用語非常一致，其有關(guān)證明方法也十分類似，由此可知，這些算術(shù)知識為漢魏時期數(shù)學(xué)家們的共同見識.

趙爽在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)表現(xiàn)在三大方面：一是列出了一元一次方程的一個求根公式，以及由此證明了根與系數(shù)之間存在的關(guān)系;二是奠定了重差術(shù)的理論基礎(chǔ);三是提出了一種證明勾股定理的簡潔方法油此可見，無論是在演算方法還是數(shù)學(xué)思想方面，趙爽對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展都作出了重要貢獻(xiàn)，在世界數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有崇高地位.

——摘自《中國數(shù)學(xué)史大系·第三卷》