懸索橋鞍座設計位置計算的改進方法

鄧小康， 鄧恒耀

(武漢科技大學 汽車與交通工程學院， 湖北 武漢 430081)

索鞍是懸索橋的重要構件，其主要作用包括兩個方面:一是實現(xiàn)主纜的轉向，二是為主纜提供支撐[1]。索鞍位置的安放是否準確將嚴重影響懸索橋的線形和結構受力[2]，索鞍的偏離有時甚至會引起橋塔偏位，使塔底產(chǎn)生彎矩，影響橋塔安全[3]，同時索鞍位置參數(shù)的確定，也是主纜長度修正的先決條件[4]。

唐茂林[5]通過主纜的線形方程及索鞍與主纜的幾何關系對該問題進行了求解分析，但其方程有8個未知數(shù)，需要通過牛頓-拉斐森法求解非線性方程組，計算繁瑣且對計算初值的選取也有一定的要求；李傳習[6]采用分離計算法進行精確計算，但仍需通過牛頓-拉斐森法求解方程且對鞍座設計位置需給出其約束條件和迭代初值。

該文基于對懸索橋主纜和索鞍幾何、力學關系的分析，利用索鞍和主纜幾何相容條件建立方程，采用二分法求解方程即可得到索鞍的設計位置，計算簡單，整個計算過程無需任何初值，均可保證求解收斂。

1 統(tǒng)一主纜線形方程的提出

1.1 主纜最低點的確定

當懸索橋主塔高度相等時，由于主纜具有對稱性，此時主纜最低點(同時也是主纜斜率最小點)應位于主纜的跨中位置。

當懸索橋主塔高度不相等時(一側比另一側高h)，主纜最低點會向較低的主塔一側偏移，如圖1所示[7]。文獻[8]中推導出了該種情況下主纜最低點位置的計算方法，提出可以在各索段或吊點采用二分法確定最低點的位置和最低點左、右兩側主纜的斜率。

圖1 主塔不等高時最低點變化示意圖

1.2 兩種坐標系的建立

如圖2所示，對跨徑為L的主纜以最低點A(即全橋主纜的斜率最小點，位置待求)為界，左邊m-1個吊桿將主纜分為m段，右邊n-1個吊桿將主纜分為n段。令左邊主纜垂度為f1，跨徑為L1；右邊主纜垂度為f2，跨徑為L2。索段的受力情況是：索段兩端承受吊桿傳來的集中力P，中間承受沿索長均勻分布的主纜自重q。

圖2 坐標系Ⅰ下的索段劃分示意圖

以最低點A為原點，y軸豎直向上，左邊x軸水平向左，右邊x軸水平向右建立坐標系Ⅰ。

在坐標系Ⅰ下，索段曲線為分段懸鏈線[9]，主纜在吊桿位置出現(xiàn)斜率突變，從而表現(xiàn)為主纜斜率不連續(xù)。

對任意索段i，將其坐標系原點移至索段曲線上斜率為0的位置(各索段坐標系原點應為同一點)，x軸、y軸的方向同前述所示，建立坐標系Ⅱ[8]。此時各索段i出現(xiàn)曲線平移，主纜在吊桿位置不再表現(xiàn)為斜率突變，而是出現(xiàn)平移，曲線平移的距離由吊桿處的斜率變化值決定，如圖3所示。

圖3 坐標系Ⅱ下的索段示意圖

1.3 主纜線形的統(tǒng)一懸鏈線方程

作者在前期研究過程中，已求出在坐標系Ⅱ下主纜的統(tǒng)一線形方程。

定義索段上任一點的斜率為z；假定在無應力狀態(tài)下主纜的橫截面面積為A0，沿索長均布的主纜自重荷載為q0，主纜所用材料的彈性模量為E，H為索段上任一點索力的水平分力。

對任意索段均有：

(1)

(2)

式(1)、(2)就是坐標系Ⅱ下的統(tǒng)一主纜線形方程[8]。

2 主索鞍位置計算

懸索橋理論頂點(IP點)的定義有多種，一種是設計基準溫度下成橋狀態(tài)索鞍兩側主纜離合點切線的交點；第二種是設計基準溫度下成橋狀態(tài)索鞍兩側主纜離合點順延懸鏈線的交點[10]。該文選取第二種定義進行分析計算。理論頂點左右兩邊主纜的線形一經(jīng)確定，則一個給定半徑且與這兩條曲線相切的圓有4個(上、下、左、右)，只要給定約束條件就能獲得所需要的索鞍位置[11]。

對主索鞍位置進行計算時，其問題歸納為已知主纜的橫截面面積為A，彈性模量為E，主纜沿索長均布的自重集度為q。在坐標系Ⅰ下主纜理論頂點的坐標為(x0，y0)，索鞍左邊主纜索力的水平分力為H1，索鞍右邊主纜索力的水平分力為H2，左邊主纜在頂點位置的斜率為z1，右邊主纜在頂點位置的斜率為z2，給定索鞍的半徑R；理論頂點在左邊坐標系Ⅱ下的坐標記為(x′0，y′0)，在右邊坐標系Ⅱ下的坐標記為(x″0，y″0)。右切點的斜率為z3，左切點的斜率z4。要求主纜曲線與索鞍的左切點坐標(x1，y1)，右切點坐標(x2，y2)，鞍座曲線圓心的坐標(x3，y3)。

令理論頂點到左切點的水平距離為L1，垂直距離為h1，到右切點的水平距離為L2，垂直距離為h2。θ1為索鞍圓心到主跨切點的連線與過圓心的鉛垂線的夾角，θ2為索鞍圓心到邊跨切點的連線與過圓心的鉛垂線的夾角。

計算圖示如圖4、5所示。

圖4 主索鞍整體計算示意圖

在圖5中，由幾何關系及切線的定義可知：

圖5 主索鞍局部計算示意圖

tanθ1=z3，tanθ2=z4

(3)

左、右切點在水平方向的距離應等于兩點分別到過圓心的鉛垂線的水平距離之和：

L1+L2=Rsinθ1+Rsinθ2

(4)

將式(3)代入得：

(5)

將z3代入式(1)可得右切點在右邊坐標系Ⅱ下的橫坐標：

(6)

則：

(7)

將z4代入式(1)可得左切點在左邊坐標系Ⅱ下的橫坐標：

(8)

則：

(9)

將式(8)、(9)代入式(4)可得：

(10)

式(10)中僅z3和z4為未知數(shù)，已知z3即可通過求解一元非線性方程的方法求得z4。對給出的z3(給出的z3的范圍為所在索段最低點的斜率z2)，取z4的求解區(qū)間為[0，z1]，二分法求式(10)即可得z4。

z4可以看為：

z4=f(z3)

(11)

由幾何關系可得：

h1-h2=Rcosθ1-Rcosθ2

(12)

將式(3)代入式(12)得：

(13)

將z3代入式(2)可得右切點在右邊坐標系Ⅱ下的縱坐標：

(14)

理論頂點和右切點的高差：

h2=y″0-y″2

(15)

將z4代入式(2)可得左切點在左邊坐標系Ⅱ下的縱坐標：

(16)

理論頂點和左切點的高差：

h1=y′0-y′1

(17)

將式(15)和式(17)代入式(13)可得：

(18)

式(18)中,z4可以用z3來表示[見式(11)]，其余參數(shù)均為常數(shù)，故式(18)可看作為關于z3的一元非線性方程。采用二分法求解式(18)時，z3的求解范圍可取為所在索段最低點的斜率z2。主索鞍與鞍座左、右兩邊切點斜率計算的過程如圖6所示。

圖6 主索鞍與鞍座左、右兩邊切點斜率計算流程

如此便可確定左切點和右切點的斜率，上述方法最后一次的迭代過程還求出了理論頂點到左切點的水平距離為L1，垂直距離為h1，到右切點的水平距離為L2，垂直距離為h2，則左切點的坐標為(x0-L1，y0-h1)，右切點的坐標為(x0+L2，y0-h2)。

索鞍圓心的坐標為：

(19)

(20)

至此，索鞍的位置已完全確定。該文采用的計算方法不用解多元非線性方程組，計算簡便；求解過程無需任何初值，收斂性良好。

3 單圓曲線散索鞍位置的計算

對單圓曲線散索鞍進行計算時，其錨跨側的主纜仍可采用上述方法進行分析，但邊跨側主纜在散索鞍的理論頂點位置應是斜率最小點(主索鞍計算時理論頂點的斜率對兩側來說都是最大)，同時其幾何關系也會發(fā)生部分變化(圖7)，但總體計算思路不變。

圖7 單圓曲線散索鞍局部受力示意圖

過程如下：

令z3為錨跨切點的斜率，z4為邊跨切點的斜率。θ1為索鞍圓心到錨跨切點的連線與過圓心的鉛垂線的夾角，θ2為索鞍圓心到邊跨切點的連線與過圓心的鉛垂線的夾角。

仍有：

tanθ1=z3，tanθ2=z4

(21)

左、右切點離理論頂點水平向的距離和應等于兩點分別到過圓心的鉛垂線的水平距離的差，即：

L1+L2=Rsinθ1-Rsinθ2

(22)

將式(21)代入得：

(23)

將z3代入式(1)可得右切點在右邊坐標系Ⅱ下的橫坐標：

(24)

則：

(25)

將z4代入式(1)可得左切點在左邊坐標系Ⅱ下的橫坐標：

(26)

則：

(27)

將式(25)、(27)代入式(23)，可得：

(28)

式(28)中僅z3和z4為未知數(shù)，已知z3即可通過求解一元非線性方程的方法求得z4。對給出的z3(給出z3的范圍為所在索段最低點的斜率z2)，取z4的求解區(qū)間為[z1，z3]，二分法求式(28)即可得z4。

故z4可以看作為：

z4=f(z3)

(29)

由幾何關系可得：

h1+h2=Rcosθ2-Rcosθ1

(30)

將式(21)代入式(30)得：

(31)

將z3代入式(2)可得右切點在右邊坐標系Ⅱ下的縱坐標：

(32)

理論頂點和右切點的高差：

h2=y″0-y″2

(33)

將z4代入式(2)可得左切點在左邊坐標系Ⅱ下的縱坐標：

(34)

理論頂點和左切點的高差：

h1=y′1-y′0

(35)

將式(33)、(35)代入式(31)可得：

(36)

式(36)中z4可以用z3來表示[見式(29)]，其余參數(shù)均為常數(shù)，故式(36)可看為關于z3的一元非線性方程。采用二分法求解式(36)時，z4的求解范圍可取為所在索段最低點的斜率z2。

上述方法在最后一次的迭代過程中還求出了理論頂點到左切點的水平距離為L1，垂直距離為h1，到右切點的水平距離為L2，垂直距離為h2，則左切點的坐標為(x0-L1，y0+h1)，右切點的坐標為(x0+L2，y0-h2)。

索鞍圓心的坐標為：

(37)

(38)

如此散索鞍的鞍座位置即已求出，其計算方法與主索鞍的計算過程基本相同，但各要素的幾何關系和邊跨切點斜率的求法需進行相應調整。

4 算例

為驗證該文方法的正確性，編制程序對文獻[5]的算例進行驗證計算。

算例1：某懸索橋一個主索鞍的理論頂點(IP點)坐標為(230 m，131.425 m)，主纜橫截面面積A1=A2=0.408 973 m2，主纜自重集度q1=q2= 33 kN/m，彈性模量E=198 000 MPa。在成橋狀態(tài)線形計算中已計算出索鞍左、右兩邊主纜索力的水平分力H1=H2= 189 500 kN，V1= 90 622.7 kN，V2=73 504.1 kN。索鞍半徑為6.0 m。

采用該文的方法計算出索鞍位置并同文獻[5]的比較如表1。

表1 算例1的索鞍位置計算結果

算例2：某懸索橋一個散索鞍的理論頂點坐標為(0 m，54 m)，主纜橫截面面積A1=A2=0.408 973 m2，主纜自重集度q1=q2=33 kN/m，彈性模量E=198 000 MPa。在成橋理論線形計算已計算出索鞍左、右兩邊主纜索力的水平分力H1=H2=189 500 kN，V1=137 557 kN，V2=-41 804.3 kN。索鞍半徑為6.0 m。

采用該文的方法計算出索鞍位置并同文獻[5]的比較如表2所示。

表2 算例2的索鞍位置計算結果

通過表1、2的驗證結果可以看出：該文提出的索鞍位置計算新方法的精度良好，且計算簡單，整個計算過程無需任何初值，均能保證求解收斂。

5 結論

(1) 該文對懸索橋成橋狀態(tài)下索鞍的位置計算提出了改進方法。方法以索鞍和主纜的幾何相容條件建立方程，求出了主纜與索鞍切點的位置和斜率，同時得到了索鞍圓心的坐標，即索鞍的設計位置。

(2) 該文方法計算鞍座設計位置的過程僅需采用二分法求解一元非線性方程，計算簡單、精度良好，無需任何初值，均能保證求解收斂。

(3) 算例表明該文計算索鞍位置方法正確。