有理數(shù)運(yùn)算： 從“程序算法”到“相機(jī)簡化”

劉東升

有理數(shù)運(yùn)算是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，我們學(xué)習(xí)這一章時，首先要理解并掌握運(yùn)算規(guī)則，然后再學(xué)習(xí)如何簡化運(yùn)算。嚴(yán)守法則能確保運(yùn)算不出錯，但往往比較機(jī)械和程序化，對于有些算式來說，我們還需要相機(jī)運(yùn)用一些運(yùn)算律以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的。

一、嚴(yán)守規(guī)則，按程序運(yùn)算

有理數(shù)加法、乘法、除法的運(yùn)算法則可歸納為下表：

下面我們看一看，如何運(yùn)用這些運(yùn)算法則來解決問題。

例如，計(jì)算：（-81）÷[214]×[49]÷（-16）。

對于連除或乘除混合運(yùn)算問題，我們可以先確定符號，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再按從左到右的順序依次計(jì)算。

原式=81×[49]×[49]×[116]=1。

值得說明的是，遇到帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)及時將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)。

再如，計(jì)算：[-13][-34]×（[-23]）2[-112]×（-4）2。

有理數(shù)混合運(yùn)算的順序是：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的一般先算括號內(nèi)的。本題含有乘方運(yùn)算、乘法運(yùn)算和減法運(yùn)算，同學(xué)們在計(jì)算時應(yīng)注意運(yùn)算順序，先進(jìn)行乘方運(yùn)算，再進(jìn)行乘法運(yùn)算，最后進(jìn)行減法運(yùn)算。在混合運(yùn)算中，除了要注意運(yùn)算順序，還應(yīng)注意運(yùn)算中符號的確定，以及乘方的意義，如（[-23]）2=[49]，（-4）2=16。

二、相機(jī)使用運(yùn)算律簡化運(yùn)算

有理數(shù)的運(yùn)算定律有五條（加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律），它們主要有兩個作用：1.簡化有理數(shù)的運(yùn)算；2.推導(dǎo)其他運(yùn)算法則。運(yùn)用這些運(yùn)算律時要注意兩點(diǎn)：1.運(yùn)用加法交換律交換加數(shù)的位置時，要連同其前面的符號一起交換，如a+b-c=a-c+b；2.對分配律既要重視順向運(yùn)用，又要重視逆向運(yùn)用，如計(jì)算87×[34][+12]×87-87×[14]，注意到[34][+12][-14]=1，從而逆用分配律可獲巧解，即原式=87×（[34][+12][-14]）=87×1=87。

下面我們來算一算。同學(xué)們也可以自己嘗試動手算一算，看誰算得既簡便又準(zhǔn)確。

例如，計(jì)算：[-3213]+5.75+（[-323]）+（[+514]）

+（[-1247]）+（[-37]）。

在這個分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算式子中，我們觀察到，分母分別是3、4、7。那么，我們可以將同分母的結(jié)合在一起，結(jié)合后還會發(fā)現(xiàn)分子的和剛好又與相應(yīng)的分母相同，這就大大地降低了運(yùn)算的難度，又能提高準(zhǔn)確率。

原式=［[-3213]+（[-323]）］+［[+534]+（[+514]）］+

［（[-1247]）+（[-37]）］=（-36）+（+11）+（-13）=-38。

再如，計(jì)算：（[134][-78][-712]）÷（[-78]）+（[-83]）。

一般算法是先算括號內(nèi)的，然后再進(jìn)行除法運(yùn)算，有些麻煩。注意到第一個括號內(nèi)的分?jǐn)?shù)分子相同（帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)），并可與括號外的分?jǐn)?shù)約分，運(yùn)用分配律更快捷一些。

所以，原式=（[74][-78][-712]）×（[-87]）+（[-83]）=[-74]×[87]+[78]×[87]+[712]×[87][-83]=-2+1[+23][-83]=-3。

在有理數(shù)混合運(yùn)算中，同學(xué)們應(yīng)注意乘法分配律的靈活應(yīng)用。雖然除法運(yùn)算沒有分配律，但根據(jù)乘法與除法之間的內(nèi)在聯(lián)系，可將除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后再利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算。四則運(yùn)算中，運(yùn)算律或運(yùn)算技巧的使用，可以讓我們充分領(lǐng)略到“條條大路通羅馬”。

（作者單位：江蘇省南通市教育科學(xué)研究院）