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    創(chuàng)新數(shù)學(xué)解題方法 提高學(xué)生解題效率

    2022-07-04 18:52:15白玫
    關(guān)鍵詞:解題方法

    白玫

    [摘要]數(shù)學(xué)解題方法的教學(xué),要求教師引領(lǐng)學(xué)生拓寬思路,發(fā)展思維的靈活性,從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā),尋找解題的便捷路徑,從而提高解題效率.文章主要介紹了設(shè)元消元這一方法在實(shí)際解題中的應(yīng)用.

    [關(guān)鍵詞]解題方法;思維靈活;解題效率

    解題既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要活動(dòng),也是學(xué)習(xí)的目標(biāo)之一,如何提高學(xué)生的解題能力和解題效率是課堂教學(xué)要解決的重要問(wèn)題.許多學(xué)生為了提高解題能力常常深陷題海,但是結(jié)果往往不盡如人意,反而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了厭倦,失去了信心.所以教師在教學(xué)中不僅要帶領(lǐng)學(xué)生做題,還要精選典型試題,滲透解題方法,從而培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力.很多學(xué)生在解題過(guò)程中常因已知條件過(guò)少、未知條件過(guò)多而一籌莫展,所以教師要在教學(xué)中讓學(xué)生尋找一種巧妙的解題方法,如利用已知條件設(shè)未知數(shù),實(shí)現(xiàn)整體消元或者換元,從而解決問(wèn)題.這種巧妙的解法可以讓試題化繁為簡(jiǎn),順利求解,能增強(qiáng)學(xué)生解決難題的信心.筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)設(shè)元消元這一解法進(jìn)行了總結(jié),現(xiàn)編寫(xiě)成文,供大家參考.

    在三角形中解決角度問(wèn)題

    案例1如圖1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,E,F(xiàn)兩點(diǎn)在邊AB上,且AE=AC,BF=BC,求∠ECF的度數(shù).

    解題思路設(shè)∠B=x,則∠A=90°-x.因?yàn)锳E=AC,所以∠AEC=∠ACE.所以

    評(píng)析本案例已知條件較少,如何構(gòu)建已知條件與未知條件之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵.僅通過(guò)觀察已知條件與未知條件,很難看出它們之間的聯(lián)系.但通過(guò)設(shè)∠B=x,利用三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的兩個(gè)底角相等的性質(zhì),便可以將題目中的其他角用含x的代數(shù)式表示,從而求出∠ECF的度數(shù).上述解法,通過(guò)設(shè)元,將一個(gè)復(fù)雜的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了代數(shù)問(wèn)題,并最終將未知數(shù)消掉,求得了答案.

    案例2如圖2所示,點(diǎn)C在線段AE上,點(diǎn)D在線段AB上,BC與DE交于點(diǎn)F.若BD=CD=CE,∠ADC+∠ACD=114°,求∠DFC的度數(shù).

    解題思路因?yàn)镃D=CE,所以∠E=∠CDE.因?yàn)锽D=CD,所以∠B=∠BCD.設(shè)∠E=∠CDE=x,∠B=∠BCD=y.因?yàn)椤螦CD是△CDE的一個(gè)外角,所以∠ACD=∠E+∠CDE=2x.同理,∠ADC=∠B+∠BCD=2y.所以∠ACD+∠ADC=2x+2y=114°.所以x+y=57°.所以∠DFC=180°-(x+y)=123°.

    評(píng)析本案例運(yùn)用了等腰三角形底角相等的性質(zhì),通過(guò)設(shè)兩個(gè)輔助元,利用已知條件∠ADC+∠ACD=114°,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到△DFC中,再利用三角形的內(nèi)角和求得答案.上述解法也是通過(guò)設(shè)未知數(shù),將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題來(lái)求解,這樣求解,思路更清晰,同時(shí)滲透了數(shù)形結(jié)合思想.

    在三角形中解決面積問(wèn)題

    案例3已知一個(gè)直角三角形的周

    評(píng)析本案例若根據(jù)一般的求三角形面積的方法,需求出三角形的底和高,但是由已知條件難以求出這兩個(gè)元素.為了求解,可以換一種思路,即不分別求出三角形底和高的長(zhǎng)度,而是通過(guò)設(shè)輔助元,求底和高的積.上述解法同樣通過(guò)設(shè)元,巧妙地將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題,利用勾股定理以及完全平方公式的變形,最后求出三角形的面積.

    在幾何證明中解決等量關(guān)系

    案例4如圖3所示,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BD,垂足為G,∠BAD的平分線與BD交于點(diǎn)F,與GC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,證明:AC=CE.

    評(píng)析本案例利用矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)等,得到要求證的兩條邊AC與CE的對(duì)角相等,再利用等角對(duì)等邊得到AC與CE相等.上述解法通過(guò)設(shè)∠CAE=x,利用輔助元表示出其他相關(guān)的角,避免了角度之間的復(fù)雜轉(zhuǎn)換,使求證過(guò)程簡(jiǎn)捷,同時(shí),將幾何問(wèn)題變成簡(jiǎn)單的代數(shù)問(wèn)題,從而獲解.

    在反比例函數(shù)中解決面積問(wèn)題

    評(píng)析本案例先設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo),由已知條件“AC的中點(diǎn)為B”求出點(diǎn)A的坐標(biāo),進(jìn)而表示出四邊形ABED的面積,最后在計(jì)算過(guò)程中通過(guò)化簡(jiǎn)得到答案.這樣的設(shè)元方法在解決反比例函數(shù)問(wèn)題中比較常見(jiàn).本案例同樣采用設(shè)元的方法,最后通過(guò)消元順利求解.

    在一次函數(shù)中解決問(wèn)題

    案例6如圖5所示,一次函數(shù)y=mx+5m的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A

    (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);

    (2)若直線OC上有一點(diǎn)Q,且△QAC的面積是△AOC面積的3倍,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

    (3)線段OA上有一點(diǎn)D,且∠ACD=∠AOC,x軸的負(fù)半軸上存在點(diǎn)P,使得點(diǎn)P到直線CD和直線CO的距離相等,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

    解題思路此處只解析第(3)問(wèn).由已知條件“點(diǎn)P到直線CD和直線CO的距離相等”,可得點(diǎn)P在直線CD和直線CO所形成的夾角的平分線上.于是根據(jù)點(diǎn)P的位置可畫(huà)出圖5和圖6.在圖5中,設(shè)∠ACD=∠AOC=x,因?yàn)椤螪CO被CP平分,于是又設(shè)∠OCP=∠DCP=y.因?yàn)椤螩PA是△COP的一個(gè)外角,所以∠CPA=x+y.又∠ACP=x+y,所以∠CPA=∠ACP.所以AP=AC.于是可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).在圖6中,設(shè)∠ACD=∠AOC=x,∠DCP=y,則可得∠CPA=∠ACP=y-x.所以AP=AC.于是可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

    評(píng)析本題是一道較為復(fù)雜的綜合題,由已知條件很難發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系,但是通過(guò)設(shè)輔助元,便可以將題目中有關(guān)的已知條件聯(lián)系起來(lái),于是發(fā)現(xiàn)∠CPA和∠ACP之間的等量關(guān)系,從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).由此我們看到,設(shè)輔助元,能實(shí)現(xiàn)直接的等量關(guān)系轉(zhuǎn)換,避免了復(fù)雜的角度轉(zhuǎn)換,降低了思維的挑戰(zhàn)性,且整個(gè)解題過(guò)程,思路清晰明了.

    思考與感悟

    1.立足學(xué)生的思維角度

    學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教學(xué)的中心應(yīng)圍繞學(xué)生展開(kāi),因此教師在選擇試題進(jìn)行解析時(shí),需要從學(xué)生的思維發(fā)展角度出發(fā),以學(xué)生的發(fā)展為立足點(diǎn),促進(jìn)每一位學(xué)生的個(gè)性發(fā)展.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,許多學(xué)生常常被復(fù)雜題型所困擾,從學(xué)生的思維習(xí)慣出發(fā),他們擅長(zhǎng)正向思維,能根據(jù)已知條件直接構(gòu)建聯(lián)系,因此當(dāng)已知條件不夠時(shí),教師可以引導(dǎo)學(xué)生設(shè)輔助元,直接建立已知條件之間的數(shù)量關(guān)系,并在逐步化簡(jiǎn)中輕松獲得答案.這既符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣,也能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的奇妙,從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣.

    2.巧妙催生課堂意外生成

    課堂并不能完全依據(jù)教師的預(yù)設(shè)按部就班地展開(kāi),當(dāng)學(xué)生提出意料之外的想法時(shí),教師應(yīng)進(jìn)行引導(dǎo),不能因?yàn)樗麄兯岬膯?wèn)題與預(yù)設(shè)不同就完全否定,否則會(huì)扼殺學(xué)生的靈感.教學(xué)的過(guò)程是教師帶領(lǐng)學(xué)生一起探索的過(guò)程,教師要將課堂還給學(xué)生,引導(dǎo)他們思考,從而發(fā)展思維能力.

    文章主要探討了設(shè)元消元方法的部分應(yīng)用,這一方法可以巧妙轉(zhuǎn)化復(fù)雜題型并解決問(wèn)題,能避免煩瑣的求解過(guò)程,能發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維.

    實(shí)際上,數(shù)學(xué)解題方法多種多樣,只要我們認(rèn)真觀察和思考,不被傳統(tǒng)思維所束縛,就能發(fā)現(xiàn)便捷的解題路徑,從而提高學(xué)習(xí)效率.

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