基于多元聯(lián)合分布函數(shù)的托輥綜合質(zhì)量評(píng)價(jià)方法

倪永帥 黃 璜 羅克松

北京起重運(yùn)輸機(jī)械設(shè)計(jì)研究院有限公司 北京 100007

0 引言

托輥是帶式輸送機(jī)的重要部件，其成本占一臺(tái)帶式輸送機(jī)總成本的20% ～35%，承受了70%以上的阻力，托輥的質(zhì)量尤為重要[1,2]。由于托輥行業(yè)生產(chǎn)技術(shù)不斷提高以及下游需求市場(chǎng)不斷擴(kuò)大，我國(guó)托輥行業(yè)近年來(lái)發(fā)展速度較快。但由于生產(chǎn)條件各不相同，不同廠家生產(chǎn)的同類型、同型號(hào)、同規(guī)格的托輥性能參數(shù)差異較大[3]，同一廠家不同批次的產(chǎn)品也存在一定差異。通過(guò)樣本試驗(yàn)得到托輥技術(shù)參數(shù)，進(jìn)而分析某批托輥的綜合質(zhì)量，不僅有利于對(duì)不同廠家托輥質(zhì)量進(jìn)行橫向比較，也有利于企業(yè)比較分析不同批次產(chǎn)品的優(yōu)劣程度。但是，在MT 821—2006《煤礦用帶式輸送機(jī) 托輥 技術(shù)條件》中，檢驗(yàn)托輥性能的技術(shù)指標(biāo)有13項(xiàng)[4]，其中量化指標(biāo)有9項(xiàng)，且各項(xiàng)指標(biāo)的重要程度不同。在做一批托輥質(zhì)量綜合分析時(shí)，不宜僅依靠單項(xiàng)指標(biāo)作為判斷標(biāo)準(zhǔn)。因此，引入綜合評(píng)價(jià)參數(shù)將有利于做出更為直觀的判斷分析。本文介紹一種基于多指標(biāo)的聯(lián)合分布函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度引入一個(gè)綜合評(píng)價(jià)參數(shù)，并通過(guò)綜合評(píng)價(jià)參數(shù)的概率分布來(lái)分析一批托輥的綜合質(zhì)量。

1 數(shù)學(xué)模型

設(shè)同一批同規(guī)格、同型號(hào)、同類型的托輥為S，設(shè)隨機(jī)變量I1，I2，…，Ij為托輥的技術(shù)指標(biāo)，當(dāng)同批次托輥?zhàn)銐蚨?，且各技術(shù)指標(biāo)方差有限時(shí)，根據(jù)中心極限定理[5]，每一個(gè)隨機(jī)變量Ii應(yīng)滿足正態(tài)分布，取隨機(jī)變量Gi為Ii的評(píng)價(jià)變量，且Gi也滿足正態(tài)分布。從集合S中抽取若干樣本來(lái)進(jìn)行試驗(yàn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)取得樣本數(shù)據(jù)，從而得到各個(gè)隨機(jī)變量正態(tài)分布的參數(shù)。構(gòu)造一個(gè)新的隨機(jī)變量R，R=fs(G1,G2,…,Gj)。R即為綜合評(píng)價(jià)參數(shù)。

1.1 各技術(shù)指標(biāo)的的概率分布

由于托輥各技術(shù)指標(biāo)的表現(xiàn)形式各不相同，需要用評(píng)價(jià)變量Gi將其值進(jìn)行統(tǒng)一。本文選取百分制評(píng)分的方式將其統(tǒng)一，對(duì)于評(píng)價(jià)托輥的單項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)，MT 821—2006《煤礦用帶式輸送機(jī) 托輥 技術(shù)條件》給出了允許值[4]，將允許值Iallow定為60分，即Gallow= 60，理想值Iideal定為100分，即Gideal=100，則Ii的評(píng)價(jià)變量Gi為

為得出R的分布，首先研究每個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量Gi情況。抽取n個(gè)被測(cè)托輥?zhàn)鳛闃颖?，可測(cè)得一組Ii的樣本，變換得到Gi的樣本。因?yàn)檎龖B(tài)分布是一個(gè)穩(wěn)定分布，根據(jù)中心極限定理，Ii服從正態(tài)分布，則Gi也服從正態(tài)分布。若該正態(tài)分布的均值為μ、方差為σ2，即Gi～N(μ,σ2)，則Gi的概率密度函數(shù)[5]為

對(duì)于每一組隨機(jī)變量Gi，可以寫(xiě)出相應(yīng)的概率密度函數(shù)fi(x)。

1.2 綜合評(píng)價(jià)參數(shù)R

引入綜合評(píng)價(jià)參數(shù)R，隨機(jī)變量R的函數(shù)fs(G1，G2，…，Gn)可以根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)確定，本文采用計(jì)算加權(quán)平均值的方法，即

式中：ai為每項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的權(quán)數(shù)。

1.3 綜合評(píng)價(jià)參數(shù)R的概率密度

為得到R的概率密度函數(shù)，先求得Gi的聯(lián)合概率密度函數(shù)，設(shè)Gi的概率密度函數(shù)為fi(x)，由于G1，G2，…，Gn是獨(dú)立的，則其聯(lián)合概率密度函數(shù)為[5]

然后對(duì)f1(x1)、f2(x2)和f3(x3)進(jìn)行計(jì)算，此時(shí)r2=a1x1+a2x2+a3x3=r1+a3x3，可以轉(zhuǎn)化為f(r1)和f3(x3)2項(xiàng)的計(jì)算，其概率密度函數(shù)為

重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程，最終得到R的概率密度函數(shù)f(r)。

由f(r)作圖，可以直觀地分析出各組樣本托輥的綜合質(zhì)量。由于樣本與總體S同分布，進(jìn)而可以得出該批托輥的綜合質(zhì)量。文分別選取A廠和B廠10個(gè)同類型、同型號(hào)、同規(guī)格（Φ133×380）的托輥樣本對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證。

2 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

MT 821—2006《煤礦用帶式輸送機(jī) 托輥 技術(shù)條件》中給出了9個(gè)托輥技術(shù)參數(shù)的量化指標(biāo)[4]，分別是徑向圓跳動(dòng)、旋轉(zhuǎn)阻力、軸向竄動(dòng)、軸向載荷、跌落強(qiáng)度、浸水密封、煤塵密封、使用壽命、淋水密封。本

2.1 兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)參數(shù)計(jì)算

選取旋轉(zhuǎn)阻力I1和軸向竄動(dòng)I22項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)來(lái)對(duì)2廠的托輥質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，具體數(shù)值見(jiàn)表1，設(shè)2個(gè)指標(biāo)的權(quán)數(shù)各為1/2。

表1 A廠和B廠的技術(shù)參數(shù)

根據(jù)MT 821—2006《煤礦用帶式輸送機(jī) 托輥 技術(shù)條件》，該規(guī)格托輥旋轉(zhuǎn)阻力的允許值為3.0，理想值為0，軸向竄動(dòng)的允許值為1.2，理想值為0，則根據(jù)式（1），可分別得到A廠和B廠的評(píng)價(jià)變量G1、G2、G1＇、G2＇，見(jiàn)表2。

表2 A廠和B廠技術(shù)參數(shù)的評(píng)價(jià)變量

由此可得各組G值正態(tài)分布參數(shù)，見(jiàn)表3。

表3 A廠和B廠技術(shù)參數(shù)評(píng)價(jià)變量正態(tài)分布參數(shù)

r=x1/2+x2/2，根據(jù)式（2）和式（7），可以得到2組概率密度函數(shù)，分別為

計(jì)算可得

由概率密度函數(shù)可得圖1，圖中橫坐標(biāo)為基于2項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的托輥綜合評(píng)分，縱坐標(biāo)為該評(píng)分對(duì)應(yīng)的概率值。圖中反映了所選取的10個(gè)托輥樣本中每個(gè)分值的的概率和樣本總體（即該廠生產(chǎn)的同批次產(chǎn)品）中不同分值的分布情況。從圖1中可以直觀地看出，A廠綜合指標(biāo)優(yōu)于B廠。其中A廠以綜合評(píng)分在75 ～80分的產(chǎn)品居多，B廠則以綜合評(píng)分在65 ～70的產(chǎn)品居多。此外，綜合評(píng)分在60分以下的產(chǎn)品B廠多于A廠，即B廠出現(xiàn)不合格品的概率大于A廠。

圖1 2廠2項(xiàng)指標(biāo)概率分布圖

2.2 3項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)參數(shù)計(jì)算

為了進(jìn)一步對(duì)該模型進(jìn)行驗(yàn)證，又增加了一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)，選取旋轉(zhuǎn)阻力I1、軸向竄動(dòng)I2和徑向圓跳動(dòng)I33項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)來(lái)對(duì)A、B廠的托輥質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，設(shè)3項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)數(shù)各為1/3，A廠和B廠的徑向圓跳動(dòng)數(shù)據(jù)見(jiàn)表4。

表4 A廠和B廠托輥樣本的徑向圓跳動(dòng)

根據(jù)MT 821—2006《煤礦用帶式輸送機(jī) 托輥 技術(shù)條件》，該規(guī)格托輥徑向圓跳動(dòng)的允許值為0.7，理想值為0，根據(jù)式（1），可分別得到A廠和B廠的評(píng)價(jià)變量G3和G3＇，見(jiàn)表5。

表5 A廠和B廠徑向圓跳動(dòng)評(píng)價(jià)變量

由此可得各組G3和G3＇的正態(tài)分布參數(shù)，見(jiàn)表6。

表6 A廠和B廠技術(shù)參數(shù)評(píng)價(jià)變量正態(tài)分布參數(shù)

首先計(jì)算旋轉(zhuǎn)阻力和軸向竄動(dòng)2項(xiàng)指標(biāo)的綜合評(píng)價(jià)參數(shù)，方法見(jiàn)2.1節(jié)，這里r1=x1/2+x2/2，可得式（11）和（12）。

然后引入徑向圓跳動(dòng)計(jì)算3項(xiàng)指標(biāo)的綜合評(píng)價(jià)參數(shù)。由式（2）可得

代入式（8）,這里r= 2r1/3+x3/3，即r1=3r1/2-x2/2可以得到2組概率密度函數(shù)

由概率密度函數(shù)可得到圖2，圖中橫坐標(biāo)為基于3項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)的托輥綜合評(píng)分，縱坐標(biāo)為該評(píng)分對(duì)應(yīng)的概率值。從新增的技術(shù)指標(biāo)來(lái)看，B廠的徑向圓跳動(dòng)值要顯著優(yōu)于A廠，其平均值更高且方差更小。但是，綜合3項(xiàng)指標(biāo)，A廠的產(chǎn)品質(zhì)量仍然優(yōu)于B廠。其中A廠以綜合評(píng)分在70 ～80分的產(chǎn)品居多，B廠則以綜合評(píng)分在65 ～75的產(chǎn)品居多。由此可見(jiàn)，僅根據(jù)一項(xiàng)指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)一批產(chǎn)品的優(yōu)劣是片面的，并不能反映該批次產(chǎn)品的綜合質(zhì)量。隨著模型中所考慮的技術(shù)指標(biāo)的增多，綜合評(píng)價(jià)參數(shù)對(duì)產(chǎn)品綜合質(zhì)量的分析也更加準(zhǔn)確。

圖2 2廠2項(xiàng)指標(biāo)概率分布圖

3 結(jié)論

本文引入了綜合評(píng)價(jià)參數(shù)R，提出了一種將多元指標(biāo)聯(lián)合用于托輥綜合質(zhì)量評(píng)判的方法。該方法利用抽取樣本的實(shí)驗(yàn)結(jié)果從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度不僅能夠反映同一批產(chǎn)品的質(zhì)量分布情況，也能夠?qū)Ρ炔煌瑥S家的產(chǎn)品分析其質(zhì)量的優(yōu)劣。通過(guò)計(jì)算，本文給出了綜合評(píng)價(jià)參數(shù)概率密度的解析形式，并畫(huà)出了相應(yīng)的概率分布圖，直觀地對(duì)綜合評(píng)價(jià)參數(shù)各分值的概率進(jìn)行了分析。在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值改變綜合評(píng)價(jià)參數(shù)函數(shù)或各項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)數(shù)。本文僅給出了基于2項(xiàng)指標(biāo)和3項(xiàng)指標(biāo)的綜合評(píng)價(jià)參數(shù)的詳細(xì)計(jì)算過(guò)程，若要引入更多指標(biāo)，可參照上述過(guò)程逐步進(jìn)行計(jì)算。該數(shù)學(xué)模型的建立以及綜合評(píng)價(jià)參數(shù)的引入為托輥綜合質(zhì)量的分析提供了一種更全面更準(zhǔn)確的評(píng)價(jià)手段。