思維導(dǎo)向下數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)技巧

李清生

[摘 要]在“雙減”背景下，減少學(xué)生作業(yè)總量的同時，需要不斷提升作業(yè)的質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生的思維。教師在數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)上，要聚焦問題的設(shè)計(jì)，通過不斷優(yōu)化問題，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，提升學(xué)生的思維能力。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐和學(xué)校校本作業(yè)設(shè)計(jì)，通過情境問題、探究問題、變式問題、聚焦問題、轉(zhuǎn)變問題、開放問題，使數(shù)學(xué)問題承載更多的價值，具有更豐富的內(nèi)涵與功能，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呈現(xiàn)出深度之美。

[關(guān)鍵詞]雙減;思維導(dǎo)向;數(shù)學(xué)問題;設(shè)計(jì)技巧

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）11-0036-03

“雙減”背景下，課堂教學(xué)的育人理念發(fā)生了變化，教育的評價機(jī)制也隨之改變，學(xué)生作業(yè)的設(shè)計(jì)指向高質(zhì)量、精細(xì)化。校本作業(yè)設(shè)計(jì)作為日常檢測的主要手段，其設(shè)計(jì)的意圖、命題的質(zhì)量、檢測的價值都要有相應(yīng)的改變，既要面向全體，促進(jìn)每一個學(xué)生的發(fā)展，又要立足本質(zhì)，考查和評價學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)，促進(jìn)其思維的發(fā)展。下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐和學(xué)校校本作業(yè)設(shè)計(jì)，闡述思維導(dǎo)向下數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)技巧。

一、問題情境，指向數(shù)學(xué)思考

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)知識主要來源于生活，以應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活實(shí)際問題為主，因此創(chuàng)設(shè)問題情境應(yīng)成為廣大教師必備的基本功。但在日常的校本作業(yè)設(shè)計(jì)中，部分教師對于情境創(chuàng)設(shè)過于隨意，偏向于找現(xiàn)成的，沒有聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際和知識儲備，且問題指向單一，對情境與問題是否適合特定的學(xué)生群體、是否能與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)相關(guān)聯(lián)、是否能真正促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展、出發(fā)點(diǎn)和著力點(diǎn)是否恰當(dāng)?shù)榷加写遄?。在減輕學(xué)生作業(yè)負(fù)擔(dān)的背景下，改進(jìn)的目光聚焦到真實(shí)情境和問題設(shè)計(jì)的雙重優(yōu)化上。真實(shí)問題情境的設(shè)計(jì)，有助于檢測學(xué)生對知識的應(yīng)用情況，深化學(xué)生對知識本質(zhì)的理解;有助于學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活的意識;有助于學(xué)生在解決問題的情境中展開思考，學(xué)會用數(shù)學(xué)語言表達(dá)思維，實(shí)現(xiàn)知識的建構(gòu)和遷移，促進(jìn)思維的發(fā)展，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【樣題】核酸檢測有混采和單采兩種方式，你知道兩者之間有什么區(qū)別嗎？有10.24萬人每人做了7次核酸檢測，如果單采每人每次大約需要70元，請你估一估一共需要多少費(fèi)用。要是90.51萬人全員單采，又需要多少費(fèi)用？如果混采（每人每次10元），大約可以節(jié)省多少費(fèi)用？通過估算，你有什么想說的嗎？

本題設(shè)計(jì)指向疫情中的估算問題，考查學(xué)生是否會用數(shù)學(xué)的眼光觀察、分析發(fā)生在身邊的實(shí)際問題，調(diào)查、了解單采和混采的區(qū)別及其適用情況，能把估算結(jié)果與經(jīng)濟(jì)損失進(jìn)行聯(lián)系，感受疫情所造成的巨大損失，感悟作為社會一員做好勤洗手、戴口罩、勤通風(fēng)、保持一米距離等防疫“四件套”的必要性，同時加深對數(shù)學(xué)知識、技能的理解與應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活的理念。

二、探究問題，凸顯思維過程

在數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)中，探究性問題的設(shè)置是不可或缺的。但教師在以往校本作業(yè)及課堂練習(xí)的反饋中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于操作、了解類作業(yè)的完成情況較好，而對于領(lǐng)會和探究作業(yè)的完成情況相對較差。導(dǎo)致這一局面產(chǎn)生的原因，與教師日常設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣密切相關(guān)——常常偏重計(jì)算型、基礎(chǔ)型數(shù)學(xué)問題的設(shè)置，又加上探究性問題涉及的知識點(diǎn)較多，使得一些教師不善于、不習(xí)慣設(shè)置探究性問題。因此在問題的設(shè)計(jì)中，教師不僅要設(shè)計(jì)面向全體學(xué)生的基礎(chǔ)性問題，還要適當(dāng)補(bǔ)充探究性問題，通過探究性問題的補(bǔ)充，減少低階思維水平作業(yè)的重復(fù)訓(xùn)練，增加有利于培養(yǎng)學(xué)生高階思維水平的作業(yè)練習(xí)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具主動性和個性。

【樣題】小明參加了實(shí)驗(yàn)小學(xué)運(yùn)動會的開幕式表演，所有學(xué)生表演時排成長方形。趙老師在隊(duì)伍的前面看小明，他的位置是（11，6）;張老師在隊(duì)伍的后面看小明，他的位置是（2，4）。表演的學(xué)生共有多少人？請你畫一畫、寫一寫。

本題設(shè)計(jì)基于“位置”這一單元的重點(diǎn)知識。學(xué)生已理解數(shù)對表示的含義，但對是以誰為觀察點(diǎn)來確定左右（列）和前后（行）還容易弄混淆。設(shè)計(jì)本單元的探究性問題意在讓學(xué)生把自己的思維過程用圖示呈現(xiàn)出來，突破以誰為觀察點(diǎn)來確定數(shù)對的難點(diǎn)，再通過寫清方法和步驟來審視自己的解題思路與過程，樹立用數(shù)對確定位置之前，必須明確是以自己為觀察點(diǎn)還是以他人的位置為觀察點(diǎn)的意識，從而對知識進(jìn)行理解和融會貫通。從學(xué)生作業(yè)中可以看出其思維軌跡（如圖1）。

三、變式問題，轉(zhuǎn)變思維方式

在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題時，教師對問題的變式關(guān)注度還不夠，呈現(xiàn)問題的形式老套，問題設(shè)計(jì)的思維含量不高，不利于學(xué)生從多方面思考問題。變式問題可以改變學(xué)生思考的角度和方向。變式問題變化的只是問題，跟條件無關(guān)，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)習(xí)需求，對原題的問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木?、補(bǔ)充或拓展，賦予其更加豐富的思維空間，引發(fā)學(xué)生聯(lián)想與溝通，加深學(xué)生對本質(zhì)屬性的理解與判斷，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。

【樣題】

在 中添1個小正方體，從正面看到的圖形不可能是（? ?）。

從學(xué)生常規(guī)思維出發(fā)，問題的設(shè)計(jì)應(yīng)該是觀察并畫出從不同方向看到的圖形。而樣題，也就是變式問題，變?yōu)樵谀硞€位置上添一個小正方體，讓學(xué)生想象從正面能看到的圖形。其實(shí)還可以改為增加一個小正方體，讓學(xué)生思考從某一面看到的可能是什么圖形。樣題從變式問題的角度出發(fā)，喚起學(xué)生的空間想象力，促進(jìn)學(xué)生深入思考與分析?？臻g觀念的本質(zhì)是空間想象力，想象才是促使學(xué)生空間觀念縱向逐步加深的助推器。比起“仔細(xì)觀察 ，從正面看到的是（? ? ），[ ] 是從（? ? ）面看到的”，像樣題這樣的變式問題立體感更強(qiáng)，立意更深，想象空間更大，思維含量更高。其設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生在同一個位置觀察變化的物體的不同形狀，使學(xué)生從不同的角度展開想象、猜測和推理來解決問題，在變與不變的辨析中聚焦圖形的本質(zhì)特征，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，豐富學(xué)生的空間想象力和思維能力，使學(xué)生更好地理解和建構(gòu)知識，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、轉(zhuǎn)變問題，凸顯逆向思維

教學(xué)中，教師往往比較關(guān)注學(xué)生正向思維的發(fā)展，幫助學(xué)生分析問題、理解問題，經(jīng)歷正向解決問題的過程。在設(shè)計(jì)作業(yè)時也是如此。長此以往，學(xué)生的解題思維和解決問題的模式會受到抑制和固化。在數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)中，教師要轉(zhuǎn)變問題的呈現(xiàn)方式，嘗試反其道而行之，用逆向的思維方式設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，從算式或結(jié)論的回推進(jìn)行反向設(shè)計(jì)，以此拓寬學(xué)生分析和解決問題的渠道，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性。

【樣題】請你為算式“（4+6）×2=4×2+6×2”配一幅圖。

樣題通過算式“（4+6）×2=4×2+6×2”逆推數(shù)學(xué)問題的生活原型，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合數(shù)與形，溝通乘法分配律與已有知識的聯(lián)系，充分喚起學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)、興趣與思考，用豐富多元的呈現(xiàn)方式展現(xiàn)學(xué)生的思維過程。

思維一：結(jié)合簡單圖形表達(dá)。學(xué)生可以用“●”或“■”畫圖來理解乘法分配律的含義（如圖2）。

思維二：借助數(shù)量關(guān)系表達(dá)。學(xué)生可以用單價、數(shù)量與總價（如圖3），時間、速度與路程（如圖4）等關(guān)系式來理解乘法分配律的生活原型。

思維三：借助幾何直觀表達(dá)。學(xué)生可以用面積模型來呈現(xiàn)對（4+6）×2=4×2+6×2的理解（如圖5）。

這樣的問題設(shè)計(jì)可以展示學(xué)生真實(shí)的思維過程，考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力，加強(qiáng)學(xué)生對乘法分配律的理解與應(yīng)用。采用圖形表征語言表達(dá)乘法分配律，通過轉(zhuǎn)變問題的呈現(xiàn)方式，誘發(fā)學(xué)生突破原有局限，聯(lián)系自身已有知識和生活經(jīng)驗(yàn)理解數(shù)學(xué)問題原型，使原本已經(jīng)被抽象了的算式還原其本來面目，使無趣無味的定律被賦予更加豐富的內(nèi)涵，使學(xué)生固化狹隘的思維變得生動靈活，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性和靈活性。

五、開放問題，培養(yǎng)思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)的重中之重是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，特別是創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)與發(fā)展。但在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題時，教師往往較為注重標(biāo)準(zhǔn)答案，問題求解的功用價值被無限放大，發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維的發(fā)展被忽視，長此以往，很難實(shí)現(xiàn)對學(xué)生核心知識和能力的考查。因此，數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)倡導(dǎo)開放原則，要根據(jù)學(xué)生的知識儲備及思維發(fā)展水平，在習(xí)題設(shè)計(jì)中，適度設(shè)置開放性問題。通過開放性問題的設(shè)計(jì)，助力學(xué)生從不同角度、用不同方法思考并解決問題，進(jìn)一步開闊思維，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造能力。

【樣題】學(xué)校“六一”兒童節(jié)要買三種獎品，預(yù)算是1000元。請根據(jù)物品的價格，寫出一個總價剛好是1000元的購買方案。

你想買文具盒（? ?）個，籃球（? ?）個，書包（? ?）個。你試著往下寫，從中發(fā)現(xiàn)了：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

問題開放了，學(xué)生的想法各異，主要有以下幾種情況：

這道開放性的數(shù)學(xué)問題充分調(diào)動了學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力。解題時，學(xué)生根據(jù)題目所提供的信息進(jìn)行多維度的數(shù)學(xué)思考，在探究中得出結(jié)論：文具盒每多買5個，籃球和書包就少買1個。進(jìn)而揭示“5個文具盒=1個籃球+1個書包”的內(nèi)在規(guī)律。通過這道題的解答，學(xué)生完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了整體思維，提升了思維品質(zhì)。

新時代教育對教育評價機(jī)制提出了更高的要求，中小學(xué)生減負(fù)問題逐漸常態(tài)化，數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)技巧將是小學(xué)數(shù)學(xué)教師必須具備的學(xué)科技能。教師在數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)、重組與改編中，要更關(guān)注知識的重構(gòu)與超越，使問題設(shè)計(jì)更貼近學(xué)生的生活和學(xué)習(xí)，使問題承載更多的價值，具備更豐富的內(nèi)涵與功能，著重考查學(xué)生對數(shù)學(xué)的本質(zhì)理解、數(shù)學(xué)思考力的發(fā)展和綜合運(yùn)用知識解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呈現(xiàn)出深度之美。

[本文系2022年教育部福建師范大學(xué)基礎(chǔ)課程研究中心開放課題“問題導(dǎo)向下小學(xué)數(shù)學(xué)‘讀思達(dá)’教學(xué)實(shí)踐與研究”的研究成果。]

（責(zé)編 吳美玲）