二元Bernstein-Durrmeyer算子在Orlicz空間中的逼近定理

宋文華， 吳嘎日迪

(1.內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，呼和浩特010022； 2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心， 呼和浩特010022)

1 引 言

Bernstein-Durrmeyer算子是根據(jù)Bernstein算子做了如下變形而來(lái)的

關(guān)于Bernstein-Durrmeyer算子在Orlicz空間中的逼近性質(zhì)已經(jīng)有了許多經(jīng)典的結(jié)果，文獻(xiàn)[1]中得到了逼近的等價(jià)定理.文獻(xiàn)[2]中研究了修正的Bernstein-Durrmeyer算子的等價(jià)定理.將其拓展到二元方向的結(jié)果也有許多，如文獻(xiàn)[3]中引進(jìn)了如下的二元Bernstein-Durrmeyer算子

其中D=[0，1]×[0，1]是2中的正方形.

關(guān)于該二元算子在Lp空間內(nèi)的逼近問(wèn)題已有一些研究，由于Orlicz空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)比Lp空間更為復(fù)雜，本文借助H?lder不等式、凸函數(shù)的Jensen不等式和Orlicz空間中K-泛函，在Orlicz空間中論證了該算子的收斂性，并且推出了逼近的正定理和逆定理.

文章里用M(u)和N(v)表示互余的二元N函數(shù).下面給出N函數(shù)的定義.倘若定義在R1=(-∞，+∞)上的實(shí)值函數(shù)M(u)滿足:

(i)M(u)為偶的連續(xù)凸函數(shù)且M(0)=0；

(ii) 當(dāng)u>0時(shí)，M(u)>0；

則M(u)為N函數(shù).有關(guān)N函數(shù)的性質(zhì)詳細(xì)可見(jiàn)文獻(xiàn)[4]中的論述.定義Orlicz空間中的范數(shù)

引進(jìn)記號(hào)

定義K-泛函為

2 相關(guān)引理

引理1[3]對(duì)n∈，有

‖Dn，m(f)‖M≤‖f‖M;

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

證由N函數(shù)M(u)的凸性、Jensen不等式與引理1有

(1)式得證.因?yàn)?/p>

所以(2)(3)式可用和(1)式同樣的證明方法得到.接下來(lái)證明(4)式，記

因?yàn)?/p>

≤Cn‖f‖M，

文中用C表示常數(shù)，不同處C值各異.所以

(4)式得證，同理可證得(5)式.

引理3設(shè)f∈SM，則

(6)

(7)

(8)

(9)

證由文獻(xiàn)[3]

則有

所以，類(lèi)似于引理2中(4)式的推理

(6)式得證，同理可證明(7)式.下面證明(8)式，由文獻(xiàn)[3]

=I1(f)+I2(f)+I3(f)，

為了估計(jì)‖x(1-x)I2(f)‖M，由文獻(xiàn)[3]，作線性算子

則

由于

所以，類(lèi)似于引理2中(4)式的推理

從而

(8)式得證，同理可證(9)式.

引理4設(shè)f∈SM，則

由文獻(xiàn)[3]知

所以，類(lèi)似于引理2中(4)式的推理

所以

因此

同理可得

引理4證畢.

3 主要結(jié)果

證從引理2和引理4知，對(duì)?g∈SM，有

所以

證從引理2和引理3知，對(duì)?g∈SM，有

由文獻(xiàn)[5-6]知KM(f，t)=O(tα).

4 結(jié) 論

文中借助LP空間中研究問(wèn)題的方法，在Orlicz空間中探究了二元Bernstein-Durrmeyer算子的逼近性質(zhì)，并且得到了逼近的正定理和逆定理.將二元Bernstein-Durrmeyer算子的逼近結(jié)果拓展到了較大的函數(shù)空間，具有一定的理論價(jià)值和應(yīng)用前景.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).