宋文華, 吳嘎日迪
(1.內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,呼和浩特010022; 2.內(nèi)蒙古自治區(qū)應(yīng)用數(shù)學(xué)中心, 呼和浩特010022)
Bernstein-Durrmeyer算子是根據(jù)Bernstein算子做了如下變形而來(lái)的
關(guān)于Bernstein-Durrmeyer算子在Orlicz空間中的逼近性質(zhì)已經(jīng)有了許多經(jīng)典的結(jié)果,文獻(xiàn)[1]中得到了逼近的等價(jià)定理.文獻(xiàn)[2]中研究了修正的Bernstein-Durrmeyer算子的等價(jià)定理.將其拓展到二元方向的結(jié)果也有許多,如文獻(xiàn)[3]中引進(jìn)了如下的二元Bernstein-Durrmeyer算子
其中D=[0,1]×[0,1]是2中的正方形.
關(guān)于該二元算子在Lp空間內(nèi)的逼近問(wèn)題已有一些研究,由于Orlicz空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)比Lp空間更為復(fù)雜,本文借助H?lder不等式、凸函數(shù)的Jensen不等式和Orlicz空間中K-泛函,在Orlicz空間中論證了該算子的收斂性,并且推出了逼近的正定理和逆定理.
文章里用M(u)和N(v)表示互余的二元N函數(shù).下面給出N函數(shù)的定義.倘若定義在R1=(-∞,+∞)上的實(shí)值函數(shù)M(u)滿足:
(i)M(u)為偶的連續(xù)凸函數(shù)且M(0)=0;
(ii) 當(dāng)u>0時(shí),M(u)>0;
則M(u)為N函數(shù).有關(guān)N函數(shù)的性質(zhì)詳細(xì)可見(jiàn)文獻(xiàn)[4]中的論述.定義Orlicz空間中的范數(shù)
引進(jìn)記號(hào)
定義K-泛函為
引理1[3]對(duì)n∈,有
‖Dn,m(f)‖M≤‖f‖M;
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
證由N函數(shù)M(u)的凸性、Jensen不等式與引理1有
(1)式得證.因?yàn)?/p>
所以(2)(3)式可用和(1)式同樣的證明方法得到.接下來(lái)證明(4)式,記
因?yàn)?/p>
≤Cn‖f‖M,
文中用C表示常數(shù),不同處C值各異.所以
(4)式得證,同理可證得(5)式.
引理3設(shè)f∈SM,則
(6)
(7)
(8)
(9)
證由文獻(xiàn)[3]
則有
所以,類(lèi)似于引理2中(4)式的推理
(6)式得證,同理可證明(7)式.下面證明(8)式,由文獻(xiàn)[3]
=I1(f)+I2(f)+I3(f),
為了估計(jì)‖x(1-x)I2(f)‖M,由文獻(xiàn)[3],作線性算子
則
由于
所以,類(lèi)似于引理2中(4)式的推理
從而
(8)式得證,同理可證(9)式.
引理4設(shè)f∈SM,則
由文獻(xiàn)[3]知
所以,類(lèi)似于引理2中(4)式的推理
所以
因此
同理可得
引理4證畢.
證從引理2和引理4知,對(duì)?g∈SM,有
所以
證從引理2和引理3知,對(duì)?g∈SM,有
由文獻(xiàn)[5-6]知KM(f,t)=O(tα).
文中借助LP空間中研究問(wèn)題的方法,在Orlicz空間中探究了二元Bernstein-Durrmeyer算子的逼近性質(zhì),并且得到了逼近的正定理和逆定理.將二元Bernstein-Durrmeyer算子的逼近結(jié)果拓展到了較大的函數(shù)空間,具有一定的理論價(jià)值和應(yīng)用前景.
致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見(jiàn).