涉及Hecke-特征值的問題

耿貝娜， 史三英

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230601)

1 引 言

在數(shù)論中一般的因數(shù)問題一直以來是一個很熱門的研究方向，很多學(xué)者在此方面做出了很多創(chuàng)造性的研究成果，盡管此方面的研究成果已經(jīng)頗為豐盛，但是仍舊有很多的學(xué)者繼續(xù)在此領(lǐng)域上不斷地鉆研著奮斗著，想要做出一些更具有開創(chuàng)性的理論成果來，由此也可以知道因數(shù)問題確實是一個值得深究的問題，因而才能夠引得無數(shù)學(xué)者對它產(chǎn)生強(qiáng)烈的興趣.目前有關(guān)它的研究結(jié)果日益增多，特別是近年來有關(guān)它的最新研究成果也是不斷增長.很多學(xué)者往往傾向于將一般因數(shù)問題結(jié)合某些特殊函數(shù)的特征值來進(jìn)行研究，例如，參考文獻(xiàn)[1]曾給出以下結(jié)論：

令Γ=SL(2,)是由所有Hecke算子Tn的特征函數(shù)組成的完全模群，用Sr表示在Γ上拉普拉斯特征值為的一組Maass尖點形式.那么Tn上函數(shù)f(z)在頂點無窮遠(yuǎn)處的傅里葉展開如下:

這里λf(1)=1,λf(n)∈表示Hecke算子Tn的第n個特征值，Kir是K-Bessel函數(shù).

下面定義與f(z)相關(guān)的幾個重要的L函數(shù).

對于定義1中的函數(shù)有以下結(jié)論:

比較定義1和上式可得λf×f(n)≥0.

對于任意固定整數(shù)k≥1,給出如下L-函數(shù)定義.

定義2對于Res>1，

若k=1,得到定義1中結(jié)果λ1,f×f(n)=λf×f(n).

參考文獻(xiàn)[3]針對Maass尖點形式對涉及Hecke-特征值的一般因數(shù)問題進(jìn)行了深入的研究并且取得了很好的結(jié)果，即對任意的ε>0，有

2019年，參考文獻(xiàn)[4]也對涉及Hecke特征值的相關(guān)問題在參考文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論，得到了優(yōu)于前人的結(jié)果.即對任意的ε>0，有

這篇文章中將在已有研究成果的基礎(chǔ)上，通過改進(jìn)相關(guān)結(jié)論，對于2≤k≤5,得出一個更為精確的余項，對于k≥6情形，給出了另一種新的證明方法.本文得到如下定理.

定理1對于任意的ε>0,有

文中余項有更好地估計基于對Rankin-Selberg L-函數(shù)進(jìn)行的如下形式的分解.

L(s,f×f)=ζ(s)L(sym2f,s),

(1)

這里的L(sym2f,s)是關(guān)于f對稱平方的L函數(shù)并且滿足以下等式關(guān)系:

接下來給出定理1證明過程中所需要的若干引理.

2 一些引理

對于Riemann-Zeta-函數(shù)ζ(s)給出一些相關(guān)結(jié)論.

引理1對于任意的ε>0，當(dāng)T≥1時有

(2)

(3)

證式(2)是參考文獻(xiàn)[5]已經(jīng)證明出的結(jié)果，式(3)是參考文獻(xiàn)[6]最近得出的一個研究成果.

對于L-函數(shù)L(sym2f,s),有

(4)

當(dāng)T≥1時還可以得出

(5)

證式(4)是文獻(xiàn)[4]中引理2.4，式(5)可以從解析數(shù)論中函數(shù)L(s,sym2f)的解析性質(zhì)中得出.

3 定理1的證明

(6)

通過柯西留數(shù)定理，可以得出

(7)

通過分部積分法，可以進(jìn)一步得到對任意的i≥1有

(8)

(9)

由(8)中取i=1，(1)和(9)得

(10)

由(3)-(5)和(10)有

(11)

由(7)和(11)可以得到

(12)

即記為

(13)

由(2)-(5)和(13)得出

(14)

由(7)和(14)有

(15)

由(2)-(4)和(15)有

(16)

由(7)和(16)有

4 結(jié) 論

本文主要是以部分和函數(shù)估計為主要線索和基本出發(fā)點，給出的定理1相比之前的結(jié)論更加精確，它是基于對特定的函數(shù)Rankin-Selberg L-函數(shù)的分解形式并結(jié)合該分解式中各個函數(shù)在一定條件下的估計式來完成的.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.