追溯“源頭” 撥開云霧見“真身”
——例析“與圓相關(guān)的最值問題”

陳 龍

(湖北省水果湖高級(jí)中學(xué) 430071)

源題1已知圓C:(x-4)2+(y-3)2=25，求過點(diǎn)M(2,1)的直線l被圓C截得的最短弦長和最長弦長.

解析因?yàn)?2-4)2+(1-3)2=8<25，

所以點(diǎn)M在圓C內(nèi).

圖1

變式已知C:(x-1)2+(y-2)2=25，直線l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，求直線l被圓C截得的弦長的最大值和最小值.

源題2已知點(diǎn)P(x,y)是圓C:(x-3)2+(y-3)2=4任一點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l:2x+y+6=0距離的最大值和最小值.

圖2

點(diǎn)評(píng)此題屬于考查直線與圓相離時(shí)圓上點(diǎn)到直線距離的最值問題.最大值為d+R，最小值為d-r.

變式1由直線l:y=x+1上的一動(dòng)點(diǎn)P向圓C:(x-3)2+y2=1引切線切于點(diǎn)D，求切線PD長的最小值.

圖3 圖4

變式2 已知點(diǎn)P為直線y=x+1上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C:(x-3)2+y2=1的切線PA，PB，A,B為切點(diǎn)，求cos∠APB的最小值.

解析由圖4知cos∠APB=cos2∠APC=1-2sin2∠APC,

源題3已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2-4x+1=0.

(2)求n=y-x的最大值和最小值；

(3)求t=x2+y2的最大值和最小值.

解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)滿足圓C:(x-2)2+y2=3方程，即點(diǎn)P在圓C上.

圖5 圖6

(注：利用點(diǎn)C到直線y=kx距離等于半徑求出相切時(shí)的k值)

圖7

點(diǎn)評(píng)此類題屬于考查直線與圓相切時(shí)相關(guān)的最值問題.處理時(shí)要考慮所求式子的幾何意義.

變式2若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+2x-4y=0，求x-2y的最大值．

解析(x+1)2+(y-2)2=5，

所以當(dāng)cos(θ+φ)=1時(shí)，(x-2y)max=5-5=0.故x-2y的最大值為0．

點(diǎn)評(píng)本題是典型的用圓的參數(shù)方程解決的題型，利用圓的參數(shù)方程將所求式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，利用輔助角公式即得最大值，此法在后續(xù)圓錐曲線的學(xué)習(xí)中會(huì)有所推廣.

變式3平面上有兩點(diǎn)A(-1，0)，B(1，0)，P為圓x2+y2-6x-8y+21=0上的一點(diǎn)，試求S=|AP|2+|BP|2最小值．

解析把已知圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得

(x-3)2+(y-4)2=4.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則

S=|AP|2+|BP|2

要使S=|AP|2+|BP|2最小,需|OP|最小,即使圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小.

容易知道|OP|min=|OC|-r=5-2=3.

所以Smin=2(32+1)=20．

點(diǎn)評(píng)設(shè)P(x,y)，使要求的式子轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離問題，利用數(shù)形結(jié)合法求最值，實(shí)質(zhì)上是利用初中學(xué)過的“連接兩點(diǎn)的線段中，直線段最短”這一性質(zhì)．

變式4過直線y=1上一點(diǎn)P(x,y)作圓(x+1)2+(y+1)2=1的切線，求切線長的最小值．

以上列舉了幾道“源題”和若干變式題目，說明了一些看似復(fù)雜的題目的真身依然是我們熟悉的知識(shí)點(diǎn).

圓的知識(shí)在初中與高中都要學(xué)習(xí)，是一典型的知識(shí)交匯點(diǎn)．現(xiàn)在的數(shù)學(xué)高考非常重視初高中知識(shí)的銜接問題，所以同學(xué)們在處理與圓有關(guān)的小題時(shí)，一定要數(shù)形結(jié)合，多聯(lián)想一下與之有關(guān)的平面幾何知識(shí)，以免“小題大作”．由于圓的對(duì)稱性，在與圓有關(guān)的最值問題中，應(yīng)把握兩個(gè)“思想”：幾何思想和代數(shù)思想．所謂幾何思想，即利用圓心，將最值問題轉(zhuǎn)化為與圓心有關(guān)的問題．所謂代數(shù)思想，即利用圓的參數(shù)方程．同時(shí)，由于最值問題從代數(shù)意義上講和函數(shù)的最值聯(lián)系緊密，因此在解題過程中靈活地應(yīng)用函數(shù)、不等式等代數(shù)思想使問題代數(shù)化、簡單化也是需要注意的．