初中數(shù)學(xué)常見解題錯(cuò)誤類型剖析

宋海明

[摘? 要] 研究者認(rèn)為初中數(shù)學(xué)學(xué)生常見的錯(cuò)誤類型有：概念模糊，無(wú)中生有增條件;忽略實(shí)際，百密一疏致遺憾;轉(zhuǎn)化不清，當(dāng)著不著亂陣法;丟三落四，厚此薄彼出錯(cuò)誤.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)深挖學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生的根源，培養(yǎng)學(xué)生的糾錯(cuò)習(xí)慣，幫助學(xué)生杜絕同樣的錯(cuò)誤重復(fù)發(fā)生.

[關(guān)鍵詞] 解題;錯(cuò)誤類型;策略;數(shù)學(xué)思維

俗話說(shuō)：“錯(cuò)誤是通向成功的階梯.”初中學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的錯(cuò)誤不能簡(jiǎn)單地歸因于學(xué)生的馬虎、粗心等，教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)深挖學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生的根源，因勢(shì)利導(dǎo)，幫助學(xué)生杜絕同樣的錯(cuò)誤重復(fù)發(fā)生. 為此，筆者針對(duì)學(xué)生常見錯(cuò)誤類型進(jìn)行剖析，并采取一定的應(yīng)對(duì)措施，取得了階段性的成果.

概念模糊，無(wú)中生有增條件

有些學(xué)生因基礎(chǔ)知識(shí)掌握得不夠扎實(shí)，解題時(shí)渾渾噩噩，甚至?xí)鶕?jù)自己的解題需求，憑空捏造一些不符合實(shí)際的條件，以滿足自己的自圓其說(shuō);也有部分學(xué)生選擇直接忽略試題中的一些條件，進(jìn)行解題;還有些學(xué)生看到試題，覺得似曾相識(shí)，在哪里做過(guò)，解題時(shí)純粹憑借自己的直觀感覺進(jìn)行解題，對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)置若罔聞.

出現(xiàn)這種現(xiàn)象的主要原因還在于學(xué)生對(duì)概念、定義或法則等的內(nèi)涵不清晰，對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)沒有一個(gè)精準(zhǔn)的理解，在運(yùn)用時(shí)則無(wú)法靈活運(yùn)用. 這種對(duì)概念類學(xué)習(xí)似是而非的態(tài)度，不僅導(dǎo)致了解題失敗，還會(huì)阻礙各項(xiàng)數(shù)學(xué)能力的發(fā)展.

例1? 如圖1，已知∠ABC與∠BCD相等，試增添一個(gè)條件，讓△BCA≌△CBD，并證明.

錯(cuò)解：添加AC=DB的條件.

錯(cuò)誤證明：根據(jù)以下三個(gè)條件①∠ABC=∠BCD（已知）;②AC=DB（已知）;③BC=CB（公共邊），可證明△BCA≌△CBD.

分析：從該條件的添加與證明過(guò)程來(lái)觀察，學(xué)生是從“SSA”這個(gè)角度來(lái)證明兩個(gè)三角形是全等的關(guān)系. 但是，在其判定定理中，并不存在“SSA”這一說(shuō)法. 可見，學(xué)生是在對(duì)三角形全等的判定定理沒有掌握的基礎(chǔ)上進(jìn)行解題，因而出現(xiàn)了上述錯(cuò)誤.

正解：根據(jù)判定定理，本題可添加的條件有：①AB=DC;②∠A=∠D;③∠BCA=∠CBD. （證明過(guò)程略）

掌握概念、定理或法則等是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本前提，是解題的基本保證. 學(xué)生一旦對(duì)概念的內(nèi)涵或外延模糊不清，或無(wú)法精準(zhǔn)把握概念之間的聯(lián)系與適用范圍，那么在解題時(shí)定會(huì)出現(xiàn)各種各樣令人啼笑皆非的錯(cuò)誤. 因此，教師在這些基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中，應(yīng)關(guān)注學(xué)生的理解程度，只有學(xué)生將這些內(nèi)容真正地內(nèi)化為自己的技能，才能做到解題時(shí)思路清晰，胸有成竹，避免因概念模糊而出現(xiàn)的錯(cuò)誤.

忽略實(shí)際，百密一疏致遺憾

有些學(xué)生遇到冗長(zhǎng)的文字題，心理上就產(chǎn)生抵觸感. 讀題審題時(shí)走馬觀花，甚至直接忽略試題的關(guān)鍵性詞語(yǔ)或條件，在對(duì)題意尚未十分清晰的狀態(tài)下就匆匆答題，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤的發(fā)生. 但也有部分學(xué)生不僅擁有良好的讀題審題習(xí)慣，還具有縝密的思維與良好的辯證能力. 解題時(shí)，能做到條理清晰，思路明朗，卻在最重要的環(huán)節(jié)，忽略了實(shí)際情況而造成遺憾.

例2? 已知，等腰三角形ABC的兩邊長(zhǎng)分別是2和5，求△ABC的周長(zhǎng).

學(xué)生看到本題，都覺得很簡(jiǎn)單. 經(jīng)筆者統(tǒng)計(jì)，全班51人，本題完全答對(duì)的只有33人，還有的學(xué)生出現(xiàn)了兩個(gè)答案，因此本題的正確率僅有64.7%.

錯(cuò)解：等腰三角形的兩邊分別為2和5，周長(zhǎng)分別為：①2+2+5=9;②5+5+2=12，所以△ABC的周長(zhǎng)是9或12.

分析：根據(jù)邊長(zhǎng)求三角形的周長(zhǎng)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)沒有什么障礙. 但是，出現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)生缺乏細(xì)致的思考，在三角形的性質(zhì)中就提到：兩邊之和必須大于第三條邊. 若以2為△ABC的腰，兩條腰的和為4，而第三條邊的邊長(zhǎng)為5，因?yàn)?<5，所以以2為腰，無(wú)法構(gòu)成一個(gè)三角形. 因此，本題的解只能是12.

解題不僅需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)與技能，還需要有細(xì)致的分析能力. 當(dāng)遇到一些不確定的條件或因素時(shí)，不僅要分類歸納出所有存在的可能性，還要慎重思考其獲得的結(jié)論與問(wèn)題的性質(zhì)、定理或事實(shí)是否相符. 只有及時(shí)排除不可能存在的情況，才能獲得準(zhǔn)確的答案.

<D：＼數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬＼2022數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（08期）＼2022數(shù)學(xué)教學(xué)通訊中旬（05期） c＼aa-2.tif> 轉(zhuǎn)化不清，當(dāng)著不著亂陣法

有些學(xué)生解題并沒有障礙，一旦遇到運(yùn)算符號(hào)的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，會(huì)屢做屢錯(cuò). 尤其在一元一次不等式的運(yùn)算中，不等號(hào)轉(zhuǎn)化的錯(cuò)誤發(fā)生率相當(dāng)高. 為此，筆者特地訪談了部分常做常錯(cuò)的學(xué)生，他們的問(wèn)題主要在于對(duì)轉(zhuǎn)化的規(guī)則不清晰，即使能用語(yǔ)言表達(dá)轉(zhuǎn)化規(guī)則，但在實(shí)際運(yùn)算時(shí)，一不小心就亂了陣法.

例3? 解不等式1-y>7y-3.

此題看似簡(jiǎn)單，但實(shí)際錯(cuò)誤率并不低.

錯(cuò)解：通過(guò)移項(xiàng)可得-y-7y>1+3，合并同類項(xiàng)得-8y>4，在方程的兩邊同時(shí)“÷（-8）”，解得y>-.

分析：在解不等式的過(guò)程中，不僅移項(xiàng)這個(gè)環(huán)節(jié)需要注意變號(hào)，在不等式的兩邊同時(shí)乘或除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，也需要變號(hào). 從以上解題過(guò)程來(lái)看，存在著以下幾個(gè)問(wèn)題：①在移項(xiàng)這個(gè)環(huán)節(jié)，不等號(hào)右邊的-3并沒有移項(xiàng)，因此不應(yīng)該變化它的符號(hào);②不等號(hào)左邊的1，移到不等號(hào)的右側(cè)，需要變號(hào);③當(dāng)方程的兩邊都“÷（-8）”時(shí)，也應(yīng)該變號(hào). 因此，以上解題過(guò)程存在著明顯的當(dāng)著不著的問(wèn)題.

正解：通過(guò)移項(xiàng)可得-y-7y>-3-1，得-8y>-4，兩邊同時(shí)“÷（-8）”可得y<.

符號(hào)轉(zhuǎn)化是運(yùn)算中常遇到的問(wèn)題，若搞不清楚規(guī)則，則無(wú)法正確運(yùn)算. 因此，教學(xué)時(shí)教師應(yīng)針對(duì)性地進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注什么情況下需要轉(zhuǎn)化符號(hào)，什么情況下不需要轉(zhuǎn)化符號(hào)，并通過(guò)對(duì)比與實(shí)踐訓(xùn)練逐步增強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化理解.

認(rèn)知心理學(xué)提出：知識(shí)的內(nèi)化過(guò)程受個(gè)體原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與先天傾向的影響. 學(xué)生對(duì)運(yùn)算符號(hào)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的障礙，與他們?cè)姓J(rèn)知結(jié)構(gòu)與思維定式有著很大的關(guān)系. 因此，教師應(yīng)設(shè)法建構(gòu)學(xué)生大腦中對(duì)運(yùn)算的原有認(rèn)知與新知的聯(lián)系，深化學(xué)生對(duì)符號(hào)變化的掌握與理解程度，以提高他們的運(yùn)算能力.

丟三落四，厚此薄彼出錯(cuò)誤

縱觀學(xué)生經(jīng)歷過(guò)的大小考試，都存在著因丟三落四的問(wèn)題而導(dǎo)致的失分，甚至有學(xué)生出現(xiàn)漏題的現(xiàn)象. 有人認(rèn)為出現(xiàn)這樣的問(wèn)題是因?yàn)閷W(xué)生馬虎、不細(xì)致，其實(shí)從丟三落四的習(xí)慣能看出學(xué)生對(duì)待試題的態(tài)度缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性. 想讓學(xué)生突破這種障礙，教師可在課堂中勤加訓(xùn)練，讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成集中注意力、嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的解題習(xí)慣.

如學(xué)生在解一元一次不等式或方程時(shí)，為了將不等式或方程轉(zhuǎn)化為整數(shù)，解題時(shí)存在著去分母的環(huán)節(jié). 筆者發(fā)現(xiàn)，在不等式或方程的兩邊同時(shí)乘以各分母的最小公倍數(shù)時(shí)，很多學(xué)生會(huì)因?yàn)楹翊吮”硕霈F(xiàn)丟三落四的錯(cuò)誤.

例4? 解方程 =2-.

此方程比較簡(jiǎn)單，分母的公倍數(shù)較小. 按照常理，學(xué)生應(yīng)不存在什么解題障礙. 本題屬于分層作業(yè)中的基礎(chǔ)題，要求所有學(xué)生都必須掌握. 但是，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生的作業(yè)中，在此題出現(xiàn)錯(cuò)誤的學(xué)生還不在少數(shù).

錯(cuò)解：將原式去分母，可得5（a-1）=2-2（a+2），去括號(hào)可得5a-5=2-2a-4，通過(guò)移項(xiàng)與合并同類項(xiàng)的步驟，解得7a=3，a=.

分析：出現(xiàn)以上錯(cuò)誤的原因在于只將含有分母的項(xiàng)，乘以各分母的最小公倍數(shù)，忽視了不含分母的項(xiàng). 事實(shí)上，去分母時(shí)需將方程兩邊的每一項(xiàng)都乘以10（最小公倍數(shù)），包括不含分母的項(xiàng)（2也要乘以10），如此才能確保去分母后所得到的式子與原式相等.

正解：去分母可得5（a-1）=20-2（a+2），去括號(hào)5a-5=20-2a-4，通過(guò)移項(xiàng)與合并同類項(xiàng)后解得7a=21，a=3.

此類錯(cuò)誤在學(xué)生的作業(yè)或試卷中屢見不鮮. 為了幫助學(xué)生掃除障礙，除了要求學(xué)生掌握正確的解題規(guī)則之外，教師還要注重強(qiáng)化學(xué)生在此方面的訓(xùn)練，讓學(xué)生在重點(diǎn)突出的訓(xùn)練、糾錯(cuò)中，逐漸形成耐心、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}習(xí)慣.

常見的錯(cuò)誤類型也可從知識(shí)、方法、邏輯、心理等角度去剖析，但不論哪種類型的錯(cuò)誤，都離不開糾錯(cuò)習(xí)慣的培養(yǎng)與技能的訓(xùn)練，尤其是丟三落四的錯(cuò)誤則可通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)解題態(tài)度得以糾正. 因此，在課堂教學(xué)中要時(shí)刻提醒學(xué)生端正學(xué)習(xí)態(tài)度，規(guī)范解題方法，從細(xì)節(jié)著手，做到及時(shí)發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，為其形成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)奠定基礎(chǔ).