數(shù)學課程標準修訂與核心素養(yǎng)

【編者按】 2022年4月21日，教育部召開新聞發(fā)布會，正式發(fā)布2022年版義務教育課程方案和各學科課程標準。新的課程方案和課程標準，將對義務教育課程改革、學科教學以及評價產(chǎn)生重要影響。本期《關注》欄目聚焦《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》，特邀課標修訂組組長、核心成員等有關專家闡釋并解讀其中的基本理念和重要變化，以幫助大家更好地理解，為后續(xù)統(tǒng)籌規(guī)劃、扎實推進其落地實施打下堅實的基礎。

摘要：《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》保留《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的合理內核，延續(xù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》的核心素養(yǎng)。修訂的要點包括：落實立德樹人根本任務;實現(xiàn)“學科融合”的教育要求;更合理地劃分學段;把“四基”“四能”與核心素養(yǎng)有機結合;調整課程結構與內容，增加代數(shù)推理，加強幾何直觀;在綜合與實踐領域融入跨學科知識和傳統(tǒng)文化;體現(xiàn)數(shù)學的一致性，尤其是數(shù)的認識與運算的一致性。

關鍵詞：數(shù)學課程標準;修訂要點;核心素養(yǎng)

本文根據(jù)史寧中教授于2022年4月28日下午在中國數(shù)學會數(shù)學教育分會首屆（2022年）學術年會（線上會議）上做的大會報告整理而成。略有改動，已經(jīng)作者審核。2022年4月21日，教育部頒布了2022年版的義務教育課程方案和各學科課程標準。這里，我主要介紹這次數(shù)學課程標準修訂的基本原則、一些想法和主要變化。當然，從2017年版的普通高中課程標準開始，我國的基礎教育就強調了核心素養(yǎng)，所以，還想談一下最近對數(shù)學核心素養(yǎng)的理解。我主要談的是我和我們課標修訂組（包括普通高中組和義務教育組）是如何想問題的。

一、 課標修訂的背景與要點

21世紀，中國的基礎教育發(fā)生了很大的變化。這個變化主要表現(xiàn)在：教學大綱改成了課程標準。因此，21世紀開始的基礎教育改革，本質上就是課程標準的制訂和落實。2001年，教育部頒布了《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱“2001年版課標”）;緊接著，幾家出版社出版了相應的教材。2005年，教育部決定修訂這個標準。當時，我沒有接觸過基礎教育，但是，時任教育部部長周濟和主管基礎教育的副部長陳小婭責令我來主持修訂工作，他們說：你是師范大學校長，又是學數(shù)學的，就由你來負責。于是，我就開始主持修訂編制《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版課標”），后來又主持修訂編制《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》后來又有《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》出臺。（以下簡稱“2017年版課標”）、《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”），已經(jīng)近20年時間了。

（一） 2011年版課標的重大變化

簡單說，有三個方面的重大變化：

第一個變化是課程目標，也就是教學目標。過去傳統(tǒng)的教學目標是“雙基”，即基礎知識和基本技能?！半p基”在本質上是學蘇聯(lián)的，從1952年開始，到1963年形成文件。后來，發(fā)現(xiàn)只強調“雙基”不夠，就拓展到“四基”——加上了基本思想和基本活動經(jīng)驗。過去，強調分析問題和解決問題。到了2011年左右，我國已經(jīng)提出要培養(yǎng)創(chuàng)新型人才，因此，只有分析問題和解決問題的能力是不夠的，又拓展到“四能”，就是增加了發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。

第二個變化是課程內容。2001年版課標里，沒有“幾何”的概念了，是用“空間與圖形”來表達的。后來，我們結合專家們的意見，把它改成了“圖形與幾何”，并且增加了若干個基本事實。這樣的話，幾何證明在教學中就更容易落實。我當時沒有想到，可能在數(shù)學教育界一直存在這個問題，就是2011年版課標頒布之后，有幾位中學數(shù)學教研員問我：是不是數(shù)學的證明只有幾何證明，沒有代數(shù)證明？我一下就愣住了：怎么會出現(xiàn)這個問題？——顯然，代數(shù)的證明很多。后來，我想明白了：課程標準里，幾何給了基本事實，代數(shù)沒給基本事實。于是，在2022年版課標中，增加了兩個基本事實：一個是等量的等量相等，也就是a=b，b=c，則a=c，這是無法證明的事情;還有一個就是等式的基本性質，即等號兩邊同時加或減同一個數(shù)，等式依然成立。

第三個變化就是核心詞。2011年版課標把傳統(tǒng)的三大能力（即運算能力、推理能力和空間想象能力）拓展為10個核心詞，其中聚焦數(shù)學學科的是8個核心詞（數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、運算能力、推理能力、模型思想、數(shù)據(jù)分析觀念）。當然，這8個核心詞有些在2001年版課標里已經(jīng)提出了，只是不夠明確。可以看到，除了保持三大能力之外，加上了數(shù)感、符號意識等與抽象有關的核心詞。這是一個很重要的變化，因為傳統(tǒng)的數(shù)學教育不強調抽象，但是對于數(shù)學來說，抽象是極為重要的。

這里，特別談一談“雙基”變“四基”。其實就是從單純的結果性目標，變成結果性目標加過程性目標。2006年，有了這個想法之后，我拿不準，就請了北京大學的姜伯駒先生、復旦大學的李大潛先生、南開大學的侯自新先生、吉林大學的伍卓群先生等到東北師范大學來商談。我說：課程目標從“雙基”到“四基”，想征求一下你們數(shù)學家的意見。他們都挺支持的，特別是，對數(shù)學基本活動經(jīng)驗非常贊同。數(shù)學家知道，數(shù)學的結論是看出來的，不是證出來的。也就是說，數(shù)學結論的獲取（問題的解決）需要憑借良好的直覺。而直覺的培養(yǎng)需要經(jīng)驗的積累。但是，姜先生當時問我：你說的數(shù)學基本思想是指什么？我當時沒有認真地想，我說：我一時也答不上來，我寫書來回答你的問題吧。后來直到2015年，我陸續(xù)完成了《數(shù)學思想概論》系列圖書（分為5輯，主題依次為“數(shù)量與數(shù)量關系的抽象”“圖形與圖形關系的抽象”“數(shù)學中的演繹推理”“數(shù)學中的歸納推理”“自然界中的數(shù)學模型”）的寫作與出版，并接著完成了其“精編版”《數(shù)學基本思想18講》一書的寫作與出版。當時開會的時候，我們還請了教育部主管基礎教育的副部長陳小婭和基礎教育司司長姜沛民一起參加研討，在會上基本就確定了“四基”是可以的。B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991

那么，基本思想究竟是什么？學習數(shù)學一般都愿意給一個思維的原則，我想，數(shù)學基本思想就是數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展必須依賴的思想，還有學習過數(shù)學的人應當具有的思維特征。具體是什么呢？想來想去，覺得應當是抽象、推理和模型。通過抽象，現(xiàn)實世界的事情到了數(shù)學內部。抽象的主要對象是現(xiàn)實生活中的數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系，抽象形成了數(shù)學的研究對象，用定義或符號表達。此外，數(shù)學自身的發(fā)展是通過推理得到的，數(shù)學結論（數(shù)學研究對象的性質、關系和規(guī)律）也是通過推理得到的。推理主要分兩類：一類是歸納、類比，是得到結論;還有一類是演繹（值得一提的是，從算理到算法的計算，本質上也是演繹），是論證結論。我還寫了一篇很長的文章史寧中.試論數(shù)學推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理[J].數(shù)學教育學報，2016（4）：116。，論證無論歸納、類比還是演繹推理，都是有邏輯的。我把具有傳遞性的那種推理形式叫作有邏輯的推理。這樣的話，就論證了——歸納和類比都是有傳遞性的，演繹也是有傳遞性的。因此，數(shù)學之所以有嚴謹性，就是因為其無論是得到結論的過程還是論證結論的過程，都是有邏輯的。此外，通過模型用數(shù)學的語言講述現(xiàn)實世界的故事，構建了數(shù)學與現(xiàn)實世界的橋梁，讓數(shù)學返回現(xiàn)實世界，用數(shù)學的概念、方法和結論認識、理解和表達現(xiàn)實世界。很多學科用數(shù)學語言來表示其研究領域的性質、關系和規(guī)律，模型很多是用其他學科的術語來命名的。因此，模型作為基本思想是非常重要的。

（二） 2022年版課標的修訂要點

首先是所有學科共同的要點。一是落實立德樹人根本任務。黨的十八大提出，把立德樹人作為教育的根本任務。對此，教育部2014年頒布的文件《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》提出，通過核心素養(yǎng)來落實立德樹人根本任務。2017年版普通高中課程標準將核心素養(yǎng)作為課程目標，貫穿始終。因此，對2022年版義務教育課程標準提出了同樣的要求，并強調做好義務教育與高中的銜接。二是實現(xiàn)“學科融合”的教育要求。這是一個世界潮流，不僅中國現(xiàn)在這樣要求，很多發(fā)達國家都這樣要求，主張在義務教育階段，學科不要分得很細。數(shù)學需要與自然科學、社會學的一些學科有機融合。除了跨學科內容，還要把歷史文化內容融入數(shù)學課程。

其次是數(shù)學學科特殊的要點。這次課標修訂主要完成了五件事：

一是學段的劃分。學段的劃分是一件很難的事情。其實，編制2011年版課標時，就想到小學分三個學段。原來，小學是兩個學段：一到三年級一個學段，四到六年級一個學段。其實，比較合理的是一、二年級一個學段，三、四年級一個學段，五、六年級一個學段。義務教育有一個基本的原則，就是該教什么教什么。小學一、二年級的孩子不太適應學數(shù)學，因為話都說不明白，不是數(shù)學懂不懂，而是話懂不懂。因此，一到三年級是一個學段，不是很合理。這是第一個。第二個，仔細調查一下就會發(fā)現(xiàn)，四、五年級的孩子在思維過程中有一個很大的分水嶺，五年級的孩子似乎就對一些抽象的內容多多少少能夠理解一些了。因此，小學分三個學段比兩個學段合理，這是根據(jù)心理發(fā)展來定的。所以，一、二年級要重視幼小銜接教學，原則上沒有作業(yè)、沒有考試;五、六年級可以適當增加數(shù)學思維的訓練。

二是把“四基”“四能”與核心素養(yǎng)有機結合。這就涉及如何理解和表達核心素養(yǎng)，下文再詳談。

三是代數(shù)要增加代數(shù)推理，幾何要加強幾何直觀，數(shù)學要提升核心素養(yǎng)，在這樣的前提下，如何調整課程的結構與內容。這是一個大問題，也在下文詳談。

四是在綜合與實踐領域，如何融入跨學科知識和傳統(tǒng)文化。這個也會在下文稍作說明。

五是如何體現(xiàn)數(shù)學的一致性?？赡艽蠹也惶肋@個“一致性”是什么，我稍微闡述一下。

現(xiàn)在小學數(shù)學的一個問題是數(shù)的認識缺乏一致性。什么意思？就是通過現(xiàn)實背景來認識數(shù)，缺乏一個數(shù)學化的過程。整數(shù)怎么認識？強調數(shù)量。小數(shù)怎么認識？通過“圓、角、分”“米、分米、厘米”。分數(shù)則強調等分。這里沒有一個共同的東西能把這三種數(shù)串聯(lián)起來。在學習分數(shù)的時候，沒有強調分數(shù)的單位。問題就會出在比較大小上：12比13大，道理是什么？是分子相等，所以分母大，分數(shù)小。事實上，對于分數(shù)來說，不應該存在這樣的道理。合適的道理應該是，在同樣的單位下才能比較大小。因此，12和13比較大小，必須轉化到同樣的單位下，那就是變成36和26，36比26大（這是道理），這樣就可以得到12比13大（這是算法）。理和法不是一樣的，這件事情很重要。

特別是，數(shù)的運算缺乏一致性。我舉例說明，分數(shù)和小數(shù)的除法是小學數(shù)學教學的重點和難點，但是教學時，通過現(xiàn)實意義來說明，二者各講各的理。分數(shù)除法用包含除的原理解釋。比如，1包含3個13，所以1÷13=3。那么4÷13怎么辦？變成4×1÷13，后面加上括號，1÷13=3，所以4÷13=4×3。事實上，這是很深的道理。因為我們可以很快地舉個例子：4除以1也等于4，那么就變成了4÷1÷13，后面加上括號，就變成了4÷3。到底哪個對？為什么這么算是對的呢？這就講不清了。小數(shù)除法用商不變的原理解釋。比如，0.4÷0.02，0.4擴大100倍，0.02擴大100倍，商不變。為什么商不變就是對的？舉例說明。但舉的例子都是整數(shù)的例子，整數(shù)的例子為什么適用于小數(shù)？這是個問題。

因此，各講各的理，使得學生認為數(shù)學分好多樣：整數(shù)的數(shù)學、分數(shù)的數(shù)學、小數(shù)的數(shù)學。運算又分好多樣：整數(shù)的運算、分數(shù)的運算、小數(shù)的運算。這樣的話，不僅會把學生的思維搞亂，更重要的是為了講這些理，耽誤了很長時間。也就是說，把簡單的問題講復雜了。這導致學生費了很大勁學，而學的東西不一定是有用的。后來，我就寫了一篇只有一頁的文章——《關于除數(shù)是分數(shù)或者小數(shù)除法的一個注》史寧中.關于除數(shù)是分數(shù)或者小數(shù)除法的一個注[J].數(shù)學教育學報，2019（5）：1?！獊碚勥@個事情。我的一個學生看見這篇文章后說：老師，弗賴登塔爾早就看出這個問題了。他給我找了文獻。弗賴登塔爾這么說：“一味地依賴具體情境會使得除法問題變得更加復雜。由于教師與教科書編寫者對于如何從直觀的分數(shù)進展到算法的分數(shù)，最終又如何引出分數(shù)的規(guī)則，缺乏適當?shù)挠^念，從而使情況更為惡化?！眳⒁姡焊ベ嚨撬?作為教育任務的數(shù)學[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995。因此，弗賴登塔爾提出了一個重要的觀念，即數(shù)學化，具體方法是從內容出發(fā)到舍棄內容。但是，他只提出了問題，沒有說如何解決這個問題。我的這篇文章如果有意義的話，就是解決了這個問題。B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991

總的來說，這次課標修訂保持兩個原則：保留2011年版課標的合理內核，延續(xù)2017年版課標的核心素養(yǎng)。

二、 核心素養(yǎng)的理解與表達

因為落實立德樹人根本任務沒有變，2022年版課標就要發(fā)展2017年版課標提出的數(shù)學核心素養(yǎng)。這樣的話，數(shù)學核心素養(yǎng)便涉及小學、初中、高中。我想，很可能未來要涉及大學、研究生，還要涉及教師和研究者。

數(shù)學核心素養(yǎng)必須具備三個基本特征（我說的不一定對，供大家參考）。一是內涵的一致性。不能小學有小學的，初中有初中的，高中有高中的，數(shù)學核心素養(yǎng)應該有一以貫之的內涵，它是每一個學習過數(shù)學的人都應該具有的，但又是沒有終極狀態(tài)（永遠達不到）的目標。二是表現(xiàn)的階段性。不同的學習階段應該有不同的表現(xiàn)，這與身心發(fā)展有關，與知識儲備有關，與經(jīng)驗積累有關。因此，最關鍵的是，數(shù)學核心素養(yǎng)的表述應該有整體性，既有數(shù)學的特征，又有教育的特征。更具體地說，既表述學科思維，又表述認知心理。

這樣的話，數(shù)學核心素養(yǎng)就定義為數(shù)學課程要培養(yǎng)的學生核心素養(yǎng)（或者說，通過數(shù)學教育學生獲得的核心素養(yǎng)）——2022年版課標里沒有寫“數(shù)學（學科）核心素養(yǎng)”，只用了這樣的定義來表達。數(shù)學核心素養(yǎng)是一種與人的行為（思維、做事）有關的數(shù)學教育的終極目標。它是在過程中養(yǎng)成的，是逐漸養(yǎng)成的，是經(jīng)驗的積累，是過程性目標的拓展，是“四基”的繼承和發(fā)展。因此，學生本人參與到數(shù)學活動中非常重要。一個人會不會想問題是自己想積累的經(jīng)驗造成的，會不會做事情也是實踐的結果。這些不是教師教出來的，而是自己悟出來的。

這樣，我們就把數(shù)學核心素養(yǎng)表述為：會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界。這樣的表述有數(shù)學本身的特征，也有數(shù)學教育所要描述的認知方面的、心理方面的特征。這是很重要的，因為現(xiàn)在的數(shù)學核心素養(yǎng)跟我曾經(jīng)說的數(shù)學基本思想相比，更一般，包含的東西更多了。

我們具體來看一下。什么是數(shù)學的眼光？數(shù)學是如何觀察現(xiàn)實世界的？數(shù)學為人們提供了一種認識與探究現(xiàn)實世界的觀察方式。掌握了數(shù)學的這種觀察方式，學生就能夠直觀地理解所學的數(shù)學知識及其現(xiàn)實背景，能夠在生活實踐和其他學科中發(fā)現(xiàn)用數(shù)學的方法能夠研究的那些對象，并且能夠表示出這些研究對象和它們的關系。具有這種視野的話，就能夠在實際情境中發(fā)現(xiàn)、提出有意義的數(shù)學問題，引起數(shù)學探究;在情感、態(tài)度、價值觀方面，能夠發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識。在這個意義上，數(shù)學的眼光比數(shù)學抽象更加上位。

什么是數(shù)學的思維？數(shù)學是如何思考現(xiàn)實世界的？數(shù)學為人們提供了一種理解和解釋現(xiàn)實世界的思考方式。這一點比推理就更加上位了。通過相應的學習，學生能夠理解數(shù)學的基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展過程，知道數(shù)學基本概念之間、數(shù)學與現(xiàn)實世界之間的聯(lián)系，能夠合乎情理地解釋或論證數(shù)學的基本結論，能夠用數(shù)學的方法探究現(xiàn)實世界的規(guī)律，能夠經(jīng)歷數(shù)學“再發(fā)現(xiàn)”的過程，能夠發(fā)展質疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學態(tài)度，養(yǎng)成講道理、有條理的思維習慣，培養(yǎng)理性精神。

什么是數(shù)學的語言？數(shù)學是如何表達現(xiàn)實世界的？數(shù)學為人們提供了一種描述與交流現(xiàn)實世界的表達方式。這一點比模型更加上位。掌握了數(shù)學的語言，學生就能夠初步感悟數(shù)學與現(xiàn)實世界的交流方式，能夠有意識地用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實生活和其他學科中事物的性質、關系和規(guī)律，感悟數(shù)據(jù)的意義和價值。只有在這樣的過程中，學生才能感悟數(shù)學語言（包括它的概念、它的表達）的簡潔與優(yōu)美，養(yǎng)成用數(shù)學語言表達和交流的習慣，增加跨學科的應用意識和實踐能力。

我們進一步來分析。數(shù)學核心素養(yǎng)的數(shù)學特征是什么？數(shù)學的眼光雖然是數(shù)學提供給人們觀察世界的一種方式，但是在本質上是數(shù)學的抽象。因為抽象，數(shù)學具有了一般性。數(shù)學的思維在本質上就是邏輯推理，就是我剛才說的具有傳遞性的推理。因此，說數(shù)學能夠培養(yǎng)思維能力是不夠準確的，應該細化：它不能培養(yǎng)所有的思維能力，比如形象思維能力和辯證思維能力就不一定能培養(yǎng)，它能培養(yǎng)的是邏輯思維能力。邏輯思維能力就是具有傳遞性的思維能力，如果符合的標準是從小到大，就是歸納、類比;如果是從大到小，就是演繹。因為這樣的推理是有邏輯的，因此數(shù)學具有嚴謹性。還有，在現(xiàn)代社會，所有的學科要走向科學，就要盡可能多地使用數(shù)學的語言，構建數(shù)學的模型，這使得數(shù)學形成了一個新特征，就是應用的廣泛性。很長時間以來，幾代數(shù)學家對數(shù)學的觀點可能會有所不同，但是關于數(shù)學一般性、嚴謹性和應用的廣泛性的認知是一致的。因此，我們現(xiàn)在把數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學的思想、與數(shù)學的特征有機地結合起來了。

但是，數(shù)學核心素養(yǎng)的教育特征是什么？直到目前，我也沒有想得特別清楚。也就是，我剛才說的認知和心理方面的特征，我沒有非常好地描述出來。所以，我給大家留下了一個很大的作業(yè)。

關于數(shù)學核心素養(yǎng)的階段性特征，大概這個是正確的，就是低年級（如小學）應該更多地基于感知，因此應該更具體、更側重于意識，意識是基于感知的領悟;高年級（如中學）應該基于概念，因此應該更一般、更側重于觀念和能力，觀念是基于概念的理解，能力是基于實踐的掌握。

這樣，我們保留了2011年版課標中的10個核心詞和2017年版課標中的6個表現(xiàn)，對數(shù)學核心素養(yǎng)的具體表現(xiàn)這樣闡述：數(shù)學的眼光在高中階段對應數(shù)學抽象，直觀想象;在初中階段對應抽象能力，空間觀念、幾何直觀;在小學階段對應符號意識、數(shù)感、量感（新增加的），空間觀念、幾何直觀。這里，小學階段所提的前三個表現(xiàn)也是抽象的具體體現(xiàn)。數(shù)學的思維在高中階段對應邏輯推理、數(shù)學運算，在初中階段對應推理能力、運算能力，在小學階段對應推理意識、運算能力。這里，小學時只要有推理的意識就行，在初中強調一下推理能力，到高中就要明明白白地說推理的形式，形式推理就是具有傳遞性的推理;但是，小學階段對運算還是有能力要求的。數(shù)學的語言在高中階段對應數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析，在初中階段對應模型觀念、數(shù)據(jù)觀念，在小學階段對應模型意識、數(shù)據(jù)意識。此外，還有超越數(shù)學學科的應用意識和創(chuàng)新意識。B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991

為了使核心素養(yǎng)的說法能夠成立，我們改變了課程性質的表述，改變了“數(shù)學是什么”的表述。

“數(shù)學是研究數(shù)量關系和空間形式的科學?！边@句話保留了，說的是數(shù)學的主要研究對象。

“數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，通過對數(shù)量和數(shù)量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數(shù)學的研究對象及其關系?！边@個跟數(shù)學的眼光是對應的。

“基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構建等，形成數(shù)學的結論和方法，幫助人們認識、理解和表達現(xiàn)實世界的本質、關系和規(guī)律。”這個跟數(shù)學的眼光、思維、語言全面對應。并且特別指出，數(shù)學不是幫助人們認識、理解和表達現(xiàn)實世界的任何事情，而是幫助人們認識、理解和表達那些具有本質性的關系和規(guī)律。

“數(shù)學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。數(shù)學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。”數(shù)學也是一種語言，這是很重要的。因為語言承載著思想和文化，那么數(shù)學也能夠承載思想和文化。因此，數(shù)學是人類文明的重要組成部分。這樣的對數(shù)學的理解，是從伽利略和牛頓那個時代開始的。伽利略曾經(jīng)感慨：宇宙這本書是用數(shù)學的語言來寫的;如果不懂得數(shù)學的語言，那么我們只能在黑暗的迷宮中徒勞地摸索。愛德文·阿瑟·伯特.近代物理科學的形而上學基礎[M].徐向東，譯.北京：北京大學出版社，2003：56。愛因斯坦這樣評價：由于伽利略看到了這一點，尤其是由于他向科學界諄諄不倦地教導這一點，他才成為近代物理學之父，事實上也成為整個近代科學之父。愛因斯坦.愛因斯坦文集（第一卷）[M].許良英，范岱年，譯.北京：商務印書館：1976：313。現(xiàn)代科學的發(fā)展，是因為用數(shù)學的語言表達了現(xiàn)實世界的規(guī)律。

三、 課程內容的結構與調整

我們強調了抽象，在抽象的基礎上強調了抽象結構。抽象結構是什么？它是近代數(shù)學發(fā)展的一個很基礎的東西，就是我們不僅要知道研究對象是什么，更重要的是知道研究對象的性質是什么、關系是什么、運算是如何展開的。這個觀點是極為重要的。這個觀點最早是亞里士多德提出的。他在《形而上學》中這樣闡述：“數(shù)學家用抽象的方法對事物進行研究，去掉感性的東西……線、角，或者其他的量（的定義），不是作為存在，而是作為關系?！币簿褪钦f，抽象的概念存不存在本身不重要，重要是它們的關系。這一件事被希爾伯特說到了極致。他說：“歐幾里得關于點、線、面的定義在數(shù)學上是不重要的，它們之所以成為討論的中心，僅僅是因為公理述說了它們之間的關系。換句話說，無論把它們稱為點、線、面，還是把它們稱為桌子、椅子、啤酒瓶，最終推理得到的結論都是一樣

的。”康斯坦絲·瑞德.希爾伯特——數(shù)學世界的亞歷山大[M].袁向東，李文林，譯.上海：上?？茖W技術出版社，2001：90。因此，僅就概念教概念的教法是有問題的，教概念的同時，應當教它的性質、關系或運算。這是非常重要的。因此，螺旋式上升我是同意的，但是一次或一段教學中，光說概念是不行的，說了這個概念，就要談談它的性質、關系或運算。

集合是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言，集合論的ZF公理系統(tǒng)是現(xiàn)代數(shù)學的基礎。在集合的基礎上談順序，就構建了數(shù)，數(shù)的本質是大小關系。數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)量的本質是多與少，那么，數(shù)的本質一并抽象出來就是大與小。因此，從基礎的整數(shù)空間發(fā)展得到的實數(shù)空間（構建函數(shù)的基本空間）的本質也是大小關系。比如，給出分數(shù)的定義后，要比較大小;給出角的定義后，也要比較大小。還有，在大學里，度量是非常重要的，定義距離空間，比如歐幾里得距離、希爾伯特距離;定義測度，比如，概率論主要基于兩種測度，一種是計數(shù)測度，另一種是勒貝格測度。度量的集合是很重要的。還有一個是運算的集合，在大學里屬于近世代數(shù)的研究對象。對基礎教育來說，運算也是很重要的，就是知道研究對象之后，一定要知道研究對象的運算。特別是，我們說的數(shù)域跟運算有直接的關系，就是要保證運算（主要是逆運算）的封閉性。這樣的話，減法使得自然數(shù)擴充到整數(shù)，除法使得整數(shù)擴充到有理數(shù)。中學階段雖然講了有理數(shù)和無理數(shù)之間的區(qū)別，并把它們統(tǒng)稱為實數(shù)，但是沒有解決實數(shù)的問題：第一，沒有解決實數(shù)的運算問題;第二，沒有解決實數(shù)的連續(xù)性問題。實數(shù)問題的解決是在大學階段，是通過極限的定義解決了實數(shù)的運算問題和連續(xù)性問題。

基于抽象結構的思想，雖然課程內容的領域沒有變，但是主題發(fā)生了很大的變化。在小學階段，把數(shù)與代數(shù)領域的6個主題合并成2個主題（“數(shù)的認識”“數(shù)的運算”合并成“數(shù)與運算”，“探索規(guī)律”“式”“正比例”合并成“數(shù)量關系”——“常見的量”“負數(shù)”移到綜合與實踐領域，“方程”“反比例”移到初中），把圖形與幾何領域的4個主題合并成2個主題（“圖形的認識”與“測量”合并成“圖形的認識與測量”，“圖形的運動”“圖形與位置”合并成“圖形的位置與運動”）。

所以，我們在2022年版課標里提倡“整體設計、分步實施”的教學規(guī)劃，包括全年級的整體設計、全學段的整體設計、全校教師的整體設計，每一個教師都應當知道自己教學的位置，知道前后內容的聯(lián)系。對應于核心素養(yǎng)的整體性、一致性和階段性，要體現(xiàn)日常教學的整體性、一致性和階段性。日常教學中的整體性，是指數(shù)學知識體系與相應的核心素養(yǎng)的整體性把握;一致性，是指從最初概念提出到最后實際應用的一致性教學;階段性，就是要研究數(shù)學的知識是如何進階的、核心素養(yǎng)是如何進階的。最后，分步實施。這里只是提出一個想法，具體要研究的問題可能還很多，不詳細講。

現(xiàn)在，綜合與實踐領域增加了內容，主要是跨學科的內容，并強調小學以主題學習為主，初中嘗試項目式學習。特別是，把“常見的量”“負數(shù)”內容以主題活動的形式設計在綜合與實踐領域。比如，“歡樂購物街”主題活動認識元、角、分;“時間在哪里”主題活動認識時、分、秒;“我的教室”主題活動認識上、下、左、右、前、后，認識東、南、西、北;“如何表達具有相反意義的量”主題活動初步認識負數(shù)。綜合與實踐領域還強調了傳統(tǒng)文化，如“曹沖稱象的故事”“度量衡的故事”“圓周率的故事”等主題活動。數(shù)學教學講傳統(tǒng)文化與其他學科教學講傳統(tǒng)文化是不一樣的，要講數(shù)學。比如，數(shù)學教學講“曹沖稱象的故事”，除了認識重量單位之外，還要講“等量的等量相等”的道理、“總量等于分量和”的道理。這是曹沖稱象的故事所蘊含的數(shù)學。在教學中，教師應該認真地思考這件事情。當然，其他領域也要重視傳統(tǒng)文化，尤其是數(shù)學文化。比如，初中教學“方程”時，可以引入《九章算術》中很多好的問題。B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991

再講一講，在內容整合的基礎上，要強調代數(shù)推理和幾何直觀。代數(shù)推理就是通過簡單的歸納、類比得到初步的結論后，通過法則的運用，感悟從一般到特殊的推理過程。我在想，在小學能不能稍微加強說理？我一直關心這個事情，希望教材編寫者認真思考。比如，我們講了兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘一位數(shù)，那么，三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法是不是可以讓學生自己得到，讓學生能歸納出一個算法。要進行這樣的歸納，教材編寫就應該注意了，過去只寫豎式不寫橫式是不行的——上次我很認真地談了這件事情，北師大版改過來了。橫式是算理，豎式是算法。光講算法不講算理是不行的。比如，123×12這個乘法豎式的算理是這樣的：123×12=123×（2+10）=123×2+123×10=246+1230=1476。12要按數(shù)位分解，因此，要用到分配律，能感悟化未知為已知的化歸思想。算律決定算理，算理決定算法，這個思想非常重要。再如，在初中（甚至小學高年級）可以讓學生嘗試證明3的倍數(shù)的特征，感悟代數(shù)運算中的邏輯推理。

強調幾何直觀，就要增加尺規(guī)作圖，以建立圖形的直觀感覺，培養(yǎng)空間想象能力。幾何抽象的本質是什么？我想，應該是把三維的物體用二維圖形表現(xiàn)出來。因此，幾何的本質是二維和三維之間的關系?？梢?，在小學階段進行尺規(guī)作圖是必要的，能讓學生感悟到抽象物體的存在。比如，同樣長的線段除了能用刻度尺量出，也能用圓規(guī)量出。再如，給一條線段作出等邊三角形，知道用圓規(guī)可以畫出兩條線段的交點。此外，在初中，要明晰尺規(guī)作圖的教學思路——構思圖形、設計流程、作圖驗證，強調執(zhí)果索因的探索性思維。還可以通過尺規(guī)作圖，在充分感悟的基礎上，猜想三角形全等的條件。

最后再談三件事情。

一是關于數(shù)學化的事情。2022年版課標明確要求：“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質上的一致性，形成數(shù)感和符號意識;感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會數(shù)的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。”中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：18。怎么實現(xiàn)數(shù)的概念的一致性和數(shù)的運算的一致性？也就是，怎么實現(xiàn)前面提到的弗賴登塔爾所希望的數(shù)學化？2022年版課標增加了一個計數(shù)單位的概念。計數(shù)單位是一種特殊的計量單位，是個數(shù)和順序的計量單位，把它作為數(shù)學化（一致性）的抓手。怎么作為抓手？數(shù)的認識，不管是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)，都是“多少個計數(shù)單位”的表達：對十進制的整數(shù)和小數(shù)，每個計數(shù)單位上的多少個要小于等于9個;對分數(shù)，如4/3是4個1/3，1/3是計數(shù)單位，這樣的話，就解決了假分數(shù)的問題，要不然假分數(shù)永遠說不清楚。比較大小和運算也是這樣。比較大小應在同樣的計數(shù)單位上進行，加、減運算也應在同樣的計數(shù)單位上進行。因此，分數(shù)通分的道理是要得到同樣的計數(shù)單位。這樣的話，在算理上就一致了：無論整數(shù)運算、小數(shù)運算還是分數(shù)運算，都是這樣的。乘、除運算是個數(shù)與個數(shù)運算得到新的個數(shù)，計數(shù)單位與計數(shù)單位運算得到新的計數(shù)單位。這一點可能需要較長時間的體會，這里不細講了。

二是“方程”移到了初中。主要是兩個原因。第一個是過去的小學數(shù)學教學講方程沒有涉及方程的本質：字母表示數(shù)的內容（課時）很少，因此學習簡易方程時，容易認為只能用字母表示未知數(shù)，其實，表示未知數(shù)不是問題的本質。從算術變成代數(shù)是從韋達開始的，是從用字母表示方程中的系數(shù)，而不是未知數(shù)開始的——表示未知數(shù)古希臘就有。因此，用字母來表達性質、關系和規(guī)律是非常重要的。過去，“字母表示數(shù)”只有半節(jié)課——人教版教材最多，也不到一節(jié)課?，F(xiàn)在則要求6節(jié)課、8節(jié)課，讓學生感知通過字母得到的結論具有一般性，感悟數(shù)學抽象的層次性。第二個是過去引入的是簡單方程，如5-x=2這樣的方程，其實這樣的方式是非常不合適的，因為沒有讓學生體會到學習方程的必要性?，F(xiàn)在有一個基本原則，可能是未來教材編寫、教師講課必須遵循的，就是所有新的概念的引入和新的方法的引入，必須讓學生體會到必要性，不是我教你，你就得學，而是我教你的是很有用的，所以你要學，要讓學生有學習興趣，就要讓他們學習更有用的內容。因此，方程必須在用四則運算解起來非常困難的情況下（比如“雞兔同籠”問題）才能夠引入，從而讓學生體會到引入方程的必要性。還有，這樣的方程引入是不可以的，就是傳統(tǒng)說的“含有未知數(shù)的等式叫作方程”這個定義是不成立的。因為數(shù)學定義必須是充分必要的，而2x-x=x這個表達是含有未知數(shù)的等式，但它不是方程，而是計算的結果，是傳遞性的結果。方程必須講兩個故事（或更多的故事），這兩個故事中的量相等，因此，方程中的等號表示等量關系，而不是傳遞性。這樣，才能讓學生感悟模型思想。

三是“百分數(shù)”移到了統(tǒng)計與概率領域。這是適應信息時代、大數(shù)據(jù)的要求，引導學生建立數(shù)據(jù)意識、數(shù)字素養(yǎng)，因為百分數(shù)在大數(shù)據(jù)的處理中越來越重要。這樣，傳統(tǒng)的教學中，一個飲料中果汁含量的確定性的百分數(shù)，就要過渡到隨機性的數(shù)據(jù)，比如投籃的命中率。而百分數(shù)的引入，有助于隨機現(xiàn)象的決策。在現(xiàn)實生活中，隨機現(xiàn)象的決策比確定性的決策應用更為廣泛。因此，在小學階段，學生多多少少要感悟一下對于隨機現(xiàn)象怎么決策。具體如，要制訂四年級學生跳繩的標準，怎么辦？讓學生跳，記下來，之后從少到多排隊（對于數(shù)就是從小到大排隊），通過準則制訂標準：如果希望大多數(shù)學生短時間內都能達到，就可以定在25%或者50%（中位數(shù)）;如果希望大多數(shù)學生經(jīng)過一段時間的努力才能達到，就可以定在75%。實際上，我國的“藍天計劃”就是這么制訂的。此外，在初中階段，引入了數(shù)據(jù)的分類。數(shù)據(jù)太大了怎么辦？一個最簡單的方法就是分類。這個思想在小學階段就有滲透，到了初中再講分類的原則和常用方法。

（史寧中，東北師范大學原校長，榮譽教授，博士生導師。義務教育數(shù)學課程標準修訂組組長。）B6FA15FC-D705-46BE-B8DA-680FA220D991