運(yùn)算次序的交換問題

詹華稅，許文彬

(1.廈門理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 廈門 361024；2.集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

1) Jessen不等式。設(shè)測度空間(X,μ)滿足μ(X)=1，若f∈L1(X,μ)取值于(a,b)，而ψ是(a,b)上的凸函數(shù)，那么式(1)的右邊有意義，且

(1)

這2個(gè)不等式在實(shí)分析和偏微分方程研究中都發(fā)揮著重要的作用。本文綜述了數(shù)學(xué)分析中的一些運(yùn)算交換問題，并利用控制收斂定理證明一類退化拋物方程解的穩(wěn)定性。

1 二重極限與二次極限

(2)

取N=max{N1,N2,N3,N4,N5}，則當(dāng)m,n>N時(shí)，有：

a-b=[a-f(m,n)]+ [f(m,n)-g(m)]+[g(m)-b]≤

f(m,n)-a+f(m,n)-g(m)+g(m)-b<ε/3+ε/3+ε/3=ε；

a-c=[a-f(m,n)]+[f(m,n)-h(n)]+[h(n)-c]≤

f(m,n)-a+f(m,n)-h(n)+h(n)-c<ε/3+ε/3+ε/3=ε。

2 二重積分與累次積分

(3)

(4)

要成立，式(4)的這3個(gè)積分必須都存在。

下面根據(jù)文獻(xiàn)[4]對式(4)有關(guān)運(yùn)算次序的交換分3種情況進(jìn)行討論。

以上分析說明：只要函數(shù)f(x,y)在矩形(P)=[ab;c,d]上連續(xù)，則

?2F(x,y)/(?x?y)=f(x,y)=?F(x,y)/(?y?x)。

(5)

此時(shí)式(4)的3個(gè)積分都存在且相等。

2)設(shè)f(x,y)在矩形(P)=[a，b;c，d]上可積，但不一定連續(xù)。如對這一函數(shù)存在一“原”函數(shù)Φ(x,y)，即?2Φ(x,y)/(?x?y)=f(x,y)，則

(6)

這與用原函數(shù)表示通常定積分的公式相類似。

3 一類退化拋物方程解的穩(wěn)定性

實(shí)際上可以看出，控制收斂定理就是極限運(yùn)算與積分運(yùn)算相互交換的問題。本節(jié)將利用控制收斂定理來探討一類各向異性的退化拋物方程的解的穩(wěn)定性。

考慮如下方程

(7)

ut=0=u0(x),x∈Ω,

(8)

和部分邊界條件

u(x,t)=0,(x,t)∈∑p×(0,T),

(9)

其中，部分邊界∑p??Ω的具體表達(dá)式后面再詳細(xì)給出。

記

(10)

初值條件在

(11)

的意義上成立。

定義3 設(shè)u(x,t)為具有初值(8)的方程(7)的弱解。如果u在跡意義下滿足部分邊界條件(9)，則稱u(x,t)為具有初始邊界條件(8)、(9)的方程(7)的弱解。

當(dāng)pi(x)=pi時(shí)，方程(7)的初邊值問題解的存在唯一性已由文獻(xiàn)[14]給出，故本文在此不再重復(fù)。下面就利用控制收斂定理將文獻(xiàn)[14]的穩(wěn)定性結(jié)論推廣到變指數(shù)的情形。首先來介紹一下由文獻(xiàn)[14]所提出的弱特征函數(shù)方法。

本文的主要結(jié)論是定理3。

定理3 設(shè)u(x,t)、v(x,t)為方程(6)的弱解具有初始條件u0(x),v0(x)和邊界條件

u(x,t)=v(x,t)=0, (x,t)∈∑p×(0,T)

(12)

的2個(gè)解， 且弱特征函數(shù)φ(x)滿足

(13)

若

bi(u,x,t)-bi(v,x,t)≤cai(x)1/pi(x)u-v,i=1,2,…,N，

(14)

則有

(15)

(16)

根據(jù)文獻(xiàn)[15]的引理3.1，有：

(17)

同時(shí)，由pi(x)-Laplace算子的單調(diào)性，有：

(18)

由于

(19)

(20)

同時(shí)，類似于文獻(xiàn)[14]，利用部分邊界條件(12)和控制收斂定理，可以得到

(21)

類似于文獻(xiàn)[13]，利用定理的條件(13)和控制收斂定理，可以得到

(22)

類似于文獻(xiàn)[14]，利用部分邊界條件(12)、定理的條件(13)和控制收斂定理，可以得到

(23)

其中，r<1是個(gè)常數(shù)。

由式(16)～式(23)，得到

利用推廣的Gronwall不等式，有

讓τ→0， 有

當(dāng)然，如果選擇不同的弱特征函數(shù)，部分邊界條件(12)的表達(dá)式也不同，這就涉及如何選取最優(yōu)部分邊界條件的問題。這一問題在文獻(xiàn)[14]中已經(jīng)有了一些討論，在此不再重復(fù)，本節(jié)所研究的內(nèi)容，就是利用控制收斂定理將文獻(xiàn)[14]的結(jié)果推廣到了變指數(shù)情形。