廣義Korteweg-de Vries方程的高精度差分格式

鄧雅清，王曉峰，王小利，何育宇

(閩南師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，福建 漳州 363000)

0 引言

非線性波是應用研究的重要領(lǐng)域之一，目前，已有很多研究者建立了數(shù)學模型來研究非線性波動現(xiàn)象。Korteweg等[1]于1895年發(fā)現(xiàn)的KdV方程便是非線性波現(xiàn)象的數(shù)學模型之一。自發(fā)現(xiàn)KdV方程以來，人們便對這個方程及其變化形式進行了大量研究：李家永等[2]對定界的KdV方程提出一個2階3層線性差分格式；Anjian[3]研究了具有冪律非線性和時變系數(shù)的KdV方程的孤波解；盛秀蘭[4]基于Crank-Nicolson方法對KdV方程周期邊界問題提出一個2層線性化隱式差分格式，其收斂階數(shù)為O(τ+h2)；郭瑞等[5]用Crank-Nicolson差分法求解KdV淺水波方程的定解問題，并用數(shù)值模擬出孤立波這一物理現(xiàn)象，該法具有二階收斂性；胡越等[6]在一定條件下證明了一類廣義KdV方程行波解的存在性，但沒有給出求解的方法。

本文考慮一維3階的非線性廣義KdV方程

ut+αuxxx+γ(up)x=0, (x,t)∈(-∞,+∞)×[0,T],

(1)

初值條件和邊界條件分別為：

u(x,0)=u0(x),x∈(-∞,+∞),

(2)

u(-∞,t)=u(+∞,t)=0,ux(-∞,t)=ux(+∞,t)=0,t∈[0,T],

(3)

其中：α和γ是任意實數(shù)；p是大于1的正整數(shù)；u0(x)是已知的光滑函數(shù)。

非線性KdV方程(1)～(3)有2個守恒量，分別是質(zhì)量Q和能量E，即：

1 高精度差分格式

(4)

(5)

(6)

為了證明格式的穩(wěn)定性，需要引理1和引理2。

2 差分格式的守恒律

定理1 差分格式滿足下列守恒性質(zhì)

(7)

(8)

則分別稱為質(zhì)量守恒和能量守恒。

證明將差分格式(4)乘以h，作j=1到J的累加，由邊界條件可得

(9)

從而質(zhì)量守恒式(7)得證。

3 差分格式的可解性

為了證明差分格式(4)～(6)的近似解U1,U2,…,UN的存在性，本文將使用以下Brouwer不動點定理。

定理2 差分格式(4)～(6)的近似解Un是存在的。

(10)

4 差分格式的穩(wěn)定性

定理3 差分格式(4)～(6)是無條件穩(wěn)定的。

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

5 數(shù)值算例

算例1 取α=1,γ=3，p=2,經(jīng)典KdV方程[15]：ut+uxxx+3(u2)x=0, (x,t)∈[xL,xR]×[0,T],設(shè)方程初值條件為：u0(x)=0.5sech2(0.5x),則該方程的精確解為：u(x,t)=0.5sech2[0.5(x-t)]。

圖1表明，差分格式(4)～(6)的數(shù)值解與精確解具有很好的吻合。為了驗證差分格式的質(zhì)量和能量守恒，表1給出了xL=-20、xR=60和不同h、T時Qn、En的值。

表1 守恒量式(7)和式(8)的數(shù)值模擬

表1驗證了差分格式的質(zhì)量和能量的守恒性。為了驗證差分格式的收斂精度，表2給出了xL=-40、xR=100、T=60時不同h、τ下的誤差和空間收斂階，表3給出了xL=-20、xR=60、T=10、h=1/100時不同τ下的誤差和時間收斂階。

表2 不同步長下的誤差和空間收斂階

表3 不同τ下的誤差和時間收斂階

表2驗證了差分格式在空間上具有4階，表3驗證了差分格式在時間上具有2階的收斂精度。該結(jié)果與前面的理論推導部分結(jié)果一致。

文獻[15]中格式(19)是一個4階3層線性差分格式，由表2可以看出，差分格式(4)的誤差比文獻[15]中格式(19)的誤差更小。

取A=0.8，x0=10，固定XL=-20，XR=60，h=0.5，τ=h2，p取不同值時在不同時刻的數(shù)值模擬波形圖見圖2，數(shù)值模擬網(wǎng)格圖見圖3。

由算例1和算例2可以看出，本文針對初邊值問題(1)～(3)所提的差分格式(4)～(6)是有效的。

圖4給出了p=2和p=3的2個數(shù)值孤立波碰撞的俯視圖。圖5模擬了p=3的2個數(shù)值孤立波在T=0～200區(qū)間內(nèi)的碰撞。可見，碰撞前高的波追趕小的波，碰撞后兩個波能很好地分離，隨后兩個波均保持形狀不變地向前運動。