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    突破雙變量問題 提升核心素養(yǎng)

    2022-06-19 15:00:47董亞亞
    中學(xué)生理科應(yīng)試 2022年6期
    關(guān)鍵詞:題設(shè)值域量詞

    董亞亞

    由于“雙變量”問題能夠較好地考查學(xué)生分析問題、解決問題的實(shí)際能力,突出地體現(xiàn)了抽象思維能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力在解題中的靈活、綜合運(yùn)用,所以此類試題備受各級各類考試命題者的青睞.那么,如何突破雙變量問題,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢?為了有效解決這個問題,本文擬通過歸類解析的形式加以具體剖析,旨在幫助學(xué)生理清常用解題策略,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

    一、雙變量不等式恒成立問題

    由于以函數(shù)為載體設(shè)置的“雙變量”不等式恒成立問題,往往與函數(shù)的單調(diào)性具有某種緊密聯(lián)系,所以處理此類問題的關(guān)鍵就是在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上,準(zhǔn)確分析恒成立不等式的外在結(jié)構(gòu)特點(diǎn),以便靈活構(gòu)造新函數(shù),并運(yùn)用新函數(shù)的單調(diào)性,巧妙求解目標(biāo)問題.

    1.根據(jù)“雙變量”分式不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍

    一般地,遇到含有“雙變量”的分式不等式恒成立,可通過去掉分母進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?,使得不等式兩邊的外在結(jié)構(gòu)相同,從而便于構(gòu)造函數(shù),并靈活運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題,

    評注 根據(jù)題設(shè)條件,將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式,有利于幫助迅速發(fā)現(xiàn)不等式的外在結(jié)構(gòu)持點(diǎn),進(jìn)而極易想到構(gòu)造函數(shù),并靈活運(yùn)用函數(shù)的單凋性巧妙解決目標(biāo)問題.

    2.根據(jù)“雙變量”絕對值不等式恒成立,求參數(shù)的取值范圍

    一般地,遇到含有“雙變量”的絕對值不等式恒成立,可借助函數(shù)的單調(diào)性以及不等式知識,靈活去掉絕對值實(shí)施適當(dāng)變形,使得不等式兩邊具有相同的外在結(jié)構(gòu),從而有利于構(gòu)造新函數(shù),并靈活運(yùn)用新函數(shù)的單調(diào)性,順利求解參數(shù)的取值范圍,

    評注 本題設(shè)出x1,x2的大小關(guān)系,可將題設(shè)約束條件中的兩個絕對值符號去掉,顯然有利于發(fā)現(xiàn)不等式具有的外在結(jié)構(gòu)特點(diǎn),進(jìn)而構(gòu)造新函數(shù),并借助導(dǎo)數(shù)知識可獲得含參不等式恒成立,最后利用“分離參數(shù)法”即可順利求解參數(shù)的取值范圍,

    二、涉及“任意、存在”字眼的雙變量問題

    處理涉及“任意、存在”字眼的雙變量問題時,首先要準(zhǔn)確理解全稱量詞“任意”與存在量詞“存在”的具體含義:其次解題最關(guān)鍵的地方就是將題設(shè)已知條件中含有全稱量詞或存在量詞的約束條件,等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域之間的關(guān)系,或者等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)最值之間的大小關(guān)系:最后再通過構(gòu)建不等式組或不等式進(jìn)行靈活分析、求解.

    1.根據(jù)“任意、存在型等式成立”,求參數(shù)的取值范圍

    一般地,如果題設(shè)條件中給出了“對任意x1∈A,都存在x2 ∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”,對于這樣的雙變量問題,可將之等價轉(zhuǎn)化為:函數(shù)廠(x)的值域(當(dāng)X∈A時)是函數(shù)g(x)的值域(當(dāng)x∈B時)的子集,然后再通過構(gòu)建不等式組即可順利獲解.為了便于記憶,可將此轉(zhuǎn)化策略簡記為“任意值域是存在值域的子集”.

    評注 本題求解關(guān)鍵點(diǎn)有兩個:一是將“任意、存在型等式成立”問題,等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的包含關(guān)系:二是根據(jù)值域的包含關(guān)系,準(zhǔn)確構(gòu)建含有參數(shù)的不等式組.

    2.根據(jù)“存在、存在型等式成立”,求參數(shù)的取值范圍

    評注解題關(guān)鍵點(diǎn):一是將“存在、存在型等式成立”問題,等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的交集非空;二是靈活借助求補(bǔ)思想(因?yàn)橹苯臃治鲚^為繁瑣),巧妙求解參數(shù)的取值范圍.

    3.根據(jù)“任意、存在型不等式成立”,求參數(shù)的取值范圍

    (1)如果題設(shè)條件中給出了“對任意x1∈A,都存在x2,∈B,使得f(x1)

    (2)如果題設(shè)條件中給出了“對任意x1,∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)>g(x2)成立”,對于這樣的雙變量問題,可將其等價轉(zhuǎn)化為:函數(shù)f(x)的最小值(當(dāng)x∈A時)大于函數(shù)g(x)的最小值(當(dāng)x∈B時),然后再通過解不等式即可順利獲解.為了便于記憶,可將此轉(zhuǎn)化策略簡記為“任意的最小值大于存在的最小值”,

    評注 本題涉及雙勾函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與不等式知識的綜合運(yùn)用,具體解題時,首先要理清題設(shè)約束條件可等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)最大值之間的不等關(guān)系,然后準(zhǔn)確構(gòu)建不等式求解,

    總之,結(jié)合上述歸類解析可知:分析、解決雙變量問題,必須以題設(shè)含有雙變量的約束條件做為解題的切入點(diǎn),如果是雙變量不等式恒成立,則需要在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上,靈活構(gòu)造函數(shù),并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解決問題:如果是涉及“任意、存在”字眼的雙變量問題,則需要在等價轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)上,靈活運(yùn)用函數(shù)的值域(或者最值),構(gòu)建不等式組(或者不等式)解決問題,一言以蔽之,突破雙變量問題,能夠提高學(xué)生的解題能力,提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    (收稿日期:2022 - 03 - 02)C67D70A0-60EF-486A-8BDD-4C4CE3174891

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