活用指、對(duì)數(shù)函數(shù)的“單調(diào)性”巧解題

孫琳

指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)是高考數(shù)學(xué)必考重要知識(shí)點(diǎn)，難度適中，側(cè)重考查其“單調(diào)性”在解題中的靈活運(yùn)用.基于此，現(xiàn)通過歸類舉例解析，著重說明這兩類函數(shù)的“單調(diào)性”的解題應(yīng)用，目的在于幫助學(xué)生加深對(duì)這兩個(gè)常用函數(shù)的“單調(diào)性”的理解與認(rèn)識(shí).

類型一活用單調(diào)性.比較大小

遇到有關(guān)涉及指數(shù)式或?qū)?shù)式的比較大小問題，應(yīng)在充分觀察其外在結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用相關(guān)指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性解題.

評(píng)注 本題側(cè)重考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，在比較大小問題中的綜合運(yùn)用，同時(shí)還需要關(guān)注特殊數(shù)字“0”、“1”等的橋梁作用，

類型二 活用單調(diào)性，解不等式

分析、解決有關(guān)涉及指數(shù)式或?qū)?shù)式的解不等式問題時(shí)，應(yīng)注意在適當(dāng)化簡的基礎(chǔ)上，將指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性加以靈活運(yùn)用，以便順利求解目標(biāo)問題，

評(píng)注 處理指數(shù)不等式（或?qū)?shù)不等式）常用步驟是：化成底數(shù)相同的形式，再利用對(duì)應(yīng)指數(shù)函數(shù)（或?qū)?shù)函數(shù)）的單調(diào)性.此外，必須關(guān)注“對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零”這一隱含條件.

類型三 活用單調(diào)性.證明恒等式

如果題設(shè)條件中涉及指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，那么證明有關(guān)恒等式時(shí)，往往需要考慮指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，以便靈活構(gòu)造新函數(shù)，并在適當(dāng)變形的基礎(chǔ)上，利用新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.

類型四 活用單調(diào)性.求解含參“恒成立”問題

分析、解決涉及指數(shù)式或?qū)?shù)式的不等式恒成立問題時(shí)，往往需要在分離參數(shù)的基礎(chǔ)上，靈活利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，

評(píng)注一 般地，若函數(shù)f（x）和g（x）在同一區(qū)間A上都是增函數(shù)（或減函數(shù)），則函數(shù)f（x）+g（x）在該區(qū)間A上必為增函數(shù)（或減函數(shù)）.

類型五活用單調(diào)性.求解含參“最值”“不等式”問題

處理有關(guān)涉及指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，且含有參數(shù)的最值問題或者解不等式問題時(shí)，往往需要根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的“單調(diào)性”進(jìn)行靈活分析，有利于迅速求解目標(biāo)問題.

評(píng)注本題求解的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：一是由函數(shù)f（x）存在最大值，準(zhǔn)確判斷得到參數(shù)a與1的大小關(guān)系;二是利用指數(shù)函數(shù)y=a x（0

類型六活用單調(diào)性（涉及復(fù)合函數(shù)），求參數(shù)的取值范圍

遇到給定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，且涉及指數(shù)式或?qū)?shù)式問題時(shí)，應(yīng)注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則與指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性在解題中的靈活、綜合運(yùn)用.

評(píng)注 設(shè)復(fù)合函數(shù)y =f[g（x）]的內(nèi)函數(shù)為u=g（x），外函數(shù)為y=（u），則有如下規(guī)律：如果其中某兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性一致，那么另一個(gè)函數(shù)是增函數(shù)：如果其中某兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性不一致，則另一個(gè)函數(shù)是減函數(shù)，

類型七活用單調(diào)性（涉及抽象函數(shù)）.求參數(shù)的取值范圍

遇到給定抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，且涉及指數(shù)式或?qū)?shù)式的解不等式問題時(shí).應(yīng)關(guān)注抽象函數(shù)的性質(zhì)與指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性在解題中的靈活、綜合運(yùn)用.

評(píng)注 本題求解關(guān)鍵點(diǎn)：一是利用f（x）為偶函數(shù)，對(duì)題設(shè)不等式進(jìn)行化簡、變形;二是利用函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，靈活求解題設(shè)不等式，具體求解時(shí)，靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)y= 1nx的單調(diào)性，有利于幫助我們準(zhǔn)確求解參數(shù)的取值范圍.

總之，關(guān)注指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的“單調(diào)性”的常用解題功能，不僅能夠幫助提高對(duì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的靈活、綜合運(yùn)用能力，而且也能夠幫助積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題的能力，進(jìn)而提升學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理方面的核心素養(yǎng).