適度拓展，深入挖掘，高效聚合

王一平

[摘? 要] 高三教學(xué)以復(fù)習(xí)課為主，首考沖擊下的數(shù)學(xué)教學(xué)，更要注重課堂的有序組織，通過教學(xué)環(huán)節(jié)的優(yōu)化設(shè)計，每節(jié)課都應(yīng)該讓學(xué)生有所收獲、有全新的認知，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)課堂充滿期待，對數(shù)學(xué)作業(yè)留有余味. 文章從三個案例出發(fā)，通過“一題多解，拓展思路，在比較感悟中建構(gòu)新知”“一題多變，挖掘本質(zhì)，在層層遞進中提高效率”“多題一解，聚合思維，在反復(fù)摸索中尋求共性”三個角度進行相關(guān)策略研究，以期讓首考沖擊下的高三數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)揮最大功效，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終保持“慣性”與“熱度”.

[關(guān)鍵詞] 首考沖擊;數(shù)學(xué)教學(xué);復(fù)習(xí)課;策略研究

問題提出

浙江省實施新高考以來，“七選三”和外語共有兩次考試機會，取兩次考試中成績高的一次. 高三第一學(xué)期，尤其是后半學(xué)期，學(xué)校對高三的教學(xué)側(cè)重點就是外語和“七選三”的首考，對語文、數(shù)學(xué)兩門課的沖擊比較大.

據(jù)了解，多數(shù)學(xué)校在首考前的一兩個月內(nèi)，為了更好地應(yīng)對首考，對語文和數(shù)學(xué)兩門學(xué)科采取減少課時或限制作業(yè)量的措施為首考贏得更多的復(fù)習(xí)時間;而到了首考前半個月左右，有些學(xué)校甚至采取停課和不得布置作業(yè)的措施，這在很大程度上對語文和數(shù)學(xué)兩門學(xué)科的教學(xué)帶來了困難. 同學(xué)生平時的交談中不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在高三第一個學(xué)期的重心都放在首考上，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以說是“不溫不火”;到了高三后期，學(xué)生在思想上對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)肯定有很大的放松，課后在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上幾乎不花時間.

綜上，不管是學(xué)校對高三教學(xué)的側(cè)重方向還是學(xué)生的思想認識態(tài)度上，作為一線數(shù)學(xué)教師，我們必須主動出擊，改變以往的教學(xué)方式，讓學(xué)生始終保持對數(shù)學(xué)的“激情”，即使在首考前的幾天里，也能在復(fù)習(xí)首考的高強度下的休息時間里想起還有“數(shù)學(xué)”這門學(xué)科，在復(fù)習(xí)累的時候能夠拿起數(shù)學(xué)題目“調(diào)節(jié)”一下緊張的學(xué)習(xí)狀態(tài). 因此，我們必須研究首考前的數(shù)學(xué)課堂，讓學(xué)生在課堂上保持高效的學(xué)習(xí)狀態(tài).

高三教學(xué)以復(fù)習(xí)課為主，首考沖擊下的數(shù)學(xué)教學(xué)，更要注重課堂的有序組織，通過教學(xué)環(huán)節(jié)的優(yōu)化設(shè)計，每節(jié)課都應(yīng)該讓學(xué)生有所收獲、有全新的認知，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)課堂充滿期待，對數(shù)學(xué)作業(yè)留有余味，真正在心底里愛上數(shù)學(xué)，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí). 首考沖擊下的高三數(shù)學(xué)教學(xué)，如何發(fā)揮其最大功效，是我們每個數(shù)學(xué)教師值得思考的主題.

研究實踐

1. 一題多解，拓展思路，在比較感悟中建構(gòu)新知

數(shù)學(xué)作為高中階段最為重要的一門學(xué)科，是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的重要途徑. 在具體的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，通過一題多解的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生從多個角度進行思考，并借助于發(fā)散思維利用不同的解題方法進行解題，進而促使學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，拓展解題思路，促進學(xué)生全面發(fā)展[1]. 一題多解作為數(shù)學(xué)教學(xué)的一種手段，發(fā)揮著強有力的作用. 對于一道典型例題，在一節(jié)課上僅僅呈現(xiàn)它的多種解法，雖然在一定程度上能開闊學(xué)生的視野，但是這些停留在表面上的方法如果不加深入，課堂就變成了多種解法的堆砌，猶如蜻蜓點水，對學(xué)生的幫助并不大. 因此，筆者并不贊同在高三教學(xué)中對同一道試題呈現(xiàn)五種及以上的解法，解法并不是講得越多越好，而是要恰到好處，適度拓展，讓每個學(xué)生都有不同的收獲. 在首考沖擊下的高三數(shù)學(xué)教學(xué)中實施一題多解，在拓展學(xué)生思路的前提下，可以讓學(xué)生在感悟中構(gòu)建新知，在完善認知的過程中體會數(shù)學(xué)不同的情境美、結(jié)構(gòu)美、語言美.

案例1 求2x-2+2x-5的最小值.

這是筆者在高三復(fù)習(xí)“絕對值不等式”一節(jié)課給出的一道例題，整節(jié)課以這道例題為主線，讓學(xué)生從不同視角思考解答，并引導(dǎo)學(xué)生深度思考.

視角1（函數(shù)圖像）：畫出函數(shù)y=2x-2+2x-5的圖像，圖像最低點的縱坐標(biāo)即所求的最小值.

思考1：解不等式2x-2+2x-5<5.

思考3：函數(shù)圖像法的直觀優(yōu)越性不言而喻，如何更進一步，快速地畫出函數(shù)y=ax+b±cx+d（a≠0，c≠0，bc≠ad）的圖像？

學(xué)生體會：函數(shù)圖像法是解決最值問題以及求解不等式問題最直觀的武器，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和等價轉(zhuǎn)化等思想.

視角2（絕對值的幾何意義）：令t=2x，則2x-2+2x-5=t-2+t-5，其幾何意義是數(shù)軸上表示為t的點到2的距離與到5的距離之和，易知當(dāng)t在2與5之間運動時（包括端點），其距離之和為定值3，且為最小值.

思考4：（1）求t+1+t-2+t-5的最小值.

（2）求t+2+t+1+t-2+t-5的最小值.

（3）求t+4+t+2+t+1+t-2+t-5的最小值.

思考5：你能利用絕對值的幾何意義求2x-2+2x-5的最小值嗎？

練習(xí)：若函數(shù)f（x）=x+1+2x+a的最小值為3，則實數(shù)a的值為______.

絕對值三角不等式：若a，b∈R，則a-b≤a±b≤a+b. 其幾何意義就是三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

練習(xí)：對任意x，y∈R，x-1+x+y-1+-y+2的最小值為______.

思考6：若非零向量a，b滿足a+b=b，則（? ）

A. 2a>2a+b

B. 2a<2a+b

C. 2b>a+2b

D. 2b<a+2b

通過上述兩個思考題（思考6和思考7），學(xué)生能清晰地認識到：絕對值三角不等式同樣適用于向量與復(fù)數(shù)系統(tǒng)，即a-b≤a±b≤a+b;z1-z2≤z1±z2≤z1+z2.

感悟：本節(jié)復(fù)習(xí)課起點低、坡度緩、落腳穩(wěn)，遵循學(xué)生的認知規(guī)律（從特殊到一般、從一元到多元、合情推理與類比推理并重），注重數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透，通過一道例題的三個視角不斷深入，每個視角都力爭讓學(xué)生有所觸動. 通過筆者的引導(dǎo)，在拓展思路的過程中構(gòu)建新知，使復(fù)習(xí)課有點新授課的味道，從全方位認識一道例題. 同時，在對比三個視角、三個方法的過程中，讓學(xué)生學(xué)會選擇，明白每個方法背后蘊含的本質(zhì)屬性.

2. 一題多變，挖掘本質(zhì)，在層層遞進中提高效率

高中數(shù)學(xué)的邏輯性非常強，其重點不在于知識的傳授，而是優(yōu)化學(xué)生的思維. 所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師不能一味提倡“題海戰(zhàn)術(shù)”，因為高中數(shù)學(xué)練習(xí)題是永遠做不完的，反復(fù)做某題型的練習(xí)題對學(xué)生并沒有太大用處. 因此，教師需要培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，把原來的一個練習(xí)題變換為多種類型的練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識[2]. 這就需要教師精心備課，合理設(shè)計并深入挖掘，提高課堂教學(xué)的有效性. 首考沖擊下的高三數(shù)學(xué)教學(xué)，更要關(guān)注課堂效率，可以用一個引例串起各種類型的練習(xí)題，其中不乏“變”一些新情境、新視角，提供具有一定綜合性的練習(xí)題，盡可能吸引學(xué)生的眼球，讓學(xué)生的探究熱情一直延續(xù)下去……

案例2 引例：在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面區(qū)域的面積是______.

設(shè)計意圖：引例主要考查二元一次不等式組的幾何意義——平面區(qū)域，作圖可知該平面區(qū)域為三角形.

變式1：在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)）有______個.

設(shè)計意圖：變式1在引例的基礎(chǔ)上考查整點的個數(shù)問題，培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想，主要涉及計數(shù)原理中的分類加法原理.

變式2：直線kx-y-2k+6=0將不等式組x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面區(qū)域分成面積相等的兩部分，則k=______.

設(shè)計意圖：變式2在引例的基礎(chǔ)上考查動直線過定點問題，主要涉及定比分點（本題為中點）問題和兩點斜率公式.

變式3：在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組x+y-a≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面區(qū)域是三角形，則實數(shù)a的取值范圍是______.

設(shè)計意圖：變式3在引例的基礎(chǔ)上將條件改為含參不等式組，考查學(xué)生的逆向思維.

以上引例和3個變式可以歸為一個題組：線性規(guī)劃中的區(qū)域問題.

變式4：設(shè)x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，則z=2x+y的取值范圍是______.

設(shè)計意圖：變式4是最常見的線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題和重點考查題型.

變式5：設(shè)x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，則z=2x+y的取值范圍是______.

設(shè)計意圖：變式5在變式4的基礎(chǔ)上加了一個絕對值符號，目標(biāo)函數(shù)從直線y=-2x+z變成折線y=-2x+z，難度略有提升.

課堂教學(xué)中一學(xué)生提出分類討論思想，將變式5變成兩個最常見的線性規(guī)劃問題，值得推廣.

變式6：設(shè)x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y僅在點A（2，6）處取得最大值，則實數(shù)a的取值范圍是______.

設(shè)計意圖：變式6在變式4的基礎(chǔ)上，將目標(biāo)函數(shù)變成含參函數(shù)，考查學(xué)生的逆向思維，屬于線性規(guī)劃問題中的中檔題.

變式7：設(shè)x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，且有無窮多個點（x，y）使得目標(biāo)函數(shù)z=ax+y取得最大值，則實數(shù)a的值是______.

設(shè)計意圖：變式7在變式6的基礎(chǔ)上，將目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解由一個變成無窮多個，它也是變式4的逆向問題.

以上4個變式可以歸為一個題組：約束條件與目標(biāo)函數(shù)均為線性.

變式8：設(shè)x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，則z=x2+y2的取值范圍是______.

設(shè)計意圖：變式8在變式4的基礎(chǔ)上，目標(biāo)函數(shù)從線性改成非線性，x2+y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點（x，y）與坐標(biāo)原點（0，0）之間的距離的平方.

設(shè)計意圖：變式10在變式9的基礎(chǔ)上，考查“雙勾函數(shù)”在給定區(qū)間上的值域問題.

變式11：設(shè)實數(shù)x，y滿足x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，則z=2xy的最大值為______.

設(shè)計意圖：變式11在變式4的基礎(chǔ)上，將目標(biāo)函數(shù)的“加法運算”改成“乘法運算”，目標(biāo)函數(shù)從線性變成非線性，難度增加不少，考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力.

以上5個變式可以歸為一個題組：約束條件為線性，但目標(biāo)函數(shù)為非線性. 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為非線性時，關(guān)鍵要理解目標(biāo)函數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)對應(yīng)的幾何特征. 另外，約束條件為非線性的問題，主要是直線與曲線的位置關(guān)系問題，可以放到圓錐曲線中進行講解.

筆者讓學(xué)生課后對例題再進行變式，得到了很多意想不到的收獲. 以下呈現(xiàn)部分學(xué)生想到的比較好的變式題.

生1：在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組x+y-a≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面區(qū)域的面積是6，則實數(shù)a=______.

生2：直線kx-y-2k+6=0將不等式組x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面區(qū)域分成面積之比為1∶2的兩部分，則k=______.

生3：設(shè)x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，則z=x+y-6的取值范圍是______.

生4：設(shè)x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，則z=x2+4y2的取值范圍是______.

感悟：利用一題多變的手段，既節(jié)約上課時間，提高課堂效率，充分彰顯了例題的功效，又讓學(xué)生在變式題中感悟到“變”的本質(zhì)、規(guī)律與方向. 在變式中循序漸進，在變式中尋找精彩，在變式中挖掘本質(zhì)，讓學(xué)生有躍躍欲試的沖動. 這樣的課堂正是首考沖擊下最需要的，讓學(xué)生帶著濃厚的興趣一直延續(xù)到課后，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終保持思考的狀態(tài). 給學(xué)生一個舞臺，學(xué)生定能翩翩起舞.

3. 多題一解，聚合思維，在反復(fù)摸索中尋求共性

在課改的背景下，在素質(zhì)教育的引領(lǐng)下，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)能力成為數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中要完成的任務(wù). 多題一解，能很好地減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)，對普通高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)起著很關(guān)鍵的作用. 所謂多題一解，主要指對不同類型的題目，用同一種思維去解題. 可能解題過程中用到的概念、公式或定理不一樣，但是整個解題思維是一致的，這樣的解題方法稱為多題一解[3]. 首考沖擊下的數(shù)學(xué)教學(xué)，時間緊，任務(wù)重，要想在同一時間內(nèi)獲取最大的學(xué)習(xí)效果，則需要呈現(xiàn)共性試題，達到多題一個思路、一個解法的目的，高效聚合，不失為一種行之有效的教學(xué)策略.

案例3 一節(jié)課中呈現(xiàn)如下7個試題：

（3）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=（cosA，cosB），n=（a，2c-b），且m∥n. ①求角A的大小;②若a=4，求△ABC面積的最大值.

（4）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=（b+c，a2+bc），n=（b+c，-1），且m⊥n. ①求角A的大小;②若a=3，求△ABC周長的最大值.

（6）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，c=2，求邊AB上中線長的最大值.

引導(dǎo)學(xué)生觀察試題的共性，回想解決問題的常用方法，先選擇其中的兩道試題進行解答，然后再快速解決剩下的試題（未完成的當(dāng)作課后作業(yè)）.

思維過程1：先用余弦定理得到三邊的關(guān)系，然后根據(jù)題目中的二元目標(biāo)函數(shù)，利用基本不等式求最值.

思維過程2：先根據(jù)正弦定理求出三角形外接圓的直徑2R，再利用正弦定理將邊化成角，綜合運用三角形內(nèi)角和定理、三角公式轉(zhuǎn)化成Asin（ωx+φ）+b的形式求解.

感悟：實踐證明，引導(dǎo)學(xué)生對典型例題解法的總結(jié)、回味與提煉，能使學(xué)生變“重”解題的數(shù)量為“重”解題的質(zhì)量和解題后的反思，力求做到吃透一道題，掌握一類題，悟出一些方法、道理，讓學(xué)生從“題?！敝薪饷摮鰜? 因此，要引導(dǎo)學(xué)生加強多題一解的訓(xùn)練，尋求一類題的常規(guī)解法，重視“通性通法”，淡化“特殊技巧”. 同時，強調(diào)學(xué)生要注意歸納、掌握大眾化的解題方法，這樣不僅能達到觸類旁通、舉一反三的效果，而且在考試中用常規(guī)方法即使解不到底也有利于得分[4]. 可以說，這是首考沖擊下的一種有意義的數(shù)學(xué)活動，在多次的訓(xùn)練中，學(xué)生的聚合思維也能得到一定的提升.

實踐反思

數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了幫助學(xué)生理解、掌握和鞏固所學(xué)的知識，主要采用解題教學(xué)這一手段，與此同時，解題教學(xué)還可以用來培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生自身解決問題的能力. 因此教師要善于選編一些試題，在教學(xué)中注意一題多解、一題多變、多題一解，總結(jié)解題經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生從“變換”的思維角度去聯(lián)想、開拓，縱向挖掘、橫向延伸[5]. 首考沖擊下的高三數(shù)學(xué)教學(xué)，更應(yīng)該深刻領(lǐng)會一題多解、一題多變、多題一解這三種策略的價值所在. 當(dāng)然，這三種策略并不是孤立存在的，它們可以交織在一起，讓課堂變得更加絢麗多彩. 作為一線數(shù)學(xué)教師，我們要研究教材，研究高考，更要研究學(xué)生，積極打造“性價比”較高的課堂，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終保持“慣性”與“熱度”，讓學(xué)生每天都盼望著數(shù)學(xué)課，這樣才能降低首考對高三數(shù)學(xué)教學(xué)的沖擊，甚至不產(chǎn)生影響.

參考文獻：

[1]? 宋梅. 基于高中數(shù)學(xué)一題多解的學(xué)習(xí)研究[J]. 中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師通訊），2020（07）：60-61.

[2]? 劉霞. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“一題多變”的有效運用[J]. 新課程（中學(xué)），2015（08）：53.

[3]? 陳緒進. 淺談高中數(shù)學(xué)多題一解[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（21）：38-40.

[4]? 張永平. 一題多變與多題一解在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（01）：42.

[5]? 徐學(xué)福，房慧. 讓學(xué)生做自己的老師——名師講述如何提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力[M]. 重慶：西南師范大學(xué)出版社，2007.