圓環(huán)在拋物面上運(yùn)動(dòng)模式的分析與探討

凌一凡，劉 陽，劉玉潔，盧禮萍

(1. 南京農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210095；2. 南京農(nóng)業(yè)大學(xué) 金融學(xué)院，江蘇 南京 210095)

剛體運(yùn)動(dòng)普遍存在于日常生活中. 從旋轉(zhuǎn)的小行星和人造衛(wèi)星，到斜坡上滾動(dòng)的球與自行車輪子的動(dòng)力學(xué)，許多日?，F(xiàn)象都可以從剛體運(yùn)動(dòng)的角度來理解. 其中，理論研究較為成熟的是經(jīng)典的歐拉盤問題[1]. 在水平面上釋放一薄圓盤，圓盤會(huì)沿著一定的軌跡滾動(dòng)前進(jìn)，其進(jìn)動(dòng)速率越來越大，而盤面與水平面的傾角越來越小，直至停止運(yùn)動(dòng). 根據(jù)剛體的運(yùn)動(dòng)方程，在無摩擦和無約束條件下，圓盤停止運(yùn)動(dòng)前的進(jìn)動(dòng)速率將發(fā)散至無窮大. 但事實(shí)并非如此，圓盤運(yùn)動(dòng)過程中總會(huì)存在接觸面的摩擦和空氣阻力，導(dǎo)致進(jìn)動(dòng)速率最終變?yōu)榱? 由此許多針對(duì)該運(yùn)動(dòng)的耗散理論被提出，但是確切的機(jī)理至今仍未明確. 由于圓環(huán)的中空結(jié)構(gòu)允許空氣流過，其受到的空氣阻力與圓盤不同. 特別是在傾角較小的情況下，兩個(gè)體系的空氣動(dòng)力學(xué)存在明顯差異，因而兩者在運(yùn)動(dòng)軌跡上有所區(qū)別[2].

此外，物體在曲面上的運(yùn)動(dòng)也是人們普遍關(guān)注的研究方向. 例如硬幣漏斗，即從雙曲線型漏斗的表面溜槽內(nèi)發(fā)射一枚硬幣，它會(huì)順著雙曲面滾動(dòng)前進(jìn)，其軌道半徑越來越小，最后終止在漏斗底部. 這一運(yùn)動(dòng)成立的條件是硬幣直徑比漏斗直徑小得多. 當(dāng)硬幣或者圓環(huán)的直徑增加，或者不使用溜槽，讓硬幣以任意角度開始運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)更加復(fù)雜，類似花瓣. 部分觀點(diǎn)認(rèn)為漏斗中的運(yùn)動(dòng)軌跡與漏斗的形狀有關(guān)，并證明了任何表面都不可能形成除圓外的任何開普勒軌道[3]. 本文在二次曲面上以不同初速度方向發(fā)射圓環(huán)，獲得不同的運(yùn)動(dòng)模式，接著利用現(xiàn)有的軌跡方程擬合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)模式與初速度之間的關(guān)聯(lián)；最后應(yīng)用剛體理論對(duì)幾種特殊的運(yùn)動(dòng)模式的角動(dòng)量進(jìn)行了探討.

1 圓環(huán)在拋物面上的運(yùn)動(dòng)模式

實(shí)驗(yàn)中，選用圓底鍋代替拋物面，見圖1(a)，經(jīng)過測(cè)量曲面函數(shù)為

(1)

建立如圖1(b)所示的拋物面坐標(biāo). 圓環(huán)的材質(zhì)包括塑料、金屬、木質(zhì)等. 在嘗試了不同種類材質(zhì)圓環(huán)后，發(fā)現(xiàn)材質(zhì)對(duì)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)軌跡的影響不大，而環(huán)直徑、初速度方向以及重量是決定環(huán)軌跡的重要因素. 因此本文采用質(zhì)量較小的細(xì)金屬環(huán)(半徑1.5 cm) 來比較不同初速度方向下的運(yùn)動(dòng)軌跡. 圖2(a)為三葉草運(yùn)動(dòng)模式，圖2(b)為該模式在x和y方向上的運(yùn)動(dòng).

圓底鍋

tracker軟件追蹤到的圓環(huán)在拋物面上的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)軌跡

為了更好地對(duì)比不同初速度方向的運(yùn)動(dòng)軌跡，本文利用Tracker對(duì)每個(gè)環(huán)運(yùn)動(dòng)視頻進(jìn)行了跟蹤并記錄相關(guān)運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)，再使用Matlab模擬出的與實(shí)際圓鍋參數(shù)一致的二次曲面，對(duì)所得軌跡坐標(biāo)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)重構(gòu)，結(jié)果見圖3. 設(shè)θ為初速度方向與拋物面直徑之間的夾角,如圖2(a). 當(dāng)θ=0°時(shí)，圓環(huán)運(yùn)動(dòng)軌跡類似沿著直徑的一條直線，當(dāng)θ=20°時(shí)為細(xì)長的三葉草形；θ=40°時(shí)，為短胖的三葉草；而θ=50°時(shí)，則為螺旋的同心圓. 盡管在角度變化中無法準(zhǔn)確控制初速度的大小，但多次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果具有可重復(fù)性，因此有關(guān)初速度方向的實(shí)驗(yàn)結(jié)論仍然是可靠的. 此外，本文還發(fā)現(xiàn)初速度的大小只能改變圓環(huán)同一次運(yùn)動(dòng)軌跡z軸的高度，即影響三葉草的軌跡范圍，而不影響運(yùn)動(dòng)模式.

θ=0

2 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

由上述實(shí)驗(yàn)可知，圓環(huán)在拋物面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡類似三葉草形狀，每片葉子的胖瘦取決于圓環(huán)的初速度方向，而直線型和螺旋型軌跡是其中兩個(gè)特例. 由此利用五角星的軌跡方程構(gòu)建本實(shí)驗(yàn)中的運(yùn)動(dòng)方程為

x=Acos(ω1t+φ1)+Bcos(ω2t+φ2)

(2a)

y=Asin(ω1t+φ1)-Bsin(ω2t+φ2)

(2b)

(3a)

(3b)

采用最小二乘法將上述運(yùn)動(dòng)方程擬合三葉草運(yùn)動(dòng)模式圖3(b)和螺旋同心圓模式圖3(d)，得到各個(gè)參數(shù)值見表1. 圖4(a)和4(b)是擬合的圖3(b)的軌跡，圖4(c)和4(d)是擬合的圖3(d)的軌跡. 這里值得指出的是，雖然方程(3)能很好的描述三葉草和螺旋同心圓的運(yùn)動(dòng)模式，但是無法描述直線型圖3(a)的運(yùn)動(dòng)模式.

表1 方程(3)擬合三葉草和圓形圖3(b)和(d)所得的參數(shù)

圖4 根據(jù)方程(3)擬合的運(yùn)動(dòng)軌跡，圖中圓圈代表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，曲線代表擬合結(jié)果. (a)和(b)是三葉草運(yùn)動(dòng)模，(c)和(d)是螺旋同心圓運(yùn)動(dòng)模

3 初速度分析

由上述分析可知，方程(3)可以用來描述圓環(huán)在二次曲面的大部分運(yùn)動(dòng)軌跡. 為了簡(jiǎn)化計(jì)算過程，用簡(jiǎn)化的方程(2)來討論運(yùn)動(dòng)初速度問題. 對(duì)運(yùn)動(dòng)方程x分量和y分量分別求導(dǎo)數(shù)，即可得到環(huán)在x、y方向的速度方程為

υx=-ω1Asin(ω1t+φ1)-ω2Bsin(ω2t+φ2)

(4a)

υy=ω1Acos(ω1t+φ1)-ω2Bcos(ω2t+φ2)

(4b)

取t=0，ω1∶ω2=1∶2，則初速度方向?yàn)?/p>

(5)

A/B=1

圖6 利用方程(5)所得到的與初速度方向的關(guān)系. 計(jì)算中夾角θ為初速度方向與x軸正方向的夾角，因此圖像的橫坐標(biāo)為負(fù)值

4 轉(zhuǎn)動(dòng)問題討論

圖7 圓環(huán)在平面上運(yùn)動(dòng)的示意圖. 以環(huán)的質(zhì)心建立坐標(biāo)系軸為穿過曲面中心的豎直軸線. Ω為進(jìn)動(dòng)角速度，α為傾角，ω1為自轉(zhuǎn)角速度

利用兩種坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，圓環(huán)的總角速度可以表示為[4]

(6)

再利用環(huán)與底面接觸點(diǎn)速度為零的約束條件，該速度為質(zhì)心速度加上相對(duì)于質(zhì)心的相對(duì)速度，則

vcon=vcm+ω×a=0

(7)

結(jié)合式(6)、(7)可得質(zhì)心速度為

(8)

質(zhì)心平動(dòng)方程為

(9)

質(zhì)心角動(dòng)量定理為

(10)

式(9)、(10)合并，消去受力項(xiàng)，得到三個(gè)分量為[4]

(11)

將上述3個(gè)分量用于本實(shí)驗(yàn)運(yùn)動(dòng)的討論.

(12)

(13)

圖8(b)是不同傾角α?xí)r，圓環(huán)在逐漸下落的過程中(a=1 cm)，隨著半徑r的減小，Ω逐漸增加，當(dāng)r接近零時(shí)，則Ω可趨于無窮大. 圖中一個(gè)特例為當(dāng)α=π/2時(shí)，Ω始終為零. 然而在圖3(d)的同心圓運(yùn)動(dòng)模式中，當(dāng)圓環(huán)到達(dá)拋物面底部時(shí)，任何一種速度都降低到零. 因此本文認(rèn)為，雖然這種情況適合于描述本實(shí)驗(yàn)中圖3(d)的運(yùn)動(dòng)形式，但是不適合描述同心圓軌跡收尾時(shí)的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)楫?dāng)圓環(huán)接近拋物面底部時(shí)，圓環(huán)不斷與拋物面碰撞和反彈，此時(shí)α不再為一常數(shù). 當(dāng)圓環(huán)進(jìn)行三葉草運(yùn)動(dòng)模式時(shí)，則傾角α和半徑r均為衰減的周期變化函數(shù)，此時(shí)討論式(11)變得相當(dāng)復(fù)雜，這里不再做進(jìn)一步討論.

圓環(huán)在曲面螺旋運(yùn)動(dòng)示意圖

5 結(jié)論

為了研究圓環(huán)在拋物面上的運(yùn)動(dòng)模式，實(shí)驗(yàn)中將圓環(huán)以不同初速度方向入射，通過Tracker軟件跟蹤運(yùn)動(dòng)軌跡獲得不同運(yùn)動(dòng)模式，即直線型、三葉草型和螺旋同心圓型. 利用現(xiàn)有的運(yùn)動(dòng)方程并考慮到實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況，構(gòu)建衰減模式的三葉草運(yùn)動(dòng)方程，探討了不同初速度方向與運(yùn)動(dòng)模式之間的關(guān)聯(lián). 結(jié)果發(fā)現(xiàn)當(dāng)初速度方向與拋物面直徑方向夾角θ較小時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡呈細(xì)長型三葉草；隨著夾角的θ的增加，三葉草形狀變豐滿，最后轉(zhuǎn)變?yōu)槁菪耐膱A. 最后利用剛體運(yùn)動(dòng)的理論體系，探討了特殊運(yùn)動(dòng)模式下圓環(huán)的轉(zhuǎn)角速度.

而在其他研究中，人們則從平動(dòng)角度出發(fā)，將圓環(huán)視為質(zhì)點(diǎn)，對(duì)環(huán)不同的橢圓軌跡建立了相關(guān)微分方程，進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，并在受力分析的基礎(chǔ)上構(gòu)建了動(dòng)能理論方程，進(jìn)行能量分析.研究重點(diǎn)是闡述摩擦力和初速度對(duì)圓環(huán)軌道運(yùn)動(dòng)的影響，得到的結(jié)論是摩擦力影響軌跡重復(fù)次數(shù)和最后圍繞中心點(diǎn)的振動(dòng)次數(shù)，初速度則影響環(huán)的軌道重復(fù)次數(shù)，而并不影響振動(dòng)次數(shù)[5]. 但研究對(duì)環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)方面的相關(guān)運(yùn)動(dòng)并未進(jìn)行相關(guān)的研究. 實(shí)際的剛體運(yùn)動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)體系. 雖然目前對(duì)圓環(huán)的剛體運(yùn)動(dòng)已經(jīng)存在許多相關(guān)的理論解釋，但精確且完整的理論體系仍有待深入研究. 本文通過現(xiàn)有的理論框架，結(jié)合現(xiàn)代化的軟件和設(shè)備，實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)驗(yàn)的可視化結(jié)合，較為合理地解釋了剛體在特定曲面的部分運(yùn)動(dòng)模式.