基于歷史名題的高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課教學(xué)：龐海燕

龐海燕 王芳 余慶純

[摘? 要] “阿基米德三角形”包含了直線與圓錐曲線相交、相切兩種位置關(guān)系，聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，能夠很好地體現(xiàn)“坐標(biāo)法”的解題思想，揭示數(shù)形結(jié)合方法的本質(zhì). 圓錐曲線復(fù)習(xí)教學(xué)中存在著學(xué)生算理清楚、運(yùn)算過程卻難以推進(jìn)和教師例題選擇缺乏整體性的問題，為解決這兩個問題，研究者以圓錐曲線中的“阿基米德三角形”為載體，開展“圓錐曲線的方程”單元復(fù)習(xí)教學(xué)研究. 實踐表明：由“阿基米德三角形”引領(lǐng)的圓錐曲線單元復(fù)習(xí)課教學(xué)浸潤了知識源流、學(xué)科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂、多元文化等維度的數(shù)學(xué)文化，深刻地揭示了數(shù)學(xué)史的六類教育價值.

[關(guān)鍵詞] 阿基米德三角形;圓錐曲線;單元復(fù)習(xí);歷史名題;數(shù)學(xué)文化

[?]引言

解析幾何，是高中數(shù)學(xué)的重點與難點，而圓錐曲線是解析幾何中的核心內(nèi)容. “圓錐曲線的方程”是人教A版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊的第三章內(nèi)容，是“直線與圓的方程”的后續(xù)內(nèi)容，主要運(yùn)用“坐標(biāo)法”探究圓錐曲線的幾何特征，建立它們的方程，通過方程研究它們的性質(zhì)，并解決與圓錐曲線有關(guān)的幾何問題和實際問題，是對高中平面解析幾何內(nèi)容的深入學(xué)習(xí)和研究. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：通過解析幾何單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，運(yùn)用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題，感悟平面幾何中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想[1].

在圓錐曲線單元教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)：一方面，學(xué)生通過新課學(xué)習(xí)熟悉了圓錐曲線的基礎(chǔ)知識，但學(xué)生解題的方法零散，解決綜合性問題的能力弱，往往由于運(yùn)算煩瑣經(jīng)常算不下去，且解題后缺乏反思和總結(jié);另一方面，教師由于課堂時間緊張，往往只講解題的思路和方法，運(yùn)算交給學(xué)生課后進(jìn)行，缺乏解題示范和規(guī)律總結(jié)，缺少對整體性、系統(tǒng)性知識方法的有效建構(gòu).

數(shù)學(xué)歷史名題，是指在數(shù)學(xué)演進(jìn)的歷史長河中，對數(shù)學(xué)發(fā)展、社會應(yīng)用、科學(xué)進(jìn)步等方面產(chǎn)生一定影響的數(shù)學(xué)問題，展現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的多元內(nèi)涵.

過圓錐曲線的弦兩端的切線與弦所圍成的三角形被稱為該圓錐曲線的“阿基米德三角形”（見圖1）. 據(jù)說，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes，公元前287年—公元前212）在其著作《拋物弓形求積》中提出了一個用三角形窮竭拋物線弓形面積的算法，解決了拋物線弓形面積問題，其中衍生出了“阿基米德三角形”，具有相當(dāng)多的優(yōu)美性質(zhì). “阿基米德三角形”包含了直線與圓錐曲線相交、相切兩種位置關(guān)系，聚焦了軌跡方程、定值、定點、弦長、面積等解析幾何的核心問題，“坐標(biāo)法”的解題思想和數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)勢體現(xiàn)得淋漓盡致，更能在課堂上提升學(xué)生解決圓錐曲線問題的能力，落實邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

鑒于此，本研究基于“阿基米德三角形”這一歷史名題，開展圓錐曲線單元復(fù)習(xí)教學(xué)研究，擬定教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）通過“坐標(biāo)法”解決直線與圓錐曲線中線段長度問題、軌跡問題、切線問題、最值問題、面積問題等，掌握“應(yīng)用定義”“應(yīng)用判別式”“運(yùn)用向量工具”“運(yùn)用平面幾何知識簡化”“數(shù)形轉(zhuǎn)化”“與導(dǎo)數(shù)結(jié)合”6個方面的解題策略，體會數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

（2）經(jīng)歷從特殊的“阿基米德三角形”到一般情形的過程，提升學(xué)生類比、遷移和抽象的能力;經(jīng)歷從一般情形中發(fā)現(xiàn)特殊的“阿基米德三角形”的過程，培育學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決問題的能力.

（3）了解“阿基米德三角形”問題的歷史演進(jìn)過程，培育學(xué)生的動態(tài)數(shù)學(xué)觀，培育學(xué)生的理性精神，讓其品味精彩的數(shù)學(xué)文化.

[?]史料運(yùn)用

1. 史料簡析

古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在其著作《拋物弓形求積》中利用一系列內(nèi)接三角形逐步逼近拋物線弓形，借助于“窮竭法”解決了拋物線弓形的面積問題（見圖2）. 設(shè)AB是拋物線的一條弦，阿基米德證明[2]：

命題1：過拋物線上任意一點P作拋物線對稱軸的平行線，交AB于點C，若AB平行于拋物線在點P處的切線MN，則AC=BC;反之，若AC=BC，則AB平行于拋物線在點P處的切線MN.

命題2：P為拋物線上任意一點，直線AB與拋物線在P處的切線MN平行，交拋物線于點A和B，過P作拋物線對稱軸的平行線，交AB于點C，交拋物線在點A處的切線于點T，則PT=PC.

命題3：過AB的中點C作拋物線對稱軸的平行線，交拋物線于點P，則P為拋物線弓形的頂點.

命題4：設(shè)P是拋物線弓形ABP的頂點，Q和R分別是AP和BP所截的小拋物線弓形的頂點，則S=S=S.

命題5：設(shè)P是拋物線弓形的頂點，則拋物線弓形ABP的面積等于S.

阿基米德通過命題4得到了S+S=S，繼續(xù)對小弓形進(jìn)行了類似的分割，其后的三角形也有同樣的面積關(guān)系. 拋物線弓形ABP的面積可以用所有這些內(nèi)接三角形的面積和來“窮竭”，也就是可以用幾何級數(shù)S+S+S+…的有限項之和逼近，其中S=S[3].

2. 史料融入單元復(fù)習(xí)課教學(xué)的方式

由“阿基米德三角形”引領(lǐng)的圓錐曲線單元復(fù)習(xí)課例中，采用了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的4種方式，具體如下：

（1）附加式. 活動1“發(fā)現(xiàn)者：數(shù)學(xué)構(gòu)件——基本性質(zhì)研究”中以“微視頻”的形式介紹阿基米德對拋物線弓形面積的研究方法與積極貢獻(xiàn)，活動2“創(chuàng)造者：數(shù)學(xué)建構(gòu)——軌跡探尋”中對“蒙日圓”的介紹，引導(dǎo)學(xué)生感悟精彩的數(shù)學(xué)文化.

（2）復(fù)制式. 情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)引入“阿基米德三角形”的定義，引導(dǎo)學(xué)生重走數(shù)學(xué)家研究之路，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情、探究興趣.

（3）順應(yīng)式. 活動1中利用命題4、命題5設(shè)計Q4，以及引導(dǎo)學(xué)生自己思考解決拋物線弓形面積的方法，在從特殊到一般情形的過程中，提升學(xué)生類比、遷移和抽象的能力.FCF4CA3A-2477-4914-8547-4088B8F2C5AF

（4）重構(gòu)式. 活動3“探究者：數(shù)學(xué)應(yīng)用——一般問題探究及溯源”中通過Q6、Q7引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一般情形中的“阿基米德三角形”，培育學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析和解決問題的能力.

依據(jù)“阿基米德三角形”相關(guān)的歷史名題來梳理高三單元復(fù)習(xí)課中的解題規(guī)律，化解機(jī)械化計算的枯燥. 通過分析問題、解決問題，引導(dǎo)學(xué)生利用類比法探究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的本質(zhì)，認(rèn)識到問題背后的規(guī)律性，抽象出數(shù)學(xué)解題過程.

[?]教學(xué)實踐

1. 創(chuàng)設(shè)情境

課前提前發(fā)放《預(yù)習(xí)單》，引導(dǎo)學(xué)生分析和解決問題，洞察問題之間的緊密聯(lián)系，為后續(xù)復(fù)習(xí)做好鋪墊.

Q1（教材P136，例5）：經(jīng)過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，經(jīng)過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.

Q2（教材P138，復(fù)習(xí)鞏固，第6題）：如圖3所示，直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A，B兩點，求證：OA⊥OB.

Q3（教材P139，拓廣探索，第12題）：已知拋物線的方程為y2=4x，直線l繞點P（-2，1）旋轉(zhuǎn)，討論直線l與拋物線y2=4x的公共點的個數(shù)，并回答下列問題：（1）畫出圖形表示直線l與拋物線的各種位置關(guān)系，從圖中你發(fā)現(xiàn)直線l與拋物線只有一個公共點時是什么情況？（2）y2=4x與直線l的方程組成的方程組的解的個數(shù)與公共點的個數(shù)是什么關(guān)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析并發(fā)現(xiàn)《預(yù)習(xí)單》中Q1至Q3的共性——直線與圓錐曲線相交或相切. 以Q3中的拋物線為例，過拋物線外一點P作拋物線的兩條切線PA，PB，連接AB，得到△PAB. 在△PAB中，PA，PB是拋物線的切線，AB是拋物線的一條弦，聚焦了相交、相切兩個問題. 教師介紹“早在兩千多年前，數(shù)學(xué)家阿基米德就用幾何論證、物理方法對這個三角形開展過系列研究”，以“這個三角形究竟有什么神奇之處”“阿基米德又做了哪些工作”等問題激疑，展開對“阿基米德三角形”性質(zhì)的深入探究.

2. 課堂探究

活動1從最簡單、最特殊的情況——拋物線的焦點弦開始，從點的坐標(biāo)、直線的方程到弦長、三角形的面積，這些對學(xué)生來說，都屬于熟悉的數(shù)學(xué)問題情境.通過對其研究，引導(dǎo)學(xué)生能夠在熟悉的情境中直接抽象出圓錐曲線中的切線問題、切點連線、軌跡問題、線段長度、面積及最值問題的解決方法，明晰算理，并類比、遷移到一般情形，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、探究、欣賞與“阿基米德三角形”相關(guān)的數(shù)學(xué)歷史名題.

【活動1】 發(fā)現(xiàn)者：數(shù)學(xué)構(gòu)件——基本性質(zhì)研究.

Q4：已知拋物線x2=4y的焦點為F，A，B是拋物線上的兩動點，且=λ（λ>0），過A，B兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M（如圖4所示）.

（1）證明：M在拋物線的準(zhǔn)線上;

（2）證明：·為定值;

（3）證明：MA⊥MB;

（4）證明：若AB的中點為C，則MC∥y軸;

（5）求解：設(shè)△ABM的面積為S，寫出S=f（λ）的表達(dá)式，并求S的最小值;

（6）過AN的中點D作DE∥y軸，交拋物線于E，證明：S=8S.

其中，Q4（4）對應(yīng)命題2，Q4（5），Q4（6）對應(yīng)命題5.

利用“坐標(biāo)法”完成解答后，進(jìn)行題后反思.

師：在Q4（1）中，整理切線MA的方程y=x-y，得到MA：xx=2（y+y）. 這個方程的形式具有什么代數(shù)特點？若結(jié)合M的坐標(biāo)和AB的方程，又有什么代數(shù)特點？可以推廣到一般的情形嗎？請小組合作，研討記錄.

對學(xué)生研討的內(nèi)容進(jìn)行梳理，得出結(jié)論：對于拋物線y2=2px（p>0），若點P（x，y）在拋物線上，則直線yy=p（x+x）為點P（x，y）處拋物線的切線方程;若點P（x，y）在拋物線外，則直線yy=p（x+x）為P（x，y）對應(yīng)的兩條切線的切點連線的方程.

教師指出：圓、橢圓、雙曲線也都有類似結(jié)論.

師：結(jié)合Q4（1）、Q4（3），思考兩條切線的交點具有什么幾何特性.

學(xué)生再次小組討論，得出結(jié)論：兩條切線的交點在定直線上.

師：Q4（4）的逆命題成立嗎？即若AB的中點為C，M在拋物線x2=4y的準(zhǔn)線上，且MC∥y軸，則MA，MB是拋物線的切線嗎？若成立，這個命題會給我們帶來什么啟示？

生：只需驗證M

，-1

是否滿足方程xx=2（y+y），這顯然成立！這個結(jié)論將啟示我們：作拋物線的切線，它不再是“看得見卻摸不著”了！

師：Q4中的直線AB是過拋物線焦點的，如果改變這個條件，比如說直線AB過點（0，2），類比前面的解答過程，哪些步驟會有影響？結(jié)論會有影響嗎？

學(xué)生結(jié)合演算過程驗證自己的想法.

教師播放與阿基米德相關(guān)的微課視頻，主要內(nèi)容是阿基米德的主要研究工作、拋物線弓形面積的算法（如圖5所示）.

師：對比阿基米德的想法，我們通過對Q4（6）的研究，可以推出弓形AOB的面積嗎？

生：過BN的中點G作GH∥y軸，交拋物線于H，所以S=8S，從而S+S=S，重復(fù)這一過程，利用無限個小三角形逼近弓形ABN的思想，得S=S+S+S+…=S.

【活動2】 創(chuàng)造者：數(shù)學(xué)建構(gòu)——軌跡探尋.

接著，活動2安排了橢圓兩條切線相交產(chǎn)生的交點軌跡問題，幫助解決絕大多數(shù)學(xué)生不能有效表征的問題，以及知道算理卻算不下去的問題. 跳出拋物線，引導(dǎo)學(xué)生用類比法了解橢圓等其他背景中的“阿基米德三角形”的性質(zhì)，以及解決以此為背景的問題.在研究橢圓的兩條切線的交點的過程中，讓學(xué)生創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)另一個歷史名題——“蒙日圓”，引導(dǎo)學(xué)生深切地感受研究的樂趣，浸潤多元數(shù)學(xué)文化的芬芳！FCF4CA3A-2477-4914-8547-4088B8F2C5AF

師：拋物線中“阿基米德三角形”有如此優(yōu)美的性質(zhì)，由Q4的討論知道，在給定的條件下，拋物線兩條切線的交點有著自己獨(dú)特的軌跡——直線. 那么橢圓呢？請看下面的問題：

Q5：（2014年廣東卷理科第20題）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的一個焦點為（，0），離心率為.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）若動點P（x，y）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線互相垂直，求點P的軌跡方程.

通過聯(lián)立兩條切線方程、采用整體消參的策略可解決Q5（2）. 完成解答后，進(jìn)行題后總結(jié).

師：通過分析發(fā)現(xiàn)，與拋物線類似，橢圓的兩條互相垂直的切線的交點也有著自己獨(dú)特的軌跡，它們在一個圓上，這個圓不一般！它是以法國數(shù)學(xué)家蒙日（Gaspard Monge，1746—1818）的名字命名的圓：在橢圓（雙曲線）中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓（雙曲線）的中心，半徑等于長半軸與短半軸平方和（實半軸與虛半軸平方差的絕對值）的算術(shù)平方根，這個圓叫“蒙日圓”. 課后，同學(xué)們可以查閱資料，深入研究“蒙日圓”的相關(guān)內(nèi)容.

【活動3】 探究者：數(shù)學(xué)應(yīng)用——一般問題探究及溯源.

在一般的直線與拋物線相交的情形中，在復(fù)雜的情境中，能夠理解“分析問題”中的數(shù)學(xué)思想，提煉“解決問題”中的數(shù)學(xué)方法，追根溯源，能夠通過類比、聯(lián)想確定線段長度問題、軌跡問題、切線問題、最值問題、面積問題的運(yùn)算方法并發(fā)現(xiàn)和解決新問題.

Q6：（2018年浙江卷第21題）如圖6所示，已知點P是y軸左側(cè)（不含y軸）一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上.

（1）設(shè)AB的中點為M，證明：PM垂直于y軸;

（2）若P是半橢圓x2+=1（x<0）上的動點，求△PAB面積的取值范圍.

可利用“設(shè)點代點”的思路解決Q6（1），可利用S=PM

y

-y解決Q6（2）. 完成解答后，進(jìn)行題后反思.

師：Q6（1）不見“阿基米德三角形”的身影，為什么會有與Q4（4）類似的結(jié)論？“中點在拋物線上”可以推廣到一般情形嗎？

生：若記PA，PB分別交拋物線于D，C，能不能將結(jié)論推廣到AB∥CD？

Q7：已知拋物線C：y2=4x的內(nèi)接梯形ABCD，其中AB∥CD（如圖7所示）. 求證：

（1）梯形兩腰所在直線的交點P，梯形對角線的交點Q，以及梯形上、下底的中點N，M，都在垂直于y軸的直線l上;

（2）若直線l與拋物線相交于點R，則過點R的拋物線的切線與直線AB平行（同命題1）;

（3）過點P作拋物線的兩切線PE和PF（其中切點為E，F(xiàn)），則直線EF與AB平行，且直線EF經(jīng)過點Q.[4]

分析問題：

（1）證明同Q6一樣（此處略）.

（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，即點R為原點O，結(jié)論成立;當(dāng)直線AB的斜率存在時，k===k，結(jié)論成立.

（3）設(shè)P（x，y），EF：2x-yy+2x=0，AB：4x-2yy+yAyB=0，EF∥AB顯然成立;記EF的中點Q′

-x，y

，要證直線EF經(jīng)過點Q，下證Q與Q′重合，即證Q′在直線AC和BD上. 下面以Q′滿足AC的方程進(jìn)行說明：

AC：4x-（y+y）y+yy=0，下證（y+y）y-yy=4

-x

，又點P（x，y）在直線BC上，故（y+y）y-yy=4x，（y+y）y-yy+（y+y）y-yy=（y+y+2y）y-（y+y）y=（2y+2y）y-2yy=2y=4

-x

+4x，得證！

同理，Q′滿足BD的方程. 故直線EF經(jīng)過點Q.

生：當(dāng)D，C分別趨向A，B時，直線AD的方程由4x-（y+y）y+yy=0退化為4x-2yy+y=0，其為拋物線y2=4x在點A處的切線方程，△PAB為“阿基米德三角形”！

師：從Q6的特殊情況推廣到Q7的一般情況，而Q7的極限情況居然又出現(xiàn)了“阿基米德三角形”！這是一個有“阿基米德三角形”背景的問題，看來我們需要用聯(lián)系和發(fā)展的眼光看問題. 本題中的直線l也不一般，它是弦AB的“直徑”. 古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中給出了弦直徑的概念：圓錐曲線的任意一組平行弦AB的中點在一條直線上，把這些中點的軌跡稱為其中任意某條弦AB的直徑. 從Q7知道，拋物線的平行弦的直徑是一條平行于對稱軸的射線. 課后同學(xué)們可以查閱資料，深入研究拋物線、圓、橢圓、雙曲線的平行弦的直徑及相關(guān)性質(zhì).

3. 課堂小結(jié)

師：通過本節(jié)復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)，大家有什么具體的學(xué)習(xí)收獲？

生1：在活動1中，通過“坐標(biāo)法”系統(tǒng)研究了特殊的“阿基米德三角形”的一些性質(zhì)，能試著對一般的“阿基米德三角形”進(jìn)行類比探究.

生2：通過活動2學(xué)習(xí)了橢圓中的“阿基米德三角形”，讓我發(fā)現(xiàn)了“蒙日圓”，我想它應(yīng)該也會有很多性質(zhì)，我可以用今天的方法試著再去深入地探究一下.

生3：在活動3中，通過對一個一般三角形的性質(zhì)的探究，發(fā)現(xiàn)它居然也和“阿基米德三角形”有關(guān)，還知道了弦直徑. 通過今天的研究方法打開了我對一般問題的研究思路.

[?]學(xué)生反饋

課后，任課老師對試教的兩個班100名學(xué)生開展了問卷調(diào)查，共回收了100份有效問卷，具體結(jié)果分析如下.

1. 本節(jié)課中，哪個教學(xué)環(huán)節(jié)給你留下了深刻印象？

數(shù)學(xué)文化運(yùn)用于課堂實踐，學(xué)生對以“阿基米德三角形”為源的圓錐曲線問題有了更加深入的理解，學(xué)生對不同的教學(xué)環(huán)節(jié)也表現(xiàn)出了不同的喜好程度，這說明學(xué)生的研究意識和對直線與圓錐曲線位置關(guān)系的研究方法的掌握程度得到了提升.FCF4CA3A-2477-4914-8547-4088B8F2C5AF

2. 阿基米德對“拋物線弓形面積”的研究工作給你帶來了哪些啟示？

大部分學(xué)生表示，阿基米德借助于力學(xué)思想，解決數(shù)學(xué)問題的研究結(jié)果超越時代，令人驚嘆！這種“跨學(xué)科思維”是分析問題、解決問題的一條可行之路. 還有一些學(xué)生指出，現(xiàn)在借助于“坐標(biāo)法”與“極限工具”可以很快地解決拋物線弓形面積問題，領(lǐng)悟到了數(shù)學(xué)方法之美，體會到了學(xué)習(xí)多元數(shù)學(xué)方法的重要性.

3. 由“數(shù)學(xué)歷史名題”引領(lǐng)的復(fù)習(xí)課，給你的學(xué)習(xí)帶來了哪些影響？

學(xué)生普遍談到，由“數(shù)學(xué)歷史名題”引領(lǐng)的復(fù)習(xí)課幫助他們認(rèn)識到了圓錐曲線蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)家、科學(xué)家及人類無窮的聰明智慧，激發(fā)他們對圓錐曲線的不斷探索與深度學(xué)習(xí)，為圓錐曲線問題的解決模式建立了一個系統(tǒng)性、整體性的認(rèn)知體系. 期待以后繼續(xù)上其他主題的基于歷史名題的單元復(fù)習(xí)課.

[?]教學(xué)反思

充分利用數(shù)學(xué)歷史名題這一組織材料，實現(xiàn)數(shù)理人文的融合與再建. 借鑒“基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化”內(nèi)涵分析框架[5]（見圖9），詮釋本節(jié)復(fù)習(xí)課蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵具體如下：

借鑒阿基米德研究拋物線弓形面積的方法，選擇性地進(jìn)行教學(xué)重構(gòu). 從特殊到一般，從一般到特殊，“阿基米德三角形”聚焦了解析幾何的核心問題，體現(xiàn)了“坐標(biāo)法”的解題思想和數(shù)形結(jié)合方法的優(yōu)勢，說明浸潤數(shù)學(xué)文化具有十分的必要性;微視頻中介紹了阿基米德研究拋物線弓形面積的方法，顯示了將物理方法用于數(shù)學(xué)研究的精彩范例，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)與物理學(xué)“學(xué)科聯(lián)系”非常緊密;“坐標(biāo)法”為解決拋物線弓形面積問題、深入探究圓錐曲線的性質(zhì)均提供了便利，讓研究者擁有了比阿基米德和阿波羅尼奧斯更多的優(yōu)勢，而圓錐曲線與科研、生產(chǎn)以及人類生活有著緊密的關(guān)系，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)重要的“社會角色”;阿基米德將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行物理轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了學(xué)科的“統(tǒng)一美”，而今“坐標(biāo)法”的運(yùn)用則突出了數(shù)學(xué)方法的“簡潔美”;數(shù)學(xué)趣味方面，“阿基米德三角形”本身具有一系列的優(yōu)美性質(zhì)，以其為背景的問題能激發(fā)學(xué)生探究的興趣，讓學(xué)生體驗到“做數(shù)學(xué)”“當(dāng)小數(shù)學(xué)家”的快樂;通過微視頻展示對1830—1969年出版的18種美英解析幾何教科書的考察，發(fā)現(xiàn)除定積分外其他4種求拋物線弓形面積的方法——比例法、阿基米德法、切線法和矩形分割法[6]，反映出不同地域、不同時代的數(shù)學(xué)家對歷史數(shù)學(xué)問題的研究，讓學(xué)生體會到古代不同文明的數(shù)學(xué)文化，開闊視野，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)“多元文化”的交融.

本課例體現(xiàn)了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的6類教育價值. 阿基米德主要從物理和幾何的角度研究了圓錐曲線的性質(zhì)，而“坐標(biāo)法”則從代數(shù)的角度研究了數(shù)量關(guān)系，從“形”“數(shù)”兩個角度奠定了解析幾何的學(xué)習(xí)基礎(chǔ). 設(shè)計3個活動體現(xiàn)了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的本質(zhì)，突出研究“阿基米德三角形”的必要性，體現(xiàn)了“知識之諧”. 活動1體現(xiàn)的是從特殊到一般的歸納推理，活動3體現(xiàn)的是從一般到特殊的演繹推理，兩種數(shù)學(xué)思想方法有機(jī)統(tǒng)一，培養(yǎng)學(xué)生有邏輯、有條理地分析問題、解決問題，帶領(lǐng)學(xué)生體驗“坐標(biāo)法”的威力、“幾何法”的強(qiáng)大，揭示了“方法之美”. 層層遞進(jìn)、由淺入深的3個活動，為學(xué)生提供了拓展探究的機(jī)會與材料，體會到“探究之樂”. 活動1培養(yǎng)的是學(xué)生總結(jié)反思、類比遷移的能力，活動2通過解決表征不同但本質(zhì)相同的問題，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，活動3通過追根溯源，不斷培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題、追求創(chuàng)新的能力，實現(xiàn)“能力之助”. 活動1對拋物線弓形面積問題的解決，活動2從一個歷史名題轉(zhuǎn)接到另一個歷史名題，活動3對阿波羅尼奧斯提出“直徑”的背景的介紹，穿越了不同的數(shù)學(xué)時空，與多位數(shù)學(xué)家對話，讓數(shù)學(xué)課堂充滿了“文化之魅”. 從德育滲透來說，在情感方面，活動1幫助培養(yǎng)學(xué)生類比遷移的探究精神，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣;在信念方面，活動2引導(dǎo)學(xué)生探索其他圓錐曲線背后的“阿基米德三角形”，建立文化自信;在理性方面，活動3促使學(xué)生善于思考，形成不畏困難的學(xué)習(xí)態(tài)度和積極樂觀的學(xué)習(xí)信念，從而有效落實“德育之效”.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 汪曉勤. 基于數(shù)學(xué)史料的高中數(shù)學(xué)問題編制策略[J].數(shù)學(xué)通報，2020，59（05）：9-15.

[3]? 李文林. 數(shù)學(xué)史概論[M]. 北京：高等教育出版社，2000.

[4]? 魏定波. 2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷第21題引發(fā)的探究[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2018（07）：55-56.

[5]? 余慶純，汪曉勤. 基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵實證研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2020，29（03）：68-74.

[6]? 秦語真，汪曉勤. 美英早期教科書中的拋物線弓形面積求法及其教學(xué)啟示[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2020（16）：1-4+36.FCF4CA3A-2477-4914-8547-4088B8F2C5AF