B樣條擬插值算子的逼近

郭紅焱

(云南民族大學 預科教育學院，云南 昆明 650031)

0 引 言

二十世紀以來，函數(shù)逼近論得到了高速發(fā)展，它不僅能夠研究多項式函數(shù)、線性算子等的最佳逼近，還滲透到泛函分析、調和分析、代數(shù)、小波分析，成為計算數(shù)學、應用數(shù)學、優(yōu)化理論、計算機輔助設計等學科的理論基礎和方法依據(jù)，特別是應用于計算機領域數(shù)據(jù)的模擬和分析.我們知道，插值和擬插值是經常用到的兩種方法，然而在大規(guī)模的數(shù)據(jù)面前，一般是采用擬插值的方法，它可以直接構造出一個整體逼近的形式，因此構造具有良好性質的擬插值已很有必要[1-6].

在已知節(jié)點的情形下，擬插值的標準形式是

(1)局部逼近性，即(Snh)(x)在x點的值僅依賴于h(x)及其若干階導數(shù)在x點的領域上的值；

(2)逼近階的最佳性，即(Snh)(x)逼近光滑函數(shù)h(x)可達到最好可能的樣條函數(shù)的逼近階；

(3)對l次多項式的再生性，這里k

(Snp)(x)=P(x).

性質(3)是保證性質(2)的關鍵，我們的構造也就從抓住性質(3)和性質(1)入手.

1 C空間下B樣條擬插值算子的逼近

1.1 B樣條的定義及性質

下列性質1到性質3可在參考文獻[3]中找到，性質4和性質5可在參考文獻[4，6]中找到.

性質1 遞推關系：當m≥2時，m階B樣條定義為：

性質2 正定與緊支性：

性質4 對?τ∈R，

證明我們已經知道對?m≥2均有

成立，又在性質4中，取τ=0，即可得

1.2 預備知識

我們先給出k泛函與光滑模的定義如下：

我們知道k泛函與光滑模具有等價等質,即

c1wr(f,t)∞≤Kr,∞(f,t)≤c2wr(f,t)∞，c1

其中Zj(h)是h(xj)，h(xj+1)，…，h(xj+m)的組合.

設(Snh)(x)是C[a,b]中的正線性算子系列，如果對于fi(x)=xi，i=0, 1, 2，則該算子在[a,b]上一致收斂于fi(x)，則對于每個函數(shù)f(x)∈C[a,b]，(Snf)(x)在[a,b]上一致收斂于f(x).為了得到較高的逼近階，我們對 B樣條擬插值算子進行加權逼近[9-10]，其中Jacobi權為：

滿足‖Snh-h‖∞≤c3tr-1‖g(r-1)‖∞.

證明由h(x)滿足的性質，先取在x0=0處，由麥克勞林公式可得：

又記

因為對?x∈R都成立，故在其它點處由Taylor公式同樣可得.

此時不妨設|x|

而又因為(Snh)(x)具有局部多項式的再生，所以有：

(Snpx0)(x)=Px0(x).

又因為‖wkSn(h)‖∞≤M‖wkh‖∞，‖wk(Sn(h)-h)‖∞≤Mn-1‖wkh″‖∞(其中M表示與h,n,x無關的正常數(shù))，從而得到：

‖wk(Snh-h)‖∞

=‖wk(Snh-Px0(x)+Px0(x)-h)‖∞

=‖wk(Snh-Px0(x)+Snpx0(x)-h)‖∞

≤‖wk(Snh-Px0(x))‖∞+‖wk(Shpx0(x)-h)‖∞

=(1+‖Sn‖)|h(x)-Px0(x)|≤c3hr-1‖f(r-1)‖≤MKwk(h,n-1).

在這里需要證上面的‖Sn‖有界.

證明因為

‖(Snh)(x)‖≤c‖h‖∞，則‖Sn‖≤c.又其中Zj(h)是h(xj)，h(xj+1),…,h(xj+m)的組合，即

∑Zj(h)=c1h(xj)+c2h(xj+1)+…+cm+1h(xj+m) ≤|c1h(xj)|+|c2h(xj+1)|+…+|cm+1h(xj+m)|≤(k+1)cm‖h(xj+m-1)‖≤(k+1)cm‖h‖∞.

這里取(k+1)cm=c.

2 Lp空間下B樣條擬插值算子的逼近

研究本節(jié)需用到如下知識.

(1)對每個f∈Lp[a,b]，(1≤p≤∞，本文假設L∞=c)

(2)(Minkowski不等式)設p≥1,f∈Lp[a,b],g∈Lq[a,b] ,那么f+g∈Lp[a,b]，并且下列不等式成立

‖f+g‖p≤‖f‖p+‖g‖p.

‖f-Sh(f)‖p[xi,xi+1]≤c4[‖f-g‖p[xi,xi+1]+hm‖g(m)‖p[xi,xi+1]]，?g∈cm[xi,xi+1]

證明由定理1可以得到：

|f(x)-Sh(f)(x)|≤c5hr-1w(f(r-1),h)Ii，

‖f-Sh(f)‖p[xi,xi+1]=‖f-g+g-Sh(f)‖p[xi,xi+1]≤‖f-g‖p[xi,xi+1]+‖g-Sh(f)‖p[xi,xi+1].

又因為

‖g-Sh(f)‖p[xi,xi+1]

=‖g-Px0(x)+Px0(x)-Sn(f)‖p[xi,xi+1]

=‖g-Px0(x)+Snpx0(x)-Sn(f)‖p[xi,xi+1]

≤‖g-Px0(x)‖+‖Snpx0(x)-Sn(f)‖p[xi,xi+1]

≤(1+‖Sn‖)|g(x)-Px0(x)|p[xi,xi+1]

≤c6hm‖g(m)‖p[xi,xi+1]，

故

‖f-Sh(f)‖p[xi,xi+1]

≤‖f-g‖p[xi,xi+1]+‖g-Sh(f)‖p[xi,xi+1]

≤‖f-g‖p[xi,xi+1]+c6hm‖g(m)‖p[xi,xi+1]

≤c4[‖f-g‖p[xi,xi+1]+hm‖g(m)‖p[xi,xi+1]] ，?g∈cm[xi,xi+1] .

定理證畢.