更上一層樓：從一題多解到揭示結(jié)構(gòu)

劉東升

幾何題的一題多解是不少同學(xué)的興趣點(diǎn)。如果能從一題多解發(fā)展到揭示結(jié)構(gòu)，則能讓我們理解得更加深刻。下面，老師以一道幾何題為例，跟同學(xué)們一起從一題多解走向揭示結(jié)構(gòu)。

例題 如圖1，菱形ABCD中，∠BCD=60°，點(diǎn)E在邊BC上（點(diǎn)E不與頂點(diǎn)B、C重合），連接DE，DE的垂直平分線MN交對角線AC于點(diǎn)M，垂足為N。連接ME，分析∠MED的度數(shù)是否變化？如果變化，求出它的度數(shù)范圍;如果不變，求出它的度數(shù)。

思路1（八年級“軸對稱性質(zhì)、全等性質(zhì)”）：關(guān)鍵是運(yùn)用菱形的軸對稱性質(zhì)，如圖2，連接DM，過點(diǎn)M分別作BC、DC的垂線段MP、MQ，得∠PMQ=120°，再運(yùn)用全等三角形（△PME≌△QMD）性質(zhì)得出∠DME=120°，從而獲解。

思路2：如圖3，連接BM、DM。由題意可得BM=ME=MD，∠MCB=30°。設(shè)∠CME=θ，則∠MBE=∠MEB=θ+30°，所以∠CMD=∠CMB=180°-∠CBM-∠MCB=120°-θ，所以∠DME=∠CMD+∠CME=120°，于是獲解。

思路3（九年級“四點(diǎn)共圓”）：如圖4，關(guān)鍵是證四邊形CDME對角（∠CDM與∠CEM）互補(bǔ)，得C、D、M、E四點(diǎn)共圓，從而∠DME與∠DCE是互補(bǔ)的，于是∠DME=120°，從而在△DME中，∠MED=30°。

思路4：如圖5，連接MD、MB，可得MD=MB=ME，于是△BDE的外接圓圓心正是點(diǎn)M。于是圓心角∠DME=2∠DBE=120°，從而獲解。

【繼續(xù)探究】由于含60°的菱形可看成是兩個(gè)等邊三角形“拼接”在一起，于是我們將其中一個(gè)等邊三角形刪減，得出以下“等價(jià)問題”。

如圖6，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是BC邊上的動點(diǎn)，F(xiàn)為線段AE的中點(diǎn)，線段AE的垂直平分線交AB邊的中線于點(diǎn)G，那么∠GEF是否為定值？如果是定值，請求出這個(gè)值;如果不是，請說明理由。

【思路解析】如圖7，取BE的中點(diǎn)P，連接PF、PG、BG、AG，可得BG=AG=EG，于是GP⊥BE。在四邊形EFGP中，根據(jù)對角互補(bǔ)，可得E、F、P、G四點(diǎn)共圓，所以∠FGE=∠FPE。再把目光切換至△EAB中，F(xiàn)P∥AB，所以∠FPE=∠ABC=60°，于是由“同弧所對圓周角相等”，可得∠FGE=∠FPE=60°，從而在Rt△EFG中，∠GEF=30°。

【揭示結(jié)構(gòu)】如圖8，作△CDE（∠DCE=α）的外接圓，交CG（∠ECD的角平分線）于點(diǎn)G，那么弧GD與弧GE相等，GD=GE。于是∠GEF=∠GCD=[12]∠DCE=[12]α。

可以發(fā)現(xiàn)，原題中的含有60°的菱形是更強(qiáng)的條件。60°可以換為任意角α，答案都是[12]α。

【問題推廣】已知△ABC，點(diǎn)E是直線BC上動點(diǎn)，線段AE、AB的垂直平分線交于點(diǎn)G，求證：∠AEG=[90°-∠ABC]。

【簡證】以圖9為例，圓心角∠AGE=2∠ABC，從而∠FGE=∠ABC，于是∠AEG=90°-∠ABC。隨著點(diǎn)E在直線BC上運(yùn)動到不同位置，用類似的方法可以證明∠AEG=[90°-∠ABC]。

（作者單位：江蘇省南通市教育科學(xué)研究院）12B9E5C7-7940-4B8A-9440-F9D9C259077D