數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中的實(shí)踐與思考

李 琰

(上海市國(guó)和中學(xué)，上海 200433)

一、關(guān)于初中數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”思想的知識(shí)架構(gòu)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂。從某種意義上講，學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)、怎樣思考、用什么樣的數(shù)學(xué)思想遠(yuǎn)比學(xué)習(xí)什么數(shù)學(xué)知識(shí)更重要。但在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師往往只注重講解解題策略而忽略滲透數(shù)學(xué)思想。本文以初中數(shù)學(xué)綜合題為載體，闡述“數(shù)形結(jié)合”思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與滲透。

數(shù)形結(jié)合思想就是運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形語(yǔ)言結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和具象思維相結(jié)合，通過(guò)圖形的描述、代數(shù)的論證來(lái)研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。“數(shù)形結(jié)合”是初中數(shù)學(xué)最重要的數(shù)學(xué)思想之一，很多教學(xué)內(nèi)容中都有所體現(xiàn)，但要說(shuō)起初中數(shù)學(xué)最能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的數(shù)學(xué)知識(shí)，筆者認(rèn)為有：直角坐標(biāo)系、函數(shù)、銳角三角比、相似三角形以及勾股定理及其逆定理，這五部分知識(shí)中都自帶“數(shù)”與“形”的屬性。

二、關(guān)于初中“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué)實(shí)踐

初中數(shù)學(xué)被分為代數(shù)和幾何兩大分支，代數(shù)主要是對(duì)數(shù)與式的分析，而幾何主要是對(duì)圖形的研究。但教師需要通過(guò)思維引導(dǎo)、例題或練習(xí)設(shè)計(jì)、示范講解等教學(xué)手段，讓學(xué)生體會(huì)到代數(shù)與幾何不是相互獨(dú)立的，而是有著非常緊密的聯(lián)系。很多代數(shù)問(wèn)題直接計(jì)算運(yùn)算量太大，甚至無(wú)從下手，但是如果轉(zhuǎn)化成直觀的圖形之后，很容易通過(guò)圖形的性質(zhì)而得到解決。還有一些圖形問(wèn)題因?yàn)椴粫?huì)添加輔助線導(dǎo)致無(wú)法研究，但是往往通過(guò)坐標(biāo)系的方法，轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題之后就很容易得到結(jié)果。數(shù)形結(jié)合是聯(lián)系數(shù)與形之間良好的紐帶，對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有著非常重要的作用，要讓學(xué)生通過(guò)課堂體驗(yàn)、教師引導(dǎo)，形成“代數(shù)”“幾何”靈活切換的意識(shí)，完成“數(shù)形結(jié)合”思想的滲透。[1]

1.界定“代數(shù)法”與“幾何法”

筆者深感“數(shù)形結(jié)合思想”的博大精深，在教學(xué)實(shí)踐中更是時(shí)刻銘記，不斷嘗試將“數(shù)形結(jié)合思想”融入日常教學(xué)、滲入學(xué)生的思維中。筆者在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)中，常將例題和作業(yè)設(shè)計(jì)為一題多解，在例題講解時(shí)，注意以代數(shù)、幾何兩種思路切入問(wèn)題。主要運(yùn)用方程(組)、函數(shù)解析式、運(yùn)算公式等代數(shù)工具切入問(wèn)題的方法，下文稱(chēng)之為“代數(shù)法”；主要以幾何圖形為思維支點(diǎn)，通過(guò)相似三角形、銳角三角比等幾何手段切入問(wèn)題的方法，本文稱(chēng)之為“幾何法”。讓學(xué)生形成一種條件反射，當(dāng)一種思路遭遇瓶頸時(shí)，順勢(shì)轉(zhuǎn)換思路，在“代數(shù)法”與“幾何法”之間自由切換。

2.設(shè)計(jì)“可多角度切入”的綜合問(wèn)題

數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“一個(gè)專(zhuān)心備課、善于思考的老師能夠拿出一個(gè)有意義但又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，通過(guò)這道題，就好像打開(kāi)一扇窗，把學(xué)生引人一個(gè)完整的理論領(lǐng)域?！睌?shù)學(xué)解題的有效性往往取決于問(wèn)題本身的優(yōu)劣，故習(xí)題教學(xué)中的題不在“多”而在于“精”和“透”。一個(gè)精挑細(xì)選的問(wèn)題能夠激發(fā)學(xué)生深入研究的興趣，強(qiáng)化知識(shí)結(jié)構(gòu)。同樣，一道方法多樣的題目能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解，拓展思考問(wèn)題的角度，提升思維品質(zhì)。

在習(xí)題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想非常重要。為了更好地突顯數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用，筆者設(shè)計(jì)了能充分運(yùn)用“代數(shù)法”和“幾何法”的函數(shù)綜合題，帶領(lǐng)學(xué)生將一道題充分“吃透”，在提問(wèn)與思考的過(guò)程中，學(xué)生互為補(bǔ)充，從不同的角度切入問(wèn)題從而激發(fā)出不同的解題思路。在綜合問(wèn)題的實(shí)踐中，一題多解的教學(xué)才能“以一敵百”，將“數(shù)形結(jié)合”思想方法融會(huì)貫通，學(xué)生才能“百戰(zhàn)百勝”。[2]

圖1

例題：如圖1，已知平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于點(diǎn)A(-2，0)和點(diǎn)B(4，0)。

(1)求這條拋物線的表達(dá)式和對(duì)稱(chēng)軸；

(2)點(diǎn)C在線段OB上，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D，E是BD中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE并延長(zhǎng)，與y軸交于點(diǎn)F。

①當(dāng)點(diǎn)D恰好是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)。

第(2)題第②小題亦是如此。

此時(shí)，教師可組織學(xué)生暫停解題，反思前面的思考過(guò)程，歸納“代數(shù)法”的優(yōu)缺點(diǎn)，并適時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生：當(dāng)遇到“代數(shù)法”計(jì)算繁雜時(shí)，不妨轉(zhuǎn)換思路，從觀察圖形入手，用“幾何法”的靈動(dòng)彌補(bǔ)“代數(shù)法”的不足。

第(2)題第①②小題分別運(yùn)用了“代數(shù)法”和“幾何法”求解，貫通了直角坐標(biāo)系、函數(shù)、銳角三角比、相似三角形等數(shù)學(xué)知識(shí)，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生充分體會(huì)到“代數(shù)法”與“幾何法”的優(yōu)勢(shì)和不足，更能感受到代數(shù)與幾何互為補(bǔ)充、相輔相成的密切聯(lián)系。

3.配合“有發(fā)揮空間”的作業(yè)習(xí)題

在“數(shù)形結(jié)合”專(zhuān)題的習(xí)題課中可以精講以上的例題，當(dāng)學(xué)生感到收獲滿滿并且躍躍欲試時(shí)，教師可趁熱打鐵，布置一道“有發(fā)揮空間”的作業(yè)題或思考題。這道題的難度可略高于課堂例題，既可讓學(xué)生將課堂所學(xué)充分運(yùn)用，又比例題條件更豐富，比例題的切入角度更多，給學(xué)生課后留出自我提升的空間。以下是筆者的習(xí)題設(shè)計(jì)，供同行參考選用。

圖2

習(xí)題示例：如圖2，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，CD平分∠ACB交邊AB于點(diǎn)D，P是射線CD上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AP。

(1)求線段CD的長(zhǎng)；

(2)點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CM、PM，若△CMP是等腰三角形，求CP的長(zhǎng)。

這道習(xí)題和例題不同，沒(méi)有直角坐標(biāo)系，也沒(méi)有函數(shù)背景。筆者要求學(xué)生用多種方法解題，允許同學(xué)之間討論、互相啟發(fā)，并給足學(xué)生思考和回味的時(shí)間，這道作業(yè)題取得的教學(xué)效果可能超過(guò)了教師的預(yù)期。

羅增儒教授曾說(shuō)，數(shù)學(xué)解題通常有四個(gè)自然階段，審題、想題、寫(xiě)題、回題，即理解題意、思路探求、書(shū)寫(xiě)表達(dá)、回顧反思。其中思路探求就是從題目的條件出發(fā)，通過(guò)聯(lián)想類(lèi)似知識(shí)和已有經(jīng)驗(yàn)，形成與結(jié)論之間的聯(lián)系，它是解題思路形成的關(guān)鍵。[3]

第(2)題大部分同學(xué)也首先考慮從幾何圖形入手，由△CMP是等腰三角形的結(jié)論可假設(shè)：①CM=MP1或②CM=CP2或③CP3=MP3。

圖3

圖4

由于這道題是以幾何圖形的形式給出的，因此大部分學(xué)生都從“幾何法”切入，但構(gòu)造基本圖形的策略不同，涉及的幾何模塊不同，列方程所依據(jù)的等量關(guān)系不同，所以出現(xiàn)了以上兩種“幾何法”。在習(xí)題講解時(shí)，以上部分均可由學(xué)生表述，分享自己組合了哪些已知條件，如何聯(lián)想到構(gòu)造這樣的基本圖形，教師只要簡(jiǎn)要板書(shū)思維導(dǎo)圖。

當(dāng)學(xué)生都將此題定性為“幾何問(wèn)題”，只是借助代數(shù)方程進(jìn)行必要計(jì)算時(shí)，教師可出其不意地提出問(wèn)題：本題能用“代數(shù)法”求解嗎？學(xué)生一籌莫展，教師可提示：本題與“代數(shù)法”之間是否相差了一個(gè)直角坐標(biāo)系？學(xué)生恍然大悟：以“直角ACB”為切入點(diǎn)可建立直角坐標(biāo)系。教師可組織學(xué)生當(dāng)場(chǎng)進(jìn)行小組討論，合作完成以“代數(shù)法”解幾何問(wèn)題的初探(如下)。

圖5

用“代數(shù)法”解幾何問(wèn)題，過(guò)程竟然出人意料的簡(jiǎn)便，教師應(yīng)充分贊美學(xué)生勇于創(chuàng)新的精神以及將數(shù)形結(jié)合思想完美呈現(xiàn)的過(guò)程。兩課時(shí)的習(xí)題研討課很短暫，但對(duì)于數(shù)形結(jié)合的思考不能就此停止，教師可布置作業(yè)：希望學(xué)生反思并歸納“數(shù)形結(jié)合”專(zhuān)題研討課的收獲，回看并整理做過(guò)的幾何綜合題，挑選一至兩題用建立直角坐標(biāo)系的“代數(shù)法”進(jìn)行求解。

三、關(guān)于初中教學(xué)“數(shù)形結(jié)合”思想的持續(xù)思考

1.“數(shù)形結(jié)合”思想的提出與發(fā)展

“數(shù)形結(jié)合”一詞正式出現(xiàn)在華羅庚先生于1964年1月撰寫(xiě)的《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題》的科普小冊(cè)子中，書(shū)中有一首小詞：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事非；切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離！”這首小詞生動(dòng)、深刻地指明了“數(shù)形結(jié)合”的價(jià)值，也揭示了“數(shù)形結(jié)合”的本質(zhì)?！皵?shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種智慧的數(shù)學(xué)方法。我們?cè)谘芯砍橄蟮摹皵?shù)”的時(shí)候，往往要借助直觀的“形”，在探討“形”的性質(zhì)時(shí)，又往往離不開(kāi)“數(shù)”。通過(guò)“數(shù)”與“形”的結(jié)合，我們對(duì)事物規(guī)律的把握就能既容易又準(zhǔn)確、深刻。[4]

2.“數(shù)形結(jié)合”思想的探索與發(fā)現(xiàn)

在初中數(shù)學(xué)綜合題的探索過(guò)程中，常用的思維路徑有兩條，一是“以數(shù)解形”，二是“以形助數(shù)”，本文中分別稱(chēng)之為“代數(shù)法”與“幾何法”。

(1)對(duì)“數(shù)”“形”的聯(lián)想與轉(zhuǎn)化，是運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想的關(guān)鍵。如果圖形中已經(jīng)建立了直角坐標(biāo)系，自然聯(lián)想到把幾何中的點(diǎn)、線等基本元素與代數(shù)中的數(shù)、方程(組)等基本元素對(duì)應(yīng)起來(lái)，即將幾何元素轉(zhuǎn)化為求解點(diǎn)的坐標(biāo)、函數(shù)的解析式、方程(組)等，從而獲得解決路徑，這樣的方法是“以數(shù)解形”，本文稱(chēng)之為“代數(shù)法”，也就是笛卡爾所創(chuàng)立的“解析幾何法”?！按鷶?shù)法”的優(yōu)勢(shì)是思維路徑簡(jiǎn)潔，答案準(zhǔn)確，不易漏解，一個(gè)等量關(guān)系稍作變式即可反復(fù)使用，一種思路常?？赏瑫r(shí)解決幾個(gè)問(wèn)題；“代數(shù)法”的缺點(diǎn)是計(jì)算過(guò)程較繁瑣，易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。

“幾何法”的優(yōu)點(diǎn)是不需繁雜的計(jì)算，常有出奇制勝的效果。但“幾何法”的難點(diǎn)是圖形變化比較靈活，學(xué)生需要對(duì)圖形有較強(qiáng)的觀察能力，對(duì)組合條件有較強(qiáng)的聯(lián)想能力，對(duì)基本圖形及其相關(guān)解法有較深厚的積累，才能添加輔助線構(gòu)造出基本圖形，從而尋找邊角關(guān)系，并借助恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)工具進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算。其缺點(diǎn)是常常需要“移步換景”，即每個(gè)問(wèn)題要添加不同的輔助線，更換不同的基本圖形，發(fā)現(xiàn)不同的解決思路，這對(duì)學(xué)生的讀圖構(gòu)圖能力、邏輯思維能力要求較高。

(2)完善習(xí)題教學(xué)的各環(huán)節(jié)，是落實(shí)“數(shù)形結(jié)合”思想的重要手段。一是設(shè)計(jì)優(yōu)質(zhì)問(wèn)題，滲透“數(shù)形結(jié)合”思想?！昂妙}”的“好”主要在于它可以進(jìn)一步展開(kāi)和一般化，蘊(yùn)含豐富多彩的解決方法和知識(shí)內(nèi)容。要在習(xí)題教學(xué)中逐漸滲透數(shù)學(xué)思想，選擇一道“好題”尤為重要，以這一道題為載體，通過(guò)多角度的審視、多層次的思考、多方法的解決，以“一道題”關(guān)聯(lián)“一個(gè)體系”，從而達(dá)到“做一道、會(huì)一類(lèi)、通全部”的目的。能一題多解的綜合題無(wú)疑是“好題”中的好題，這種例題與習(xí)題既能兼顧到各類(lèi)層次的學(xué)生，關(guān)注到各種思維的差異，也能多角度地分析條件，有助于探究問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)。另外，一題多解的過(guò)程中蘊(yùn)含著不同的原理，溝通著不同的知識(shí)，有助于形成優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)、明晰知識(shí)框架、滲透“數(shù)形結(jié)合”思想的教學(xué)過(guò)程。二是合理引導(dǎo)思維，提煉“數(shù)形結(jié)合”思想。教師在課堂上要善于引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想與思考。教師在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生從多種角度思考問(wèn)題，從條件的不同組合切入問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)一題多解。由于不同學(xué)生之間思維方式、思維深度和思考問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)不同，基于“形”的條件聯(lián)想的方向也會(huì)不同。筆者認(rèn)為，在習(xí)題教學(xué)中，教師不應(yīng)刻意追求多解，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析已知條件，特別是請(qǐng)學(xué)生分享方法是如何想到的，基于學(xué)生的思維特點(diǎn)和經(jīng)驗(yàn)，注重聯(lián)想方向的合理性，尊重思維的多樣化，自然會(huì)得到一題多解的局面。當(dāng)思維的火花被充分激發(fā)和碰撞后，教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生自主提煉數(shù)學(xué)思想方法，這樣提煉出的數(shù)學(xué)方法才能完成內(nèi)化，才能一般化地運(yùn)用到不同的問(wèn)題中，這樣基于自身體驗(yàn)提煉出的數(shù)學(xué)思想才能深植學(xué)生心中。[5]三是持續(xù)發(fā)展思維，深化“數(shù)形結(jié)合”思想。數(shù)學(xué)家亞諾斯卡婭說(shuō)過(guò)：“解題就意味著把所要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問(wèn)題。”短短兩課時(shí)的習(xí)題教學(xué)一定不能解決“數(shù)形結(jié)合”的所有問(wèn)題，但通過(guò)對(duì)例題和練習(xí)題條件圖形的對(duì)比與歸納，對(duì)所有解法的反思與比較，對(duì)基本問(wèn)題模型的歸類(lèi)與再思考，學(xué)生可以再次回味“數(shù)形結(jié)合”思想，從而使不同的問(wèn)題“歸一”為“數(shù)形結(jié)合基本型”問(wèn)題，進(jìn)一步深化“數(shù)形結(jié)合思想”。