“問題驅(qū)動(dòng),素養(yǎng)導(dǎo)向”下數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)

高小娟

【摘要】新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為教學(xué)目標(biāo)，而數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的落實(shí)很大程度體現(xiàn)在習(xí)題課上.筆者針對目前高中數(shù)學(xué)習(xí)題課普遍存在的問題，提出了“問題驅(qū)動(dòng)，素養(yǎng)導(dǎo)向”的教學(xué)模式.通過立足“最近發(fā)展區(qū)”，激發(fā)學(xué)生興趣;立足問題串導(dǎo)學(xué)，引發(fā)學(xué)生探究;立足頭腦風(fēng)暴，引領(lǐng)學(xué)生提問，真正做到以學(xué)生為主體的高效課堂.讓學(xué)生不僅會(huì)解決問題，還會(huì)提出問題，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，最大程度地落實(shí)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】問題驅(qū)動(dòng);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);課堂教學(xué)

新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為教學(xué)目標(biāo)，該如何提高高中生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)呢？筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)應(yīng)落實(shí)到課堂教學(xué)上，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本任務(wù)則是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識來解決具體的數(shù)學(xué)問題，因此數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)就擺在首當(dāng)其沖的顯要位置，有效的習(xí)題課教學(xué)不僅能拓寬學(xué)生的解題視角，同時(shí)還能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

1 高中數(shù)學(xué)習(xí)題課存在的問題

但是在目前形勢下，很多教師對習(xí)題課的認(rèn)識不充分，高中數(shù)學(xué)習(xí)題課的教學(xué)上存在了很多問題，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)無法得到落實(shí).首先、教師對習(xí)題課不夠重視.很多教師認(rèn)為習(xí)題課無非就是講評練習(xí)，沒有充分備課，或者只是簡單地做了一下練習(xí)，導(dǎo)致習(xí)題課沒有達(dá)到應(yīng)有的效果;其次、習(xí)題課形式過于單一.很多習(xí)題課都是以教師講授為主要方式，學(xué)生被動(dòng)接受知識，沒有留給學(xué)生時(shí)間理解消化和吸收，導(dǎo)致對于某一道題沒有自主訓(xùn)練，無法形成自己的思維，所以知識只停留在表層，沒有內(nèi)化為自身的東西，即使遇到類似的題目，也可能還是不會(huì)做;再次、也存在部分老師缺乏教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就題講題，自然效果不理想.一味追求題量，讓學(xué)生不斷進(jìn)行題海訓(xùn)練，單一方式的講題讓學(xué)生疲憊不堪，大大降低了課堂教學(xué)的效率，也無法鍛煉學(xué)生的思維;最后，習(xí)題課上缺乏思維高度.方法是手段，思想是靈魂.很多教師注重解題，通過講評習(xí)題，希望讓學(xué)生掌握這一題該怎么解，就題講題，學(xué)生無法做到會(huì)一題通一類，沒有對方法進(jìn)行總結(jié)，對思想進(jìn)行拔高.

2 問題驅(qū)動(dòng)理論的提出

著名心理學(xué)家皮亞杰提出：學(xué)生學(xué)習(xí)的知識是要通過自我建構(gòu)得到的，而非依靠教師的一味講授.問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)是通過系列問題設(shè)置的形式，教師有效引導(dǎo)學(xué)生思考、同學(xué)間的相互合作等方式，逐步解決問題的探究式學(xué)習(xí)模式，既符合了皮亞杰提出的建構(gòu)學(xué)習(xí)，又能更好地開發(fā)學(xué)生的潛力，實(shí)現(xiàn)高效課堂.

問題驅(qū)動(dòng)型習(xí)題課是習(xí)題課中最常見的類型，問題驅(qū)動(dòng)是通過設(shè)置一系列的問題，引導(dǎo)學(xué)生在課堂中分析、解決問題，進(jìn)而學(xué)會(huì)提出問題的課堂教學(xué)模式.通過問題串的設(shè)計(jì)，有效地將某一塊的核心內(nèi)容分解成較為精細(xì)的幾個(gè)小問題， 從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)，帶著問題思考，根據(jù)所學(xué)過的知識先解決“小問題”，從而突破“大問題”，通過對一個(gè)個(gè)問題的解決， 完善數(shù)學(xué)知識的發(fā)展和形成過程.通過任務(wù)的導(dǎo)向，學(xué)生進(jìn)一步明確研究的問題和思考的方向，而教師起到主導(dǎo)的作用，引導(dǎo)學(xué)生有效地開展探究活動(dòng)，積極推進(jìn)數(shù)學(xué)知識體系的建立，也鍛煉了學(xué)生的思維.

3 問題驅(qū)動(dòng)的實(shí)踐探究

學(xué)生在學(xué)習(xí)完橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的幾何性質(zhì)之后，需要安排習(xí)題課對所學(xué)知識進(jìn)行鞏固和運(yùn)用，這樣便能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)和解決高中學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題，又加深了對橢圓概念的理解.焦點(diǎn)三角形是橢圓的一個(gè)基礎(chǔ)內(nèi)容，其實(shí)質(zhì)是對橢圓定義的深化研究，同時(shí)也考查了余弦定理、三角形面積公式等，是解三角形與解析幾何知識的交匯，所以系統(tǒng)地研究橢圓焦點(diǎn)三角形問題是很有必要的.此部分內(nèi)容不僅能及時(shí)鞏固學(xué)生所學(xué)的知識，也是對高中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的培養(yǎng).因此筆者安排了第一節(jié)習(xí)題課為對橢圓中焦點(diǎn)三角形問題的探究，希望通過問題是驅(qū)動(dòng)，學(xué)生能靈活運(yùn)用橢圓焦點(diǎn)三角形的定義和結(jié)論，巧妙簡單地解決問題，從而降低橢圓的難度和運(yùn)算量.

3.1 立足“最近發(fā)展區(qū)”，激發(fā)學(xué)生興趣

最近發(fā)展區(qū)理論指出，高中課堂教學(xué)中應(yīng)注重發(fā)展學(xué)生的思維能力，因此高中教師要充分了解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，在學(xué)生已有的知識水平上進(jìn)行設(shè)置問題，適當(dāng)進(jìn)行分層，逐步提高要求，幫助學(xué)生從最近發(fā)展區(qū)進(jìn)入下一個(gè)發(fā)展區(qū)，完成階段性教學(xué)任務(wù).立足學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，學(xué)生對橢圓的定義、方程和幾何性質(zhì)有了一定的了解，筆者借助以下例題設(shè)置問題.

例1 設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：x225+y216=1上一點(diǎn)，則點(diǎn)P與橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長（? ）

A、14??????? B、15

C、16???? D、17

問題1 從問題出發(fā)，焦點(diǎn)三角形的周長表示為PF1+PF2+F1F2，解決這個(gè)問題，關(guān)鍵在于求出PF1+PF2，用到什么知識點(diǎn)？

預(yù)設(shè) 周長為2a+2c=16，

引導(dǎo) 在橢圓中，隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，PF1、PF2的值也隨著變化，但是PF1+PF2的值始終保持不變.

結(jié)論1 設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0）上一點(diǎn)，設(shè)PF1=m，PF2=n，焦點(diǎn)三角形一邊長為焦距，另兩邊的和為定值，故周長為定值2a+2c.

問題2 在例1的基礎(chǔ)上，若延長PF1交橢圓于Q點(diǎn)，則P、Q與橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成的三角形的周長是多少？

預(yù)設(shè) 通過圖形可以看出，此問題實(shí)質(zhì)是研究兩個(gè)焦點(diǎn)三角形，因此周長為4a=20

問題3 在問題2的基礎(chǔ)上，若已知PF2+QF2的值，則PQ的值是多少？

預(yù)設(shè) PQ=4a-（PF2+QF2），學(xué)生可以迅速解決這個(gè)問題.

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”出發(fā)設(shè)置問題，由橢圓的定義易得出結(jié)論，能夠激發(fā)高中生學(xué)習(xí)的興趣.借助例題的分析，從特殊到一般，層層深入，并強(qiáng)調(diào)其本質(zhì)是利用橢圓的定義來探究，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步延伸和拓展;通過問題的設(shè)置，學(xué)生動(dòng)手操練，更是對定義的鞏固和深化，邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)得到了提升，學(xué)生也能感受到獲得知識的喜悅.

3.2 立足問題串導(dǎo)學(xué)，引發(fā)學(xué)生探究

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的深入實(shí)施，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中也充分得到落實(shí).“問題串”教學(xué)法是立足于學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，將一個(gè)比較復(fù)雜的問題分解成幾個(gè)小問題，問題由淺入深、層層遞進(jìn)，通過設(shè)計(jì)這樣一系列相關(guān)聯(lián)的問題來展開教學(xué).當(dāng)然，問題的設(shè)計(jì)要具有一定的啟發(fā)性，能夠帶領(lǐng)高中生逐步思考、積極建構(gòu)，從而鍛煉學(xué)生的思維能力，達(dá)到高效的課堂教學(xué)的目的.

例2 若P是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0上的一點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在X軸上，且∠F1PF2=90°，求ΔF1PF2的面積.

問題4 根據(jù)已知條件，可以利用什么知識來解決？

預(yù)設(shè) 不妨設(shè)PF1=m，PF2=n，根據(jù)定義得m+n=2a，

在ΔF1PF2中，根據(jù)勾股定理得m2+n2=4c2，

綜合以上兩個(gè)式子得，m·n=2b2，因此面積S=12mn=b2.

問題5 在其他條件不變的情況下，把∠F1PF2=90°改為∠F1PF2=60°，又該如何求ΔF1PF2的面積，利用什么知識來解？

預(yù)設(shè) 根據(jù)定義m+n=2a，在ΔF1PF2中，根據(jù)余弦定理得

4c2=m2+n2-2mn·cos60°=m2+n2-mn=（m+n）2-3mn，因此4c2=4a2-3mn

綜合以上兩個(gè)式子得，m·n=43b2，因此面積S=12mn·sin60°=34mn=33b2

問題6 在其他條件不變的情況下，把∠F1PF2=90°改為∠F1PF2=θ，求ΔF1PF2的面積，是否也一樣呢？

師生一起推導(dǎo)：根據(jù)定義得m+n=2a，

在ΔF1PF2中，根據(jù)余弦定理得4c2=m2+n2-2mn·cosθ=（m+n）2-2mn·1+cosθ，

代入得，4c2=4a2-2mn·1+cosθ，得，mn=2b21+cosθ

因此面積S=12mn·sinθ=12·2b21+cosθ·sinθ=b22cos2θ2·2sinθ2cosθ2=b2tanθ2.

結(jié)論2 已知橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，設(shè)焦點(diǎn)三角形ΔF1PF2中，∠F1PF2=θ，則SΔF1PF2=b2tanθ2.特別地，當(dāng)θ=90°時(shí)，SΔF1PF2=b2.

設(shè)計(jì)意圖 精心設(shè)計(jì)問題串，每個(gè)問題層層遞進(jìn)，由淺入深，不斷拓展教學(xué)深度，激發(fā)學(xué)生的積極思考，學(xué)生的思維跟著老師預(yù)設(shè)的方向進(jìn)行，對焦點(diǎn)三角形的有關(guān)知識的理解和運(yùn)用有個(gè)切實(shí)的提高.通過推導(dǎo)直角焦點(diǎn)三角形的面積，推廣到一般角度的三角形的面積，讓學(xué)生體會(huì)焦點(diǎn)三角形的面積跟b以及∠F1PF2有關(guān)，并且得出結(jié)論2中的面積公式，此結(jié)論的給出對學(xué)生在選填題的解題效率上得到了提升，面積問題的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了知識的綜合性，以及由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.通過問題串的設(shè)置，可以有效地檢查高中生對該知識的理解和掌握情況，當(dāng)然要注重問題提出的廣度和深度，才能有效提升高中生的思維能力.借助這一系列問題串的遞進(jìn)，高中學(xué)生的思維不斷打開，讓學(xué)生體會(huì)到解決問題的成就感.

例3 已知點(diǎn)P在橢圓C：x24+y23=1，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求∠F1PF2的最大值.

問題7 ∠F1PF2有最值嗎，若有，何時(shí)取到最值？

預(yù)設(shè)：有最小值為0，根據(jù)對稱性也有最大值.

追問 何時(shí)取到最大值？

教師可以借助畫板軟件動(dòng)態(tài)展示隨著P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，∠F1PF2的變化情況.

預(yù)設(shè) 根據(jù)定義m+n=2a，在ΔF1PF2中，根據(jù)余弦定理得

cos∠F1PF2=m2+n2-4c22mn=

（m+n）2-2mn-4c22mn=6-mnmn=6mn-1

追問 要求∠F1PF2的最大值，只需要求mn的最小值，利用什么知識來解？

預(yù)設(shè) 已知和是定值，積有最大值，可以借助基本不等式來解，因此，mn≤m+n22=4，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=2時(shí)等號成立.此時(shí)，cos∠F1PF2=6mn-1≥12，∠F1PF2≤60°.

結(jié)論3 在橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上任意的一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2最大.

問題8 在橢圓x29+y24=1上，是否存在點(diǎn)P，使得∠F1PF2=90°？

預(yù)設(shè) 根據(jù)結(jié)論3可知，當(dāng)點(diǎn)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，∠F1PF2最大.因此只需知道此時(shí)的角∠F1PF2是銳角、直角還是鈍角即可.

問題9 如何求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)？

引導(dǎo) 點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對值即為焦點(diǎn)三角形的高，故可借助三角形的面積來求.

問題10 點(diǎn)P為以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓x29+y24=1上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是多少？

引導(dǎo) 在問題9求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的基礎(chǔ)上，進(jìn)而得出P的橫坐標(biāo)，結(jié)合結(jié)論3，當(dāng)點(diǎn)P越接近y軸時(shí)角度越大.

設(shè)計(jì)意圖 巧妙設(shè)計(jì)問題串，讓高中生合作探究動(dòng)點(diǎn)的變化過程，進(jìn)而得到最值的位置，培養(yǎng)學(xué)生的自主解決問題的能力，最大限度地提高課堂效率.在學(xué)生探究角度最大的位置，判定∠F1PF2是否是直角、提升到動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，這些問題串的設(shè)計(jì)層層深入，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性.教學(xué)中采用信息技術(shù)輔助教學(xué)，讓學(xué)生感受動(dòng)點(diǎn)的變化和生成過程，進(jìn)一步深化了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想，滲透了直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 結(jié)語

總之，問題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)在高中數(shù)學(xué)習(xí)題課中應(yīng)用比較廣泛，通過問題串，由“點(diǎn)”到“線”，再向“面”展開，可以將一節(jié)課的有關(guān)知識有機(jī)聯(lián)系起來，形成學(xué)生的知識體系.通過課堂教學(xué)實(shí)踐，證明這種方法是行之有效的.而問題的選取和設(shè)置也是至關(guān)重要的，精選例題、合理設(shè)置問題的關(guān)聯(lián)和密度，能夠幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)規(guī)律和本質(zhì)，更大限度地提高課堂教學(xué)效果.

【基金項(xiàng)目：本文系福清市教育科學(xué)研究“十三五”規(guī)劃2020年度課題“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的習(xí)題課教學(xué)策略研究”（FQ2020GH024）的階段性成果.】

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