解一類指數(shù)型不定方程

章啟平

大學(xué)本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，溫州市鹿城區(qū)優(yōu)秀教師，全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽優(yōu)秀教練員，長期從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究，多篇教學(xué)論文在《數(shù)理天地》、《中小學(xué)數(shù)學(xué)》、《中學(xué)生數(shù)學(xué)》、《理科考試研究》等雜志上發(fā)表。

不定方程的整數(shù)解問題涉及數(shù)論方面的諸多知識，其解法更是百花齊放，許多數(shù)學(xué)愛好者都撰文介紹，筆者受益良多.這類方程中，指數(shù)型（指數(shù)含有未知數(shù)）的不定方程解法有一定的難度，很多學(xué)生無從下手，筆者在近期的教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)采用“選模找偶”的辦法解指數(shù)型的不定方程很有效果，這里舉兩例，介紹其解法，供大家參考.

例1 求所有的正整數(shù)x，y，z，使得

3x+4y=5z.

分析 3，4，5是一組非常常見的勾股數(shù)，方程一定存在一組解：x=y=z=2，但是否是唯一的一組就需要通過解方程或是進(jìn)行正整數(shù)解的判斷來說明了.解方程是最直接的方式.解這樣的方程，同樣離不開對原方程的變形，變形的方式通常從等式的性質(zhì)、因式分解等角度入手，而因式分解是解一般不定方程的常用方法，這里也可以采用，注意到，4y=22y，如果5z中的z也是偶數(shù)，則移項(xiàng)4y至等號右邊，可運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解.這里確定z是偶數(shù)可采用同余知識進(jìn)行判斷.

因?yàn)?x≡0（mod3）;

4≡1（mod3）4y≡1（mod3）;

5≡-1（mod3）5z≡（-1）z（mod3）;

所以3z+4y≡1（mod3），

所以5z≡（-1）z≡1（mod3），

所以z是偶數(shù).

具體解法如下：

解 3≡0（mod3）4≡1（mod3）3x≡0（mod3）4y≡1（mod3）

3x+4y≡1（mod3），

而5≡-1（mod3）5z≡（-1）z≡1（mod3），

所以，z是偶數(shù)，設(shè)z=2m（為正整數(shù)），

則3x+4y=5z，可轉(zhuǎn)化為

3x=52m-22y=（5m+2y）（5m-2y）

=3a×3b（a，b為非負(fù)整數(shù)）

5m+2y=3a5m-2y=3b2y+1=3a-3b，

當(dāng)a≥1，b≥1時(shí)，3|（3a-3b），而2y-1不能被3整除，所以a，b中至少有一個(gè)為0，顯然b=0，此時(shí)

x=a.

所以2y+1=3x-1，

又因?yàn)閥≥1，

所以2y+1≡0（mod4）3x≡（-1）x（mod4），

所以3x-1≡（-1）x-1≡0（mod4），

所以，x是偶數(shù)，設(shè)x=2p（p為正整數(shù)），

3p+1=2α3p-1=2β2=2α-2β1=2α-1-2β-1，

上式當(dāng)且僅當(dāng)α-1=1β-1=0時(shí)成立.

所以α=2，β=1y+1=α+β=3y=2，

當(dāng)y=2時(shí)，m=1z=2x=2，

綜上所述：x=2，y=2，z=2.

注 因式分解法是處理不定方程整數(shù)解問題最常用的方法，指數(shù)型不定方程也不例外，但指數(shù)型不定方程中的式子能否進(jìn)行因式分解，指數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵，本例中，利用同余的知識，選取合適的“?！?，判斷出x，z為偶數(shù)，是解題的關(guān)鍵，當(dāng)x，z為偶數(shù)時(shí)，借助平方差公式，對原方程移項(xiàng)后進(jìn)行因式分解，從而解出方程的解.注意到，“?！钡倪x擇非常重要，判斷指數(shù)是偶數(shù)，對于方程ax=b選“?！睉?yīng)遵循ax≡（-1）x（modm），b≡1（modm）的原則，即整數(shù)a對于模m應(yīng)與-1同余，整數(shù)b對于模m應(yīng)與1同余，根據(jù)（-1）x≡1（modm）得x為偶數(shù).原方程3x+4y=5z，兩邊同時(shí)取模4、模3，可分別得x，z為偶數(shù).

例2 是否存在非負(fù)整數(shù)a，b，使得|3a-2b|=41成立？

分析 帶絕對值的代數(shù)問題通常都要進(jìn)行分類討論，本例也不例外，|3a-2b|=41顯然分兩種情況，即3a-2b=41與2b-3a=41;對這兩種情況分別進(jìn)行說明即可.說明一個(gè)不定方程是否有解，從解法上說明最直接，如果有非負(fù)整數(shù)解，就能順利解出，如果無非負(fù)整數(shù)解，解答過程中自然顯現(xiàn).從解法上講，3a與2b是差的形式，如果能判斷a，b均為偶數(shù)，則利用平方差公式分解即可解方程，當(dāng)然，判斷不定方程無整數(shù)解，也可從方程兩邊整數(shù)的性質(zhì)角度說明.

解 ①當(dāng)3a-2b=41時(shí)，顯然

a≥4，b≥6，

因?yàn)?a≡0（mod3）;

2≡-1（mod3）2b≡（-1）b（mod3）;

所以3a-2b≡-（-1）b（mod3），

而41≡-1（mod3），

所以3a-2b≡-（-1）b≡-1（mod3），

所以b為偶數(shù).

又因?yàn)?a≡（-1）a（mod4），

而b>2，

所以2b≡0（mod4），41≡1（mod4），

3a-2b≡（-1）a≡1（mod4），

所以a為偶數(shù).

設(shè)a=2m，b=2n，

3a-2b=4132m-22n=41

（3m+2n）（3m-2n）=41

3m+2n=413m-2n=12n+1=40n無正整數(shù)解.

②當(dāng)2b-3a=41時(shí)，顯然b≥6，a≥2，

對于此方程，采用等式兩邊整數(shù)性質(zhì)不同的方式說明.

假設(shè)存在這樣的正整數(shù)a，b使得方程2b-3a=41成立.

則2b≡0（mod8），

而41≡1（mod8），

所以2b-3a≡1（mod8）3a≡-1≡7（mod8），

因?yàn)?2≡1（mod8），

當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，設(shè)a=2k（k為正整數(shù)），

32k≡1（mod8）;

當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，設(shè)a=2k+1（k為正整數(shù)），

32k+1≡3（mod8），

所以，無論a取何正整數(shù)時(shí)，3a≡7（mod8）不能成立.

綜上所述，不存在非負(fù)整數(shù)a，b，使得|3a-2b|=41成立.

注 根據(jù)方程中數(shù)的特點(diǎn)選擇合適的模，判斷指數(shù)為偶數(shù)仍是解這類方程的有效思路，其基本過程是：選模——找偶——平方差因式分解——得解.思路清晰，過程簡潔.本例中①采用的就是這樣的過程.對于②，利用同余，說明等式兩邊對于模8余數(shù)不同，是說明不定方程無整數(shù)解常用的方法.

指數(shù)型不定方程根據(jù)方程的特點(diǎn)有很多種不同的解法，通過“選模找偶”是眾多解法中一種比較常規(guī)的思維方法，通過判斷指數(shù)為偶數(shù)的特點(diǎn)，利用平方差公式進(jìn)行因式分解是解決問題的關(guān)鍵，看似復(fù)雜的指數(shù)型不定方程，實(shí)際解決過程中需要的數(shù)學(xué)知識并不復(fù)雜.平時(shí)的解題實(shí)踐中，只要我們肯鉆研、勤動腦、善提煉，總會探索出一些潛在的規(guī)律與方法，從而提升我們的解題技巧與解題能力.

練習(xí)

1.求所有的正整數(shù)x，y，z，使得2x+3y=z2.

2.求所有滿足方程8x+15y=17z的正整數(shù)解.

答案

1.x=4，y=2，z=5. 2.x=2，y=2，z=2.