第4屆世界數(shù)學(xué)團體錦標(biāo)賽少年組試題

（2013.11北京）

團體賽

1.下面的公式可以計算某日是星期幾：

S=（x-1）+[x-14]-[x-1100]+[x-1400]+y，

其中，x是年份，y是該年中從元旦起到這一天為止的天數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù).

若S÷7得到的余數(shù)是幾，則該天就是星期幾.如：余數(shù)是0表示星期日，余數(shù)是1表示星期一……余數(shù)是6表示星期六.

問：2011年11月25日是星期幾？（用數(shù)字0～6作答）

2.若t=5-14，求16t5-20t3+5t的值.

3.計算：

412013412013+2+422013422013+2+…+420122013420122013+2.

4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P和四邊形ABCD的頂點坐標(biāo)如圖1所示，若點P繞點A旋轉(zhuǎn)180°得點P1，點P1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得點P2，點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180°得點P3，點P3繞點D旋轉(zhuǎn)180°得點P4，點P4繞點A旋轉(zhuǎn)180°得點P5……如此繼續(xù)下去，求點P2013的坐標(biāo).

5.若關(guān)于x的不等式組3x-a≥05x-b<0的整數(shù)解僅有1和2，求滿足這個不等式組的有序整數(shù)對（a，b）的個數(shù).

6.連接2×3×4的長方體的各頂點，可以組成多少種周長不同的三角形？

7.如圖2，⊙O1和⊙O2交于A，B兩點，⊙O1的弦AC切⊙O2于A點，⊙O2的弦AD切⊙O1于A點，若△ABC與△ABD的面積之比是3∶4，求⊙O1與⊙O2的半徑之比.

8.如圖3，O是坐標(biāo)原點，圖3

A是反比例函數(shù)y=1x（x>0）的圖象上的一點，B是反比例函數(shù)y=-4x（x<0）的圖象上的一點，求△AOB面積的最小值.

9.將自然數(shù)1～10000放在下面的數(shù)表中，從中任意選1個數(shù)，然后刪掉該數(shù)所在的行和列中所有的數(shù)，稱為第1次操作，再從余下的數(shù)中任意選1個數(shù)，又刪掉此數(shù)所在的行和列中所有的數(shù)，稱為第2次操作……如此繼續(xù)下去，當(dāng)進行完第100次操作時，求選出的100個數(shù)的和.

123…99100

101102103…199200

201202203…299300

………………

980198029803…98999900

990199029903…999910000

10.如圖4，△OAB和△BCD都是等邊三角形，并且點A（3，3）和點C都在函數(shù)y=kx（x>0）的圖象上，點B和點D都在x軸上，求點D的坐標(biāo).

11.若六位數(shù)的數(shù)字和為23，并且每個數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，求滿足題意的六位數(shù)的個數(shù).

12.如圖5，兩個相同的扇形內(nèi)各有一個正方形A和B，若扇形的圓心角是60°，求B和A的面積比.（結(jié)果要求最簡）

13.如圖6，正方形ABCD的邊長為4，將它的左下方折起，使D點與AB的中點E重合，得到折痕MN，C點落在F點，EF交BC于點P.求PN的長.

14.點O是圖7中的坐標(biāo)原點，折線ADC將△AOB的面積二等分.已知點A（3，8），D（8，2），C（2，0），求點B的坐標(biāo).

15.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=3，求a4+b4+c4的值.

16.已知在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是正整數(shù)）與x軸有兩個不同的交點A（x1，0），B（x2，0）.若|x1|與|x2|都大于1，求abc的最小值.

17.如圖8，在梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠D=60°，AB=1，DC=3，點P在梯形內(nèi)，求PA>AB且PD>DC的概率.（π取3）

18.如圖9，在梯形ABCD中，DA∥CB，∠A=90°，BD平分∠ABC，∠DCB的平分線CE交AB于點E，若AE∶EB=1∶7，BC=7，求梯形ABCD的面積.

19.已知⊙O的半徑為7，弦AB的長為10，長為4的弦MN在圓上移動，求四邊形AMNB的最大面積.

20.從長為1，2，3，4，5，6的線段中選出不同長度的4條線段，可以組成多少種不同的梯形？（能夠完全重合的兩個梯形視為同一種梯形）

接力賽

1A.小明和小虎從A地同時出發(fā)前往B地，小明的速度比小虎的速度快10%，小明比小虎早10 min到達B地.求小虎從A地到B地用多少分鐘.

1B.設(shè)前面隊友傳來的答案是T.

關(guān)于x的一元二次方程x2+3nx+2n2=n+1的兩個根分別記為an，bn（n是大于1的自然數(shù)）.

求1（a2-1）（b2-1）+1（a3-1）（b3-1）+…+1（aT-1）（bT-1）的值.

2A.乘積539×422的結(jié)果是幾位數(shù)？

2B.設(shè)前面隊友傳來的答案是T.

0

如圖10，已知△ABC的三條邊長都是小于T的整數(shù)，CD是邊AB上的高，并且

AC·CB=AB·CD，

AB+AC=2BC，

求這樣的三角形的個數(shù).

3A.定義：橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點.

求以原點為圓心，2為半徑的圓的內(nèi)接正方形所覆蓋的整點個數(shù)的最大值.

3B.設(shè)前面隊友傳來的答案是T.

1

如圖11所示的△ABD，△BCD和△ACD的面積分別為9，17和T，求△DEC的面積.

個人賽

1.周長是15，邊長是自然數(shù)的三角形有幾個？（能夠完全重合的兩個三角形視為同一種三角形）

2.若2x+3y-2z=0，2x-3y+4z=0，求分式（3x-2y）2-（3y-5z）2（3x-2y）（3y-5z）的值.

3.在△ABC中，AB=AC=5+1，∠B=72°，求BC的長.

2

4.如圖12，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AC=20，P是AC上的動點，PE⊥BC于點E，PF⊥AB于點F， 求矩形BEPF面積的最大值.

3

5.如圖13，點E，F(xiàn)在正方形ABCD的邊上，并且AE=2ED，DF=2FC，AF交BE于點G.求AG∶GF.（結(jié)果化簡成最簡分?jǐn)?shù)）

6.求方程x2-y2-x-5y+6=0的正整數(shù)解（x，y）.

7.如圖14，有8個木塊：2個木塊的每個面上寫著“”， 2個木塊的每個面上寫著“”， 2個木塊的每個面上寫著“”， 2個木塊的每個面上寫著“”.從這8個木塊中取出4個，求組成“”的概率.（結(jié)果化簡成最簡分?jǐn)?shù)）

4

8.關(guān)于x的方程|x2-mx|=1恰有3個不同的實數(shù)根，求m的值.

5

9.如圖15，已知正九邊形的邊長為1，求兩條對角線的長度的差的最大值.

10.將從1開始的100個自然數(shù)分成A，B兩組，其中30在A組，現(xiàn)將30移入B組，兩組數(shù)的平均數(shù)都比原來大05.問：A組現(xiàn)有多少個數(shù)？

11.已知非零實數(shù)x和y滿足|x|+y=2和|x|y+x3=0，求y的值.

12.已知實數(shù)x，y，z滿足

2x3=3y3=4z3

32x2+3y2+4z2=2+312+316.

xyz>0①②③

求1x+1y+1z的值.

13.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊的長分別是a，b，c，若ab=a+ba+b+c，并且∠A=30°，求∠B的度數(shù).

14.已知a1，a2，…，a30這30個數(shù)只能從-2，0，1中取值，如果

a1+a2+…+a30=-18，

（a1-1）2+（a2-1）2+…+（a30-1）2=126.

求：在a1，a2，…，a30中，取值為-2的數(shù)有多少個？

15.能表示為兩個不同正整數(shù)的平方和的數(shù)稱為“希望數(shù)”，如：5和34都是“希望數(shù)”，因為5=12+22，34=32+52.

問：在1到100的自然數(shù)中，有多少個“希望數(shù)”？

16.已知點P在拋物線y=14x2上，且此拋物線與直線y=-12x+6交于A，B兩點，若△ABP為直角三角形，求點P的坐標(biāo).

參考答案

團體賽

1.答案：星期5.

解：依題意，知道

S=2010+[20104]-[2010100]+[2010400]+329

=2010+502-20+5+329

=2826，

S7=28267=403……5.

所以2011年11月25日是星期5.

2.答案：1.

解法1：16t5-20t3+5t

=t（16t4-20t2+5）

=t[（2t）4-5（2t）2+5]

=5-14·[（2·5-14）4-5（2·5-14）2+5]

=5-14（5+1）=1.

解法2：用公式：

sin 5θ=16sin5θ-20sin3θ+5sin θ.

當(dāng)θ=18°時，

sin 5θ=sin 90°=1，

sin θ=sin 18°=5-14，

所以，待求式的值=1.

這里，sin18°的值可用以下方法求出：

因為cos 54°=sin 36°，

即4cos318°-3cos 18°=2sin 18°cos 18°，

4sin218°+2sin 18°-1=0，

得sin 18°=5-14.

3.答案：1006.

解：觀察原式，每個分?jǐn)?shù)都可以表示成4x4x+2的形式.

考慮由左向右第一項和由右向左第一項的和，由左向右第二項和由右向左第二項的和，一般地，也就是由左向右第k項與由右向左第k項的和，注意到

4x4x+2+41-x41-x+2

=4+2·4x+4+2·41-x4+2·4x+2·41-x+4=1，

所以 原式

=（412013412013+2+420122013420122013+2）+（422013422013+2+420112013420112013+2）

+…+（410062013410062013+2+410072013410072013+2）

=1+1+…+11006個=1006.

4.答案：（4，1）.

解：由圖16可知，點A，B，C，D，P的坐標(biāo)依次是（2，2），（4，0），（1，-2），（-1，0），（0，3）.

6

由點P繞點A旋轉(zhuǎn)180°，得點P1，其坐標(biāo)為（4，1）;

由點P1繞點B旋轉(zhuǎn)180°，得點P2，其坐標(biāo)為（4，-1）;

由點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180°，得點P3，其坐標(biāo)為（-2，-3）;

由點P3繞點D旋轉(zhuǎn)180°，得點P4，其坐標(biāo)為（0，3），

顯然點P4與點P重合，

于是有點P5與點P1重合，

點P6與點P2重合，

點P7與點P3重合，

點P8與點P重合，

……

又2013÷4=503……1，

所以點P2013的坐標(biāo)與點P1的坐標(biāo)相同，即為（4，1）.

5.答案：15.

7

解：由不等式組

3x-a≥05x-b<0，

得a3≤x

又不等式組3x-a≥05x-b<0的整數(shù)解僅有1和2，可在數(shù)軸上表示出這個不等式組的解，如圖17.

由圖不難看出0

2

由①，得0

所以a=1，2，3.

由②，得10

所以b=11，12，13，14，15.

由上可知，滿足題意的a的整數(shù)值有3個， b的整數(shù)值有5個，所以滿足這個不等式組的有序整數(shù)對（a，b）的個數(shù)是

3×5=15.

6.答案：7.

解：用字母標(biāo)注長方體的各頂點，如圖18.圖18

因為長方體的長、寬、高分別為2，3，4， 根據(jù)勾股定理可求得

三條面對角線的長分別為

22+32=13，

32+42=5，

22+42=25，

體對角線的長為

22+32+42=29.

可分以下三種情況分析：

（1）由長方體的兩條棱和一條面對角線可組成3種周長不同的三角形，如：

△ABE的周長 L=3+4+5=12，

△ADE的周長L=2+4+25=6+25，

△ABC的周長L=2+3+13=5+13.

（2）由長方體的一條棱、一條面對角線和一條體對角線也可組成3種周長不同的三角形，如：

△ACE的周長 L=4+13+29，

△AFD的周長L=2+5+29=7+29，

△ABG的周長L=3+25+29.

（3）由長方體的三條面對角線只能組成1種三角形，如：

△ACF的周長 L=5+25+13.

綜上，一共可組成7種周長不同的三角形.

7.答案：32.

9

解：設(shè)⊙O1與⊙O2的半徑分別為R1和R2，從A點分別作兩圓的直徑AE和AF，連接CE和DF，如圖19.

因為AD和AC分別切⊙O1和⊙O2于點A，

所以AE⊥AD，AF⊥AC，

則∠EAD=∠FAC=90°，

由弦切角定理知

∠1=∠ACB，∠2=∠ADB，

所以△ABC∽△DBA.

因為AE，AF分別是⊙O1與⊙O2的直徑，

所以∠ACE=∠ADF=90°，

又∠EAC=90°-∠CAD=∠FAD，

所以△ACE∽ △ADF，

于是AC∶AD=AE∶AF

=（2R1）∶（2R2）

=R1∶R2，

又S△ABC∶S△ABD=AC2∶AD2，

所以S△ABC∶S△ABD=R21 ∶R22 .

又因為S△ABC∶S△ABD=3∶4，

故R1∶R2=32.

0

8.答案：2.

解：從點A作AA1⊥x軸于點A1，從點B作BB1⊥x軸于點B1，如圖20.

用S1，S2，S3，S4依次表示△OAA1，△OBB1，△OAB和梯形AA1B1B的面積.

由反比例函數(shù)的性質(zhì)，可知

S1=12xA·yA=12，

S2=12xB·yB=2，

則S3=S4-S1-S2.

設(shè)OA1=a（a>0），OB1=b（b>0），則

AA1=1a，BB1=|-4b|=4b.

所以S3=12（1a+4b）（a+b）-12-2

=12（1+4+ba+4ab）-52

=12（ba+4ab）

=12·（b2+4a2-4ab）+4abab

=12·（b-2a）2ab+2.

因為a>0，b>0，

所以，當(dāng)（b-2a）2=0，即b=2a時，△OAB的面積最小，最小值是2.

9.答案：500050.

解：觀察題設(shè)數(shù)表中數(shù)的特點，可將題設(shè)數(shù)表中的數(shù)表示成以下兩個數(shù)表中在同一位置的兩數(shù)之和，即

123…99100

123…99100

123…99100

………………

123…99100

123…99100

000…00

100100100…100100

200200200…200200

………………

980098009800…98009800

990099009900…99009900

因為選出的100個數(shù)既不在同一行，也不在同一列，所以它們的和是

（1+2+…+100）+（0+100+…+9900）

=500050.

10.答案：（26，0）.

1

解：因為點A（3，3）在函數(shù)y=kx（x>0）的圖象上，所以點A的坐標(biāo)滿足函數(shù)式，

于是3=k3，

解得k=33.

分別從點A，C作x軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，如圖21.

易知OE=3，AE=3.

設(shè)BF=a， 則CF=3a，

所以點C的坐標(biāo)為（23+a，3a）.

由點C在函數(shù)y=33x（x>0）的圖象上，知點C的坐標(biāo)滿足函數(shù)式，即

3a（23+a）=33，

解得a1=6-3，

a2=-3-6（舍去），

所以點D的橫坐標(biāo)為

23+2a=23+2（6-3）=26.

故點D的坐標(biāo)為（26，0）.

11.答案：300.

解：因為小于10的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，并且6個質(zhì)數(shù)的和是23，所以6個質(zhì)數(shù)中至少有一個是2，則另外5個質(zhì)數(shù)的數(shù)字和是21.

以下分兩種情況：

（1）如果5個數(shù)字中含有7，因為不可能有3個7，所以可能的情形是：

7，7，3，2，2，2，這時一共有6！3！·2！=60（種）;

7，5，5，2，2，2，這時一共有6！3！·2！=60（種）;

7，5，3，3，3，2，這時一共有6！3！=120（種）.

（2）如果5個數(shù)字中不含7， 則可能的情形只能是：

5，5，5，3，3，2，這時一共有6！3！·2！=60（種）.

故這樣的六位數(shù)一共有

60+60+60+120=300（個）.

12.答案：8-333.

解：設(shè)正方形A和B的邊長分別是a和b，扇形的半徑是r.

2

如圖22，在Rt△OMN中，

MN=a，∠MON=60°，

所以O(shè)N=MN÷tan 60°=33a.

由勾股定理，得

r2=a2+（a+33a）2=7+233a2.

3

如圖23，在等邊三角形△OPQ中，PQ=b，∠POQ=60°，所以

OK=OQ·sin 60°=32b.

由勾股定理，得

r2=（12b）2+（b+32b）2

=（2+3）b2.

故正方形B和A的面積比是

b2a2=7+2332+3=8-333.

13.答案：56.

解：設(shè)AM=m，MD=4-m.參照原題圖6，在Rt△AME中，由勾股定理得

ME2=AE2+AM2，

又MD=ME，

所以（4-m）2=22+m2，

解得m=32.

由折疊條件知

∠MEP=∠D=90°，

于是∠AEM+∠BEP=90°.

又∠BEP+∠BPE=90°，

所以∠AEM=∠BPE.

又∠A=∠B=90°，

所以Rt△AEM∽Rt△BPE，

于是AEAM=BPBE，①

由①，得2m=BP2，

從而BP=4m=83.

在Rt△EBP中，

EP2=BE2+BP2=22+（83）2

=1009，

所以EP=103，

于是PF=EF-EP

=DC-EP

=4-103

=23.

因為∠BPE=∠FPN，

∠B=∠PFN=90°，

所以Rt△BPE∽Rt△FPN，

于是BPPE=FPPN，②

由②，得83103=23PN，

故PN=2×53×4=56.

4

14.答案：（312，0）.

解法1：連接AC，作DE∥AC，DE交x軸于點E，如圖24.

由DE∥AC，

得S△ADE=S△CDE.

設(shè)直線AC的方程為

y=kACx+b，

則kAC=8-03-2=8，

因為DE∥AC，

所以kDE=kAC=8，

于是直線DE的方程為

y=8x-62.

令y=0，得

E點的橫坐標(biāo)是314，

由題設(shè)條件知點E是OB的中點，所以

xB=2xE=2×314=312.

故點B的坐標(biāo)是（312，0）.

解法2：分別從點A和點D作OB的垂線，垂足分別為點A′和D′，如圖25.可知

S四邊形OADC=S△OAA′+S梯形ADD′A′-S△CDD′

=12×3×8+12×（2+8）×（8-3）

-12×（8-2）×2

=12+25-6

5

=31.

設(shè)點B的坐標(biāo)為（b，0），由

S四邊形OADC=12S△AOB

知S△AOB=2×31=62.

又因為S△AOB=12·b·8，

所以12·b·8=62.

解得b=312.

故點B的坐標(biāo)是（312，0）.

15.答案：92.

解：由a+b+c=0，a2+b2+c2=3，得

a+b=-c，（a+b）2=（-c）2=c2，

于是2ab=c2-（a2+b2）

=c2-（3-c2）

=2c2-3，

所以ab=c2-32.

a2b2=（c2-32）2=c4-3c2+94，①

同理，得b2c2=a4-3a2+94，②

c2a2=b4-3b2+94，③

又a4+b4+c4

=（a2+b2+b2）2-2（a2b2+b2c2+c2a2），④

將①、②、③及a2+b2+c2=3一起代入到④中，則得

a4+b4+c4

=32-2[a4+b4+c4-3（a2+b2+c2）+274]

=9-2（a4+b4+c4）+2×3×3-272

=272-2（a4+b4+c4），

解得a4+b4+c4=92.

16.答案：25.

解：由題意知，x1，x2是方程ax2+bx+c=0的兩個根，根據(jù)韋達定理，有

x1+x2=-ba<0

x1x2=ca>0，

所以x1<0，x2<0.

因為拋物線與x軸有兩個不同的交點，

所以Δ=b2-4ac>0.

又因為b是正整數(shù)，所以

b>2ac.①

因為|x1|與|x2|都大于1，

所以x1<-1，x2<-1.

于是ca=x1x2>1，

得c>a.②

因為a≥1>0，故拋物線開口向上，且當(dāng)x=-1時，y=a-b+c>0，即

a+c>b.

又因為a，b，c是正整數(shù)，所以

a+c≥b+1，

由①，得a+c>2ac+1，

（a-c）2>1.

由②，得c-a>1.

即c>a+1.

所以c>（a+1）2≥4.

于是c≥5.

又b>2ac≥21×5>4，

所以b≥5.

當(dāng)a=1，b=c=5時，abc取得最小值，故

abcmin=25.圖26

17.答案：24-11324.

解：從點A作AE⊥DC于點E，如圖26.

易知EC=AB=1，

于是DE=DC-EC

=3-1

=2.

已知∠D=60°，

∠E=90°，

所以∠DAE=30°，

AD=2DE=4.

在AD上截取AF=AB=1，則DF=3.

以A為圓心，1為半徑畫FB，又以D為圓心，3為半徑畫FC，則在已知的梯形內(nèi)，扇形ABF和扇形DFC以外的部分的點可以滿足PA>AB及PD>DC，所以待求的概率是

S陰影S梯形ABCD=S梯形ABCD-S扇形BAF-S扇形FDCS梯形ABCD

=1-1S梯形ABCD（13·π·12+16·π·32）

=1-116π·112（1+3）·23

=72-113π72

=24-11324.

18.答案：22.

解法1：延長DA，CE，交于點F，如圖27.

7

因為DA∥CB，

可得AFCB=AEEB=17，

因為BC=7，

所以AF=AEEB·CB=1.

因為DA∥CB，

所以∠F=∠2，

因為CE平分∠DCB，

所以∠1=∠2，

于是∠F=∠1，

所以DC=DF=DA+AF.①

又作DG⊥CB于點G.因為DB平分∠ABC，由角平分線的性質(zhì)，得

AD=DG.

又因為∠DAB=∠ABC=∠DGB=90°，

所以，四邊形ABGD是正方形.

設(shè)AD=DG=x，則由①，得

DC=DA+AF=1+x，

CG=CB-GB=7-x.

在Rt△CDG中，

CD2=CG2+DG2，

即（1+x）2=（7-x）2+x2.

整理，得x2-16x+48=0

解得x=4或x=12（12>7，舍去）

所以梯形ABCD的面積為

12（7+x）·x=22.

8

解法2：從點D作DG⊥BC于點G.如圖28.因為∠A=90°，BD平分∠ABC，由角平分線的性質(zhì)，得

DA=DG，

又因為DA∥CB，

所以，四邊形ABGD是正方形.

延長BA，CD交于點F.設(shè)AE=x，則

EB=7x，AB=AD=BG=DG=8x.

由AD∥BC，得

△FAD∽△DGC，

所以FADG=DACG，

于是FA=DACG·DG=DA·DGCB-GB

=8x·8x7-8x=64x27-8x.

因為CE平分∠BCD，由角平分線的性質(zhì)定理，得

CFCB=EFBE，

則CF=EFBE·BC=7（x+64x27-8x）7x

=56x+77-8x.

在Rt△FBC中，由勾股定理，得

BC2+BF2=CF2，

即49+（64x27-8x+8x）2=（56x+77-8x）2，

整理，得4x2-8x+3=0，

解得x=12或x=32

（此時FA=64x27-8x<0，舍去）.

所以梯形ABCD的面積為

12（7+8x）·8x=22.

19.答案：215+146.圖29

解：在優(yōu)弧上取點P，分別連接OA，OP，OM，ON，OB，并作弦PA=MN，再連接PN和PB，如圖29.

因為S四邊形AMNB=S△AOM+S△MON+S△NOB+S△BOA，

由弦AB和MN是定長，可知S△MON和S△BOA是定值，所以要使S四邊形AMNB最大，只需使

S△AOM+S△NOB①

最大.

由PA=MN，可知

∠MON=∠POA，

∠MOA=∠NOP，

S△AOM=S△NOP，

于是，①可以寫成

S△NOP+S△NOB，②

所以，要使①最大，就是使②最大.注意到S△POB是定值，并且

②+S△POB=S△PNB，

所以，使②最大，就是要使S△PNB最大，此時，點N應(yīng)當(dāng)是弦PB的中垂線與⊙O的交點，于是必有

∠BON=∠NOP=∠MOA，

由①的對稱性可知，必有MN∥AB，

此時，S四邊形AMNB最大，這個值是

S=12（MN+AB）hMN與AB之距

=12（4+10）（72-22+72-52）

=215+146.

20.答案：28.

解：設(shè)梯形上底長為a，下底長為b，兩腰的長分別是c和d，過上底的右頂點作左腰的平行線，則長為c，d，（b-a）的三條線段能構(gòu)成三角形，如圖30.

0

不妨設(shè)a

（1）當(dāng)a=6時，長為6的線段最長，它不能作為梯形的上底，所以沒有滿足條件的梯形.

（2）當(dāng)a=5時，因為b>a，所以若b=6，則b-a=1，其他4條線段是1，2，3，4.易知1和這4條線段中的任意2條都不能構(gòu)成三角形，所以沒有滿足條件的梯形.

（3）當(dāng)a=4時，因為b>a，所以

若b=5，則b-a=1，其他4條線段是1，2，3，6.易知1和這4條線段中的任意2條都不能構(gòu)成三角形.

若b=6，則b-a=2，其他4條線段是1，2，3，5，于是c和d可以選1和2，或2和3.

滿足條件的梯形有2種.

（4）當(dāng)a=3時，因為b>a，所以

若b=4，則b-a=1，其他4條線段是1，2，5，6.易知1和這4條線段中的任意2條都不能構(gòu)成三角形.

若b=5，則b-a=2，其他4條線段是1，2，4，6，于是c和d可以選1和2.

若b=6，則b-a=3，其他4條線段是1，2，4，5，于是c和d可以選2和4，或4和5.

滿足條件的梯形有3種.

（5）當(dāng)a=2時，因為b>a，所以

若b=3，則b-a=1，其他4條線段是1，4，5，6.易知1和這4條線段中的任意2條都不能構(gòu)成三角形.

若b=4，則b-a=2，其他4條線段是1，3，5，6，于是c和d可以選5和6.

若b=5，則b-a=3，其他4條線段是1，3，4，6，于是c和d可以選1和3，或3和4，或4和6.

若b=6，則b-a=4，其他4條線段是1，3，4，5，于是c和d可以選1和4，或3和4，或3和5，或4和5.

滿足條件的梯形有8種.

（6）當(dāng)a=1時，因為b>a，所以

若b=2，則b-a=1，其他4條線段是3，4，5，6.易知1和這4條線段中的任意2條都不能構(gòu)成三角形.

若b=3，則b-a=2，其他4條線段是2，4，5，6，于是c和d可以選4和5，或5和6.

若b=4，則b-a=3，其他4條線段是2，3，5，6，于是c和d可以選2和3，或3和5，或5和6.

若b=5，則b-a=4，其他4條線段是2，3，4，6，于是c和d可以選2和3，或2和4，或3和4，或3和6，或4和6.

若b=6，則b-a=5，其他4條線段是2，3，4，5，于是c和d可以選2和4，或2和5，或3和4，或3和5，或4和5.

滿足條件的梯形有15種.

綜上，滿足條件的梯形有

2+3+8+15=28（種）.

接力賽

1A.答案：110.

解：設(shè)小虎的速度為v m/min，他從A地到B地用t min，則小明的速度為v（1+10%）m/min，他從A地到B地用（t-10）min.

根據(jù)兩人所走過的路程相等，列方程得

v（1+10%）·（t-10）=vt，

整理，得v（1.1t-11）=vt，

由于v≠0，所以上式兩邊同除以v，得

1.1t-11=t，解得t=110，

因此，小虎從A地到B地用110 min.

1B.答案：109444.

解：將方程x2+3nx+2n2=n+1化為標(biāo)準(zhǔn)形式，得

x2+3nx+（2n2-n-1）=0，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

an+bn=-3n，

an·bn=2n2-n-1，

所以 ?（an-1）（bn-1）

=anbn-（an+bn）+1

=（2n2-n-1）-（-3n）+1

=2n2+2n

=2n（n+1），

于是1（an-1）（bn-1）

=12n（n+1）=12（1n-1n+1），

所以 ?1（a2-1）（b2-1）+1（a3-1）（b3-1）+…+1（aT-1）（bT-1）

=12[（12-13）+（13-14）+…+（1T-1T+1）]

=12（12-13+13-14+…+1T-1T+1）

=12（12-1T+1）.

由前一位隊友傳來的答案T=110，得

1（a2-1）（b2-1）+1（a3-1）（b3-1）

+…+1（aT-1）（bT-1）

=12（12-1T+1）

=12（12-1111）

=109444.

2A.答案：41.

解：539×422=539×244

=（539×239）×25

=1039×32.

因為1039是39位數(shù)（1后面，有39個0），所以，乘積539×422的位數(shù)是39+2=41.

2B.答案：8.

解：參照原題圖1，因為

S△ABC=12AC·BC·sin∠ACB

=12AB·CD，①

已知AC·BC=AB·CD，②

由①、②，得sin∠ACB=1，

所以∠ACB=90°.

在Rt△ABC中，

BC2=AB2-AC2

=（AB+AC）（AB-AC），③

由題設(shè)知AB+AC=2BC，④

由③、④，得BC2=2BC·（AB-AC），

所以BC=2（AB-AC）.⑤

聯(lián)立④、⑤，解得

AB=54BC， AC=34BC，

所以AB∶BC∶AC=5∶4∶3.

設(shè)AB=5k，則

BC=4k，AC=3k，

由△ABC的三條邊長都是小于T的整數(shù)，知3k，4k，5k都是正整數(shù)，又因為3，4，5互質(zhì)，所以

k是正整數(shù)，

由△ABC的三條邊長都是小于T的整數(shù)，得

1≤5k

又由前一位隊友傳來的答案，知T=41，

所以15≤k<415，

故正整數(shù)k的取值是1，2，3，4，5，6，7，8，共8個，

于是△ABC的三條邊長的取值有8種，

因此，滿足題意的三角形共有8個.

3A.答案：13.

解：以原點為圓心，2為半徑的圓的內(nèi)部（含圓上的點）共有13個整點，如圖31.

在圖4中，以原點為圓心，2為半徑的圓的內(nèi)接正方形所覆蓋的整點個數(shù)是13，

所以以原點為圓心，2為半徑的圓的內(nèi)接正方形所覆蓋的整點個數(shù)的最大值是13.

1

3B.答案：8.5.

解：設(shè)S△DEC=x，則

S△BCE=S△BCD-S△DEC=17-x，①

S△AED=S△ACD-S△DEC=T-x，②

于是S△ABE=S△ABD-S△AED

=9-（T-x）

=9-T+x，③

由等高三角形的面積比等于底邊的比，知

S△ABES△BCE=AEEC=S△AEDS△DEC，④

將①、②、③代入④，得

9-T+x17-x=T-xx，

化簡，得26x=17T，

由前一位隊友傳來的答案，知T=13，

所以26x=17×13，

解得x=8.5，

即S△DEC=8.5.

個人賽

1.答案：7.

解：設(shè)m，n，p是三角形的三邊長，且m≤n≤p，則

m+n+p=15.

m5341234

n5657654

p5667777

故以m，n，p為邊長的三角形有7個.

2.答案：3328.

解法1：由2x+3y-2z=02x-3y+4z=0，可用x表示y和z，得

y=z=-2x，

于是 ?（3x-2y）2-（3y-5z）2（3x-2y）（3y-5z）

=3x-2y3y-5z-3y-5z3x-2y

=3x-2（-2x）3（-2x）-5（-2x）-3（-2x）-5（-2x）3x-2（-2x）

=7x4x-4x7x

=3328.

解法2：由 2x+3y-2z=02x-3y+4z=0，①②

①+②，得4x+2z=0，

即x=-12z，

①-②，得6y-6z=0，

即y=z，

于是3x-2y=-32z-2z=-72z，

3y-5z=3z-5z=-2z，

從而（3x-2y）2-（3y-5z）2（3x-2y）（3y-5z）

=（-72z）2-（-2z）2（-72z）（-2z）=3328.

3.答案：2.

2

解：如圖32，作BP平分∠ABC，交AC于點P，則

∠1=∠2=12∠ABC=36°.

又由AB=AC，∠ABC=72°，

知∠A=180°-2∠ABC=36°，

所以△ABC∽△BPC，

則ACBC=BCPC，

即BC2=AC·PC，

所以BC2=AC（AC-AP）.①

注意到由∠1=∠A，知

AP=PB=BC.

設(shè)BC為x，則由①得

x2=（5+1）（5+1）-x，

即x2-（5+1）x-（5+1）2=0，

解得x=2或x=-3-5（舍去）.

4.答案：253.

解：參照原題圖1，因為

∠B=90°，∠A=30°，AC=20，

所以BC=12AC=10，

AB=AC2-BC2=202-102=103.

設(shè)BE=FP=x.因為∠B=90°，PF⊥AB，所以

△AFP∽△ABC，

所以AFFP=ABBC=10310=3，

則AF=3x，

BF=103-3x，

于是 S矩形BEPF=BE·BF

=x·（103-3x）

=-3x2+103x

=-3（x-5）2+253

≤253，（當(dāng)x=5時，取等號）

故矩形BEPF的面積最大為253.

5.答案：67.

3

解：如圖33，分別延長BE和CD，交于點P.

設(shè)正方形ABCD的邊長為3，則

AE=DF=2，DE=1.

由∠EDP=∠C=90°，知

Rt△PED∽Rt△PBC，

于是PDPC=EDBC，

即PDPD+DC=13，

亦即PDPD+3=13，

解得PD=1.5.

由AB∥PC，∠AGB=∠FGP，知

△ABG∽△FPG，

于是AGFG=ABFP

=ABPD+DF

=31.5+2

=67.

6.答案：（6，4）或（1，1）.

解：經(jīng)過配方，原方程即

（x-12）2-（y+52）2+12=0，

亦即（x+y+2）（x-y-3）=-12.

因為x，y都是正整數(shù)，

所以x+y+2≥4.

又因為-12=12×（-1）

=6×（-2）

=4×（-3），

于是可得下表：

x+y+21264

x-y-3-1-2-3

x62.51

y41.51

由上表知方程x2-y2-x-5y+6=0的正整數(shù)解是（6，4）或（1，1）.

7.答案：835.

解：因為從8個木塊中取出1個，有8種取法;從剩下的7個中取1個，有7種方法;從剩下的6個中取1個，有6種取法;從剩下的5個中取1個，有5種取法，所以從8個木塊中取4個，取法共有

8×7×6×5=1680（種）.

因為從8個木塊中任意取出1個，有8種取法;從剩下的7個中取出1個不同于第一次的，有6種方法;從剩下的6個中取1個不同于前兩次的，有4種取法;從剩下的5個中取1個不同于前三次的，有2種取法，所以從8個木塊中取出4個，可組成的情形，共

8×6×4×2=384（種）.

故從8個木塊中取出4個木塊，可組成的概率是

3841680=1670=835.

8.答案：±2.

解：方程x2-mx=1

即x2-mx=1，①

或x2-mx=-1.②

顯然，不存在同時滿足①和②的x，所以①和②沒有相同的根.

對于①，有Δ1=m2+4>0，

所以①有2個不等的實數(shù)根.

又因為方程x2-mx=1有3個不同的實數(shù)根，所以②只能有2個相等的實數(shù)根，于是

Δ2=m2-4=0，

所以m=±2.

9.答案：1.

4

解：如圖34，AE是最長的對角線，BD是最短的對角線.

作BM⊥AE于M，DN⊥AE于N.

因為正九邊形的一個內(nèi)角

∠BCD=180°-360°÷9

= 140°，

所以? ∠CBD=∠CDB=（180°-140°）÷2

=20°.

由軸對稱性知BD∥AE，

則∠ABM=140°-90°-20°=30°，

在Rt△ABM中AM=12，

同理，在Rt△DNE中

NE=12DE=12，

故正九邊形的對角線的差的最大值是

AE-BD=AM+NE=1.

10.答案：70.

解：設(shè)原來A組中有m（m>1）個數(shù)，平均數(shù)是a;則原來B組中有（100-m）個數(shù)，平均數(shù)是b.這100個數(shù)的和是

am+b（100-m）=1+2+3+…+100

=5050.①

將30從A組移入B組，則此時A組數(shù)的平均數(shù)是am-30m-1，B組數(shù)的平均數(shù)是

b（100-m）+30100-m+1.

因為兩組數(shù)的平均數(shù)都比原來大05，

所以am-30m-1-a=0.5

b（100-m）+30100-m+1-b=0.5，

化簡得a=0.5m+29.5b=0.5m-20.5，②③

將②和③代入①，解得

m=71，

所以，現(xiàn)在A組中的數(shù)有

71-1=70（個）.

11.答案：1.

解法1：由|x|+y=2，得

y=2-|x|，①

將①代入到|x|y+x3=0，得

x3-x2+2|x|=0.②

（1）當(dāng)x>0時，②式即

x3-x2+2x=0，

亦即x（x2-x+2）=0，

因為x>0，

所以x2-x+2=0，

因為Δ=（-1）2-4×2=-7<0，

所以此方程無實根.

（2）當(dāng)x<0時，②式即

x3-x2-2x=0，

亦即x（x2-x-2）=0，

于是x2-x-2=0，

解得x=-1或x=2（舍），

于是y=2-|x|=2-1=1.

解法2：由|x|+y=2，得

y=2-|x|，①

由|x|y+x3=0，得

y=-x3|x|.②

5

分別作出這兩個函數(shù)的圖象，如圖35，于是兩個函數(shù)的圖象的交點的縱坐標(biāo)就是所求的y的值.

解得y=1.

12.答案：12.

解：設(shè)2x3=3y3=4z3=m，則

②式的等號左側(cè)

32x2+3y2+4z2=3mx+my+mz，

②式的等號右側(cè)

2+312+316=34（3mx3+3my3+3mz3），

所以3mx+my+mz

=34（3mx3+3my3+3mz3），

即3m·31x+1y+1z

=3m[34（1x+1y+1z）]，

31x+1y+1z=34（1x+1y+1z）.

于是1x+1y+1z=4（1x+1y+1z）3，

得（1x+1y+1z）[4（1x+1y+1z）2-1]=0，

因為xyz>0，

所以1x+1y+1z≠0

故得1x+1y+1z=12.

13.答案：60°.

解：因為ab=a+ba+b+c，

所以由合比定理得

ab=-a-b=a+b-aa+b+c-b=ba+c.（*）

延長CB至D，使BD=AB，連接AD，如圖36，于是有

CD=CB+BD圖36

=a+c.

所以（*）式即

BCAC=ACDC，

又因為在△ABC與△DAC中，∠C為公共角，所以

△ABC∽△DAC，

于是∠BAC=∠D.

因為∠BAD=∠D，

所以∠ABC=∠D+∠BAD

=2∠D

=2∠BAC.

由題設(shè)∠BAC=30°，得

∠ABC=2×∠BAC=60°.

14.答案：13.

解：設(shè)有x個-2，y個0，z個1，則由題設(shè)可得

x+y+z=30-2x+0·y+1·z=-18（a21+a22+…+a230）-2（a1+a2+…+a30）+30=126，①②③

其中②即2x-z=18，④

③即x·（-2）2+y·02+z·12-2·（-18）=96，

亦即4x+z=60，⑤

解x+y+z=302x-z=184x+z=60，①④⑤

得x=13y=9z=8.

所以在a1，a2，…，a30中，取值為-2的有13個.

15.答案：29.

解法1：不超過100的正整數(shù)的平方數(shù)有：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100.所以“希望數(shù)”應(yīng)當(dāng)是從這10個數(shù)中取2個的和，且這個和不大于100，有以下情形：

從1，4，…，36，49中任取兩個數(shù)，它們的和都小于100，有7×6÷2=21個滿足條件的數(shù).

64與1，4，…，36分別相加，得到6個滿足條件的數(shù).

81與1，4，9，16分別相加，得到4個滿足條件的數(shù).

其中，有65和85都被多算了一次：

65=12+82，且65=42+72，

85=22+92，且85=62+72，

所以滿足條件的數(shù)共有：

21+6+4-2=29（個）.

解法2：分別列出1，2，3，…，9的平方，再將不同的平方數(shù)分別相加：

序數(shù)

平方

平方

序數(shù)

123456789

149162536496481

11

245

391013

416172025

52526293441

6363740455261

749505358657485

8646568738089100

98182859097

如上表，知符合條件的數(shù)有

8+7+6+4+3+1=29（個）.

16.答案：（-2，1）或（14，49）.

解：由y=14x2

y=-12x+6，

解得x=4y=4 或x=-6y=9.

不妨令A(yù)點、B點的坐標(biāo)分別是（4，4），（-6，9）.設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y）.

由△ABP是直角三角形，知點A，B，P都可能是直角頂點.下面分類討論：

（1）若∠BPA=90°，則

AP2+BP2=AB2，

即 （x-4）2+（y-4）2+（x+6）2+（y-9）2

=（4+6）2+（4-9）2，

將之與y=14x2聯(lián)立方程組，解得

x=-2y=1.

（2）若∠ABP=90°，則

AB2+BP2=AP2，

即 （4+6）2+（4-9）2+（-6-x）2+（9-y）2

=（4-x）2+（4-y）2，

將之與y=14x2聯(lián)立方程組，解得

x=14y=49.

（3）若∠PAB=90°，則

PA2+AB2=PB2，

即（x-4）2+（y-4）2+（4+6）2+（4-9）2

=（x+6）2+（y-9）2，

將之與y=14x2聯(lián)立方程組，解得

x=4y=4（舍去）.

故點P的坐標(biāo)是（-2，1）或（14，49）.