兩邊夾法在解方程或不等式中的應(yīng)用

孫志東

【摘要】 本文先給出了“兩邊夾法”的定義，然后通過具體的例子來說明這種方法在解方程或不等式中的靈活應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 兩邊夾法;解方程或不等式;配方;最值取得條件;化歸

在初中數(shù)學(xué)中，若方程或不等式經(jīng)過化簡，得到如下的形式：a≤x，且x≤a，

其中x常常指各種各樣的代數(shù)式，a是一個常數(shù)，則可得x=a.

我們把這種得到x與a相等的方法稱為“兩邊夾法”.這種方法在處理某些特殊方程或不等式時，往往簡潔而奇特.下面舉例來說明其靈活的應(yīng)用：

1 兩邊夾法在解方程中的應(yīng)用

例1 已知y+|x-2|=1-a2，|z-2|=3y-3-b2，求x+y+z+a+b的值.

分析 已知條件中的兩個方程未知數(shù)眾多，看起來好像無從著手，但仔細觀察會發(fā)現(xiàn)：每個方程的左右兩邊都含有絕對值、平方的相反數(shù)的形式，若把它們都集中到等式的一邊，則這邊就變成了非負數(shù)和的形式，而每個方程的另一邊都變成了y的代數(shù)式，根據(jù)非負數(shù)建立含y的不等式組，恰好滿足“兩邊夾”的形式，這樣問題便解決了.

解 已知等式y(tǒng)+|x-2|=1-a2可變形為|x-2|+a2=1-y≥1，得y≤1;

同理|z-2|=3y-3-b2可變形為

|z-2|+b2=3y-3≥0，得y≥1.

由兩邊夾法得y=1，且|x-2|+a2=0，

|z-2|+b2=0，

從而x=4，a=0，z=2，b=0.

所以x+y+z+a+b=7.

例2 已知a，b，c均為實數(shù)，且3（2022-c）2-1+（|b+5|+2）2=6a-a2，則（2a+b）c的值為.

分析 這個方程含有二次根式、三次根式、平方式，這些式子看起來比較復(fù)雜，但三次根式里面又含有平方式，這樣我們可以發(fā)現(xiàn)左邊兩個式子都有最小值，且其和為-1+4=3，而右邊經(jīng)過變形得-（a-3）2+9，可以得到它有最大值3，這樣根據(jù)等號成立的條件，可以求出各個字母的值.

解 因為3（2022-c）2-1+（|b+5|+2）2≥3-1+4=3，

且6a-a2=-（a-3）2+9≤3，

所以由兩邊夾法得已知等式兩邊都等于3，

且當(dāng)a=3，b=-5，c=2022時取等號.

所以（2a+b）c=1.

例3 當(dāng)a，b為何值時，方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有實數(shù)根.

分析 這個關(guān)于x的一元二次方程含有a，b兩個參數(shù)，由方程有實數(shù)根，我們可得其判別式為非負數(shù)，這樣得到a，b的一個不等式，將其配方，得到兩個非負數(shù)的和小于或等于零，這樣可以利用兩邊夾法來解決.

解 一元二次方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2=0有實數(shù)根意味著其判別式

Δ=4（1+a）2-4（3a2+4ab+4b2+2）≥0，

整理可得（a-1）2+（a+2b）2≤0.

又因為（a-1）2+（a+2b）2≥0，

所以由兩邊夾法得

（a-1）2+（a+2b）2=0，

解得a=1，b=-12.

2 兩邊夾法在解不等式中的應(yīng)用

例4 若實數(shù)x，y，z滿足（2x2+8x+11）（y2-10y+29）（3z2-18z+32）≤60，則（? ）

（A）x+y-z=0.? （B）x+y-z=0.

（C）x-y+z=0.（D）x-y+z=1.

分析 不等式左邊的三個二次三項式結(jié)構(gòu)一致，經(jīng)過配方，可以發(fā)現(xiàn)各個式子的最小值分別是3，4，5，所以左邊的最小值是60，結(jié)合已知條件，發(fā)現(xiàn)符合“兩邊夾法”的特征.

解 由（2x2+8x+11）（y2-10y+29）（3z2-18z+32）≤60得

[2（x+2）2+3][（y-5）2+4][3（z-3）2+5]≤60，

而[2（x+2）2+3]≥3，

[（y-5）2+4]≥4，

[3（z-3）2+5]≥5，

所以[2（x+2）2+3][（y-5）2+4][3（z-3）2+5]≥60.

由兩邊夾法可得

（2x2+8x+11）（y2-10y+29）（3z2-18z+32）=60，

當(dāng)x=-2，y=5，z=3時等式成立，

所以x+y-z=0.

選（A）.

例5 已知a，b，c為整數(shù)，且a2+3b2+3c2+13<3ab+4b+12c，求根式（a+c）-（a+b）a+b的值.

分析 觀察這個不等式的結(jié)構(gòu)，經(jīng)過配方發(fā)現(xiàn)，三個非負數(shù)的和小于1，結(jié)合a，b，c為整數(shù)這個已知條件，可以轉(zhuǎn)化為三個非負數(shù)的和小于等于零，這樣就可用“兩邊夾法”了.

解 由a2+3b2+3c2+13<2ab+4b+12c，得

（a-b）2+2（b-1）2+3（c-2）2<1，

考慮到a，b，c為整數(shù)，上述不等式即為

（a-b）2+2（b-1）2+3（c-2）2≤0，

又因為（a-b）2+2（b-1）2+3（c-2）2≥0，

所以由兩邊夾法得

（a-b）2+2（b-1）2+3（c-2）2=0，

解得a=b=1，c=2，

從而（a+c）-（a+b）a+b

=3-22=（2-1）2=2-1.

例6 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點（-1，0），且對任意實數(shù)x，都有4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6.

求二次函數(shù)的解析式.

分析 條件中的不等式形式其實是不等式組，涉及這種結(jié)構(gòu)形式的問題在平時較少遇到，有一定的難度.如何解決呢？我們不妨先比較4x-12和2x2-8x+6，看看這兩個多項式是否有聯(lián)系？各自因式分解后發(fā)現(xiàn)它們含有共同的因式x-3，結(jié)合已知條件對任意實數(shù)x，已知不等式組都成立，可以令x=3，這樣就自然得到了“兩邊夾”的形式.

解 因為4x-12=4（x-3），

2x2-8x+6=2（x-1）（x-3），

且對任意實數(shù)x，都有

4x-12≤ax2+bx+c≤2x2-8x+6，

所以當(dāng)x=3時，都有

0≤9a+3b+c≤0，

由兩邊夾法得9a+3b+c=0，

即拋物線過點（3，0），又拋物線過點（-1，0），所以設(shè)所求拋物線的解析式為

y=a（x+1）（x-3）.

由a（x+1）（x-3）≥4x-12得

ax2-（2a+4）x+12-3a≥0，

因為它對任意實數(shù)x都成立，所以a>0且

（2a+4）2-4a（12-3a）≤0，

解得（a-1）2≤0，

又（a-1）2≥0，

所以再一次由兩邊夾法得a=1.

所以該二次函數(shù)的解析式為

y=（x+1）（x-3），

即y=x2-2x-3.

小結(jié) 以上6個典型例子的解法有個共同的特點，就是通過對方程或不等式經(jīng)過變形、整理得到了符合兩邊夾的結(jié)構(gòu)形式：“a≤x，且x≤a”，從而得到x=a，然后根據(jù)非負數(shù)取值最小值時等號成立的條件，求出方程或不等式中的各個未知數(shù).這種“兩邊夾法”通過化歸的途徑實現(xiàn)了多題一解，起到了舉一反三的高效解題效果.