一道2021年高考題的深入研究

王振民 蘇凡文

【摘要】筆者大膽揣測新高考數(shù)學(xué)試卷22題的右側(cè)不等式的命制過程，結(jié)合題源分析，給出了切線放縮、割線放縮證明不等式這一方法，并在高考題目的基礎(chǔ)上給出了變式，發(fā)展出了直線放縮與曲線放縮，豐富了證明不等式的方法.

【關(guān)鍵詞】切線放縮;割線放縮;變式;直線放縮;曲線放縮

題目原創(chuàng)命制的流程，一般是先明確要考查的知識，在命題者固有知識的基礎(chǔ)上，通過具體邏輯推理，借助數(shù)學(xué)軟件，進(jìn)行相應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，經(jīng)過反復(fù)驗(yàn)證、修證、查重等過程，最終形成一道新的題目.原創(chuàng)題要滿足題目敘述的完整性、簡潔性與準(zhǔn)確性，提供的答案要滿足知識考查的全面性與解題過程的一般性、多樣性，滿足答案最終結(jié)果的簡單性.一道比較成功的數(shù)學(xué)原創(chuàng)題，考察的知識與方法要有極強(qiáng)的針對性，同種形式的問題考察不同的知識與方法，最大限度的發(fā)揮數(shù)學(xué)題目對知識全面考查的作用.多問之間有所銜接，達(dá)到多一問則簡，少一問則繁的目的.

2021年新高考數(shù)學(xué)22題的第2問，左側(cè)不等式屬于極值點(diǎn)偏移問題，直接構(gòu)造φ（x）=f（x）-f（2-x）即可，而對于右側(cè)不等式來說，答案給出的方法是構(gòu)造g（x）=f（x）-f（e-x），同一個題目中的兩個不等式證明，雖然具體證明過程不完全一樣，但是證明的數(shù)學(xué)思想與方法相同，這對于一道高考題目來說是令人驚訝的.筆者根據(jù)自己長年命題的經(jīng)驗(yàn)知道，當(dāng)命題人命制出一道題目后，命題人提供的解題方法最能體現(xiàn)命題人的命制過程與命制思想.當(dāng)題目被廣大的教師與學(xué)生解答后，會呈現(xiàn)出更多的出乎命題人意料的解法.本文大膽揣測命題人的題目命制的題源與過程，給出對應(yīng)的解法，并加以推廣.

1沿波討源

題目1切線放縮

已知函數(shù)f（x）=nx-xn，x∈R，其中n∈N*，n≥2.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）設(shè)曲線y=f（x）與x軸正半軸的交點(diǎn)為P，曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y=g（x），求證：對于任意的正實(shí)數(shù)x，都有f（x）≤g（x）;

（3）若關(guān)于x的方程f（x）=a（a為實(shí)數(shù)）有兩個正實(shí)根x1，x2，求證：|x2-x1|

圖1

（2015年天津卷）

分析本題的第（2）問為第（3）問的切線放縮做了鋪墊，提示了在原點(diǎn)處亦作函數(shù)的切線進(jìn)行放縮.原點(diǎn)處的切線方程為y=nx，

由（2）可知在點(diǎn)P（n1n-1，0）處的切線方程

g（x）=（n-n2）（x-n1n-1），

設(shè)y=a與兩條切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，如圖1所示，

易證得x3

則|x2-x1|<|x4-x3|，

易得x3=an，x4=an（1-n）+n1n-1，

所以|x4-x3|=a1-n+n1n-1，

因?yàn)閚≥2時，

2n-1=（1+1）n-1≥1+C1n-1=1+n-1=n，

所以2≥n1n-1，|x4-x3|

即|x2-x1|

總結(jié)直線y=a與上凸或下凸的單峰函數(shù)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，與函數(shù)峰值兩側(cè)的切線交點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)分別為x3、x4，則

AB

即|x2-x1|<|x4-x3|（|x2-x1|≤|x4-x3|）.

題目2割線放縮

已知f（x）=xlnx與y=a有兩個不同的交點(diǎn)A，B，其橫坐標(biāo)分別為x1，x2（x1

（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

（2）求證：x2-x1>ae+1.

圖2

分析如圖2，x2-x1表示線段AB的長度，通過圖象可以看出，可以將線段AB適當(dāng)縮短為長度為ae+1的線段.因?yàn)楹瘮?shù)圖象是上凸的，所以可以考慮割線放縮.函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)為M（1e，-1e），與x軸的交點(diǎn)為N（1，0），連接OM、MN，割線OM的方程為y=-x，割線MN的方程為y=1e-1（x-1）.

設(shè)直線y=a與兩條割線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

x3，x4，且x3

易證得x1

則x4-x3

易解得x3=-a，x4=ae-a+1，

得x4-x3=ae+1，

所以x2-x1>ae+1成立.

總結(jié)直線y=a與上凸或下凸的單峰函數(shù)交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2，與函數(shù)峰值兩側(cè)的割線交點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)分別為x3、x4，則AB>CD，即|x2-x1|>|x4-x3|.

題目1利用的是切線放縮，題目2利用的是割線放縮，能否在一個題目中同時利用切線與割線放縮呢？

2應(yīng)用拓展——切、割線放縮的綜合應(yīng)用

題目3已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）設(shè)a，b為兩個不相等的正數(shù)，且blna-alnb=a-b，證明：2<1a+1b

分析由第（2）問可知

1a1-ln1a=1b1-ln1b，

令x1=1a，x2=1b，

則x1（1-lnx1）=x2（1-lnx2），

所以f（x1）=f（x2）=t，

只需要證明x1+x2

圖3

函數(shù)f（x）的最大值點(diǎn)為P（1，1），與x軸的交點(diǎn)為E（e，0）.

如圖3，割線OP方程為

y=x，

過點(diǎn)E的切線方程為

y=-x+e.

設(shè)直線y=t與割線、切線的交點(diǎn)分別為x3，x4.

易證得x1

則x1+x2

易解得x3=t，x4=e-t，

所以x3+x4=e，

于是x1+x2

總結(jié)直線y=a與上凸或下凸的單峰函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，在函數(shù)峰值兩側(cè)分別作割線、切線，直線y=a與割線、切線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，則x1+x2x3+x4.

高考題的精彩之處就是在學(xué)生具備的知識與方法的基礎(chǔ)上再提高，既著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，又有較高的思維含量，考查學(xué)生的發(fā)散性思維與創(chuàng)新能力.我相信本題的命制是命題人研究切線放縮與割線放縮時兩種思想方法碰撞的結(jié)果.

3高考題目變式

變式1切割線放縮

題目4已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）存在兩個不相等的正數(shù)x1，x2使得f（x1）=f（x2）=a，證明：x1+x2>a（2-e）+e-1e.

分析因?yàn)榫ca有關(guān)，可以考慮切、割線放縮將x1與x2縮小.如圖4，圖象是上凸的，所以可以通過切線將x1縮小，通過割線將x2縮小.函數(shù)f（x）的最大值點(diǎn)為P（1，1），與x軸的交點(diǎn)為E（e，0）.

由于不等式中含1e，故在點(diǎn)A1e，2e處的切線方程為y=x+1e;圖4

連接EP，割線EP的方程為

y=11-e（x-e），

設(shè)y=a與切線、割線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，易證得x3≤x1，x4

則x1+x2>x3+x4.

易解得x3=a-1e，x4=e+a（1-e），

所以x3+x4=a（2-e）+e-1e，

于是x1+x2>a（2-e）+e-1e得證.

變式2切線放縮

題目5已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）存在兩個不相等的正數(shù)x1，x2（x1

x2-x1

圖5

分析因?yàn)楹瘮?shù)圖象是上凸的，證明關(guān)于f（x）與y=a交點(diǎn)的距離小于某個值的不等式，可以考慮切線放縮.由于不等式中含1e，故在點(diǎn)A1e，2e處做切線，切線方程為y=x+1e;f（x）與x軸的交點(diǎn)E（e，0）處的切線方程為y=-x+e.直線y=a與兩條切線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，

易證得x1≥x3，x2

所以x2-x1

易解得x3=a-1e，x4=e-a，

則x4-x3=e+1e-2a，

于是x2-x1

變式3割線放縮

題目6已知函數(shù)f（x）=x（1-lnx）.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）存在兩個不等的正數(shù)x1，x2（x1e（1-a）.

圖6

分析因?yàn)楹瘮?shù)圖象是上凸的，證明關(guān)于f（x）與y=a交點(diǎn)的距離大于某個值的不等式，可以考慮割線放縮.函數(shù)f（x）的最大值點(diǎn)為P（1，1），與x軸的交點(diǎn)為E（e，0）.連接OP、EP，

割線OP的方程為y=x，

割線EP的方程為y=11-e（x-e），

兩條割線與直線y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x3，x4，

易證得x1

則x2-x1>x4-x3.

易解得x3=a，x4=a（1-e）+e，

則x4-x3=e（1-a），

于是x2-x1>e（1-a）得證.

4切割線放縮應(yīng)用的推廣

題目7函數(shù)f（x）=xex，若f（x）=a有兩個根x1，x2，證明：x2-x12>1-ae.

分析要證x2-x12>1-ae成立，

需證x2-x1>2-2ae，

圖7容易想到割線放縮.函數(shù)f（x）的最大值點(diǎn)為P1，1e，連接OP，割線OP的方程為y=xe，與直線y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3，易證得x3>x1，解得x3=ae.在直線x=1的右側(cè)，顯然過點(diǎn)P的割線部分在曲線f（x）的上方，部分在曲線f（x）的下方，無法實(shí)現(xiàn)x2的有效放大，故放棄割線放縮.

因?yàn)閤3>x1，

所以x2-x1>x2-x3=x2-ae>2-2ae，

得x2>2-ae.

過點(diǎn)P1，1e的直線設(shè)為y-1e=k（x-1），

將點(diǎn)（2-ae，a）代入直線方程解得k=-1e，

所以直線y=-1e（x-2）.

直線y=-1e（x-2）與y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x4，

易證得x4

則x2-x1>x4-x3.

解得x4=2-ae，

所以x4-x3=2-2ae，

于是x2-x1>2-2ae得證，

即x2-x12>1-ae成立.

題目8已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，若x1，x2（x1

x2-x1>21-eaa.

分析由f（x）=lnx-ax有兩個零點(diǎn)可得

0

由21-eaa可聯(lián)想到Δa，即x3，x4（x3

顯然x3<1a

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）與g（x）的極值點(diǎn)相同，

所以只需要滿足g（x1）>0，g（x2）>0，

圖8

即ax21-2x1+e>0，ax22-2x2+e>0，

因?yàn)閘nx1-ax1=0，lnx2-ax2=0，

即a=lnx1x1，a=lnx2x2，

所以x1lnx1-2x1+e>0，x2lnx2-2x2+e>0.

令h（x）=xlnx-2x+e，h′（x）=lnx-1，

所以h（x）在（0，e）上為減函數(shù)，在（e，+∞）上為增函數(shù).

因?yàn)閒（e）=1-ae≠0，

所以h（x）的定義域?yàn)椋?，e）∪（e，+∞），

可得h（x）>h（e）=0，

故h（x1）>0，h（x2）>0，得g（x1）>0，g（x2）>0，

因?yàn)間（x3）=g（x4）=0，

所以x1

則x2-x1>x4-x3.

因?yàn)閤4-x3=（x3+x4）2-4x3x4

=4a2-4aea2=21-aea，

于是x2-x1>21-eaa得證.