培養(yǎng)具有創(chuàng)新思想和良好思維品質(zhì)的數(shù)學(xué)人才

張召生 韓紅梅

【摘 要】 2022年北京高考數(shù)學(xué)卷第21題是一道完全不同于其他全國(guó)高考試題的數(shù)學(xué)情景題，試題和試題求解體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn). 通過(guò)深度分析此考題，提出培育學(xué)生數(shù)學(xué)思維和能力的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】 高考;m-連續(xù)可表數(shù)列;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)

2022年教育部統(tǒng)一命制6套高考數(shù)學(xué)試卷：全國(guó)甲卷2套（文、理科）、全國(guó)乙卷2套（文、理科）、新高考Ⅰ卷1套（不分文理科）、新高考Ⅱ卷1套（不分文理科）. 各套試卷都重視情景設(shè)計(jì)題的命制，如新高考Ⅰ卷第4題以我國(guó)重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為情景;新高考Ⅱ卷第3題以中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為情景;全國(guó)甲卷理科第8題以《夢(mèng)溪筆談》中沈括研究的圓弧長(zhǎng)計(jì)算方法“會(huì)圓術(shù)”為情景;全國(guó)甲卷文、理科第2題以社區(qū)環(huán)境建設(shè)中“垃圾分類”為情景;全國(guó)乙卷文、理科第19題以生態(tài)環(huán)境建設(shè)為情景;全國(guó)乙卷理科第4題以嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)為情景. 但是，最特別的情景題是2022年北京高考數(shù)學(xué)試卷最后的壓軸題第21題，是一道數(shù)學(xué)情景題，完全不同于其它全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷中的情景題，試題和試題求解充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn). 本文將研究這類數(shù)學(xué)情景題，并研究其對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育和高考備考的意義和作用，進(jìn)而提出教學(xué)建議.

1 2022年北京市高考數(shù)學(xué)試卷第21題

己知Q：a1，a2，…，ak為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)m，若對(duì)任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j=n，則稱Q為m-連續(xù)可表數(shù)列.

（1）判斷Q：2，1，4是否為5-連續(xù)可表數(shù)列？是否為6-連續(xù)可表數(shù)列？說(shuō)明理由;

（2）若Q：a1，a2，…，ak為8-連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4;

（3）若Q：a1，a2，…，ak為20-連續(xù)可表數(shù)列，且a1+a2+…+ak<20，求證：k≥7.

第一問(wèn)是判斷，也是驗(yàn)證，只要正確理解了“m-連續(xù)可表數(shù)列”的定義，根據(jù)定義就能驗(yàn)證是5-連續(xù)可表數(shù)列而非6-連續(xù)可表數(shù)列. 但是，理解“m-連續(xù)可表數(shù)列”的定義事實(shí)上有一定的難度.

第二問(wèn)是證明，k的最小值為4，即要先證明K≤3時(shí)不滿足題意，再證明K能取到4. 第一步反證法，第二步用構(gòu)造法證明存在性.

第三問(wèn)是證明，K≤5，K=6時(shí)，分別討論此時(shí)結(jié)論不成立. 邏輯驗(yàn)證時(shí)，又分幾類情況討論，其過(guò)程充分地體現(xiàn)了分類和推理分析的思想方法.

第21題，以有窮整數(shù)數(shù)列為載體，定義了m-連續(xù)可表數(shù)列，即數(shù)列要滿足給定的性質(zhì)或條件（2021年北京高考卷也有類似的關(guān)于數(shù)列的新定義的一道壓軸題. 這是北京高考數(shù)學(xué)試卷特色）. 試題是一種數(shù)學(xué)情景題，構(gòu)造了一種新的數(shù)學(xué)環(huán)境，在新的概念、新的運(yùn)算、新的法則下去解決新問(wèn)題. 試題求解過(guò)程中，數(shù)學(xué)抽象、構(gòu)造、反證、分類、邏輯推理等思想方法滲透其中，即時(shí)學(xué)習(xí)、理解、掌握、應(yīng)用等能力處處得到考查，創(chuàng)新性強(qiáng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，體現(xiàn)了開(kāi)發(fā)人力、培育人才的作用和意義. 2 試題深度分析2.1 完全不同于其他全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷中的情景試題

這類數(shù)學(xué)情景問(wèn)題在全國(guó)其他高考試卷中未曾出現(xiàn)過(guò)，是一類新型的高考題. 全國(guó)高考數(shù)學(xué)試卷中的情景題一般是從社會(huì)、文化、體育、科技等非數(shù)學(xué)情景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，而不像這類情景題是新定義、新運(yùn)算或者新數(shù)學(xué)系統(tǒng)等的情景，完全根據(jù)數(shù)學(xué)邏輯去解決問(wèn)題.

這道數(shù)學(xué)情景題特征顯著，試題的即時(shí)性、創(chuàng)新性、綜合應(yīng)用性特征非常明顯. 解這類問(wèn)題，學(xué)生需要首先閱讀數(shù)學(xué)符號(hào)和認(rèn)識(shí)新概念，對(duì)新情境新知識(shí)理解，即時(shí)學(xué)習(xí)、理解、領(lǐng)會(huì)并應(yīng)用，從而解決問(wèn)題. 即時(shí)性是它的突出特點(diǎn)，試題中即時(shí)定義數(shù)學(xué)新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算，對(duì)這些新的數(shù)學(xué)知識(shí)，要求學(xué)生即時(shí)理解，即時(shí)應(yīng)用，即時(shí)去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題. 學(xué)生要在較短時(shí)間內(nèi)理解并學(xué)會(huì)新的知識(shí)，去解決相應(yīng)問(wèn)題. 第二就是創(chuàng)新程度高. 對(duì)學(xué)生，一切都是新的，基于這些新的知識(shí)去解決新問(wèn)題. 新知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程、運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程都是創(chuàng)新的過(guò)程，創(chuàng)新程度高. 第三是綜合性和應(yīng)用性. 在學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生要運(yùn)用各種已有知識(shí)和試題中給出的新知識(shí)結(jié)合自己掌握的知識(shí)，綜合分析，綜合運(yùn)用，解決問(wèn)題. 2.2 體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法考查

從解題過(guò)程看，試題檢測(cè)學(xué)生對(duì)新概念的理解和應(yīng)用程度、數(shù)學(xué)思想方法的掌握和應(yīng)用程度. 本題考查了歸納與綜合分析、特殊與一般、反證、分類、邏輯推理等思想. 尤其是分類思想，分類情形中又有分類，分類較多、較復(fù)雜，多種情形分類，需要一步步地完成論證. 第1問(wèn)體現(xiàn)了一般與特殊、邏輯推理等思想;第2問(wèn)體現(xiàn)了反證、分類、特殊與一般、邏輯推理等思想;第3問(wèn)綜合體現(xiàn)了分類、反證、歸納與綜合分析、邏輯推理等思想. 此題的解題過(guò)程充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn). 若不能理解掌握這些思想方法并融會(huì)貫通，本試題的三問(wèn)將不會(huì)得到完全解決.

2.3 體現(xiàn)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)考查

中學(xué)教育數(shù)學(xué)學(xué)科有六大核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析. 本試題實(shí)現(xiàn)了對(duì)這六大核心素養(yǎng)的綜合考查. 第1問(wèn)，主要考查學(xué)生首先理解新情境里的新概念，新概念實(shí)質(zhì)也是一種模型，在理解的情形下驗(yàn)證一組特殊的具體的數(shù)列是否符合或不符合定義，理解了定義，就可以清晰地直觀想象出數(shù)列中數(shù)字排列的規(guī)律和特點(diǎn)，其中，對(duì)定義的理解主要用到學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等能力，驗(yàn)證過(guò)程則主要用到學(xué)生數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等綜合能力;第2問(wèn)、第3問(wèn)需要學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析去推證結(jié)論. 這三問(wèn)中，在數(shù)學(xué)抽象基礎(chǔ)上，學(xué)生需要理解概念模型，去數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象，因此，六大核心素養(yǎng)程度不同地有所考查. 學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的過(guò)程就是六大素養(yǎng)的綜合運(yùn)用和充分體現(xiàn)的過(guò)程. 一般六大素養(yǎng)很難在一個(gè)試題中同時(shí)被考查，因此，從這個(gè)意義上，這是一道很好的數(shù)學(xué)考試試題.

2.4 體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)

這種試題很好地考查了學(xué)生對(duì)新情境、新知識(shí)的抽象理解，讓學(xué)生在閱讀數(shù)學(xué)符號(hào)和認(rèn)識(shí)新概念的基礎(chǔ)上，即時(shí)學(xué)習(xí)并創(chuàng)新應(yīng)用，考查了學(xué)生獲取新知識(shí)的能力和創(chuàng)新應(yīng)用的能力. 這種試題設(shè)計(jì)思路就是在給定數(shù)學(xué)新概念后設(shè)計(jì)題目，要求學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)邏輯、運(yùn)算和思想方法等去解決問(wèn)題. 其中的各種情形的分類、運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、反證等，就像玩轉(zhuǎn)魔方，用于分析、計(jì)算、驗(yàn)證，層層變化，時(shí)時(shí)變換，新穎、復(fù)雜、有難度、邏輯性強(qiáng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維特性，真正關(guān)注了數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而回歸了數(shù)學(xué)本質(zhì). 3 教學(xué)啟示3.1 重視基礎(chǔ)知識(shí)教育，回歸教材教學(xué)和研究

從試題看，要求學(xué)生在理解新概念的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用各種所學(xué)的思想方法，發(fā)揮自己自主創(chuàng)新、自由發(fā)揮的主動(dòng)性，調(diào)動(dòng)自己的數(shù)學(xué)思維，去解決問(wèn)題. 靠刷題訓(xùn)練學(xué)生解題能力的做法在這種新情景題面前行不通了.

所謂“萬(wàn)變不離其宗”，教材就是教師教學(xué)之“宗”，教材是許多專家、學(xué)者、一線教師和管理者潛心研究并結(jié)合學(xué)生認(rèn)知水平編寫(xiě)的，是集合眾多編者智慧的結(jié)晶，教材是學(xué)生所學(xué)知識(shí)的載體，是命制試題的源泉，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想和核心素養(yǎng)的法寶，是培養(yǎng)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的根本，因此，必須回歸教材分析與研究，

回歸不刷題，回歸《課標(biāo)（2020修訂版）》中“教學(xué)與評(píng)價(jià)案例”的研究與教學(xué)[1]，回歸基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)和教育，整體上教育學(xué)生把握教材知識(shí)內(nèi)容和思想方法，細(xì)節(jié)上教育學(xué)生會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思維分析問(wèn)題解決問(wèn)題，學(xué)習(xí)和掌握解決問(wèn)題的通性通法. 教師教學(xué)中不能以題量為重點(diǎn)，要重點(diǎn)抓通性通法、思想方法的掌握和應(yīng)用，扎實(shí)練習(xí)學(xué)生數(shù)學(xué)基本功，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生今后的高校學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)，培養(yǎng)出基礎(chǔ)深厚的數(shù)學(xué)人才. 3.2 重視思想方法和核心素養(yǎng)教育，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

從解題過(guò)程看，體現(xiàn)了教育學(xué)生掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法的重要性，體現(xiàn)了核心素養(yǎng)教育的重要性. 特殊與一般化、分類、模型、歸納、演繹、反證等思想方法都有考查，數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象六大核心素養(yǎng)也在解題過(guò)程中有不同程度地考查. 因此教師要認(rèn)識(shí)到思想方法教育和核心素養(yǎng)教育的重要性，及時(shí)更新觀念， 加強(qiáng)和提高對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)教育教學(xué)的認(rèn)知和重視，深刻理解和把握數(shù)學(xué)思想方法和核心素養(yǎng)教育教學(xué)要求的層次，全面地培養(yǎng)學(xué)生的思想方法意識(shí)，全面地提升學(xué)生六大核心素養(yǎng).

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂和生命，教師要在日常的課堂教學(xué)中注意教育學(xué)生將數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維方式內(nèi)化成學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 比如，訓(xùn)練學(xué)生熟練掌握基本數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合的思想、分類思想、化歸思想、一般與特殊化思想、模型思想等，訓(xùn)練學(xué)生邏輯分析、逆向思維、發(fā)散思維和創(chuàng)造思維，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)感，訓(xùn)練學(xué)生的類比聯(lián)想能力. 通過(guò)這些方面的強(qiáng)化教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，為高校輸送高素養(yǎng)的數(shù)學(xué)人才.

3.3 重視學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力培養(yǎng)，增強(qiáng)學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力

第21題利用新定義和邏輯運(yùn)算，很好地考查了學(xué)生即時(shí)學(xué)習(xí)、理解、掌握新知識(shí)的能力，綜合考查了學(xué)生利用新知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，因此，教師日常教學(xué)時(shí)要重視分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的教育與培養(yǎng). 比如訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏捷性、準(zhǔn)確性，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)試題描述的文字、語(yǔ)言、符號(hào)等信息加工和提取能力，訓(xùn)練學(xué)生使用各類方法解題，訓(xùn)練學(xué)生解題過(guò)程中不斷探索思路和調(diào)整方法的能力，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)新概念、新數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)能力、應(yīng)用能力. 其實(shí)，教師要明白，解題不在量，關(guān)鍵要教會(huì)學(xué)生分析試題的五種基本能力：通過(guò)試題條件，分析找出數(shù)學(xué)關(guān)系;透過(guò)試題文字描述，找出數(shù)學(xué)關(guān)系;通過(guò)未知條件，類比聯(lián)想到可以求解的相似問(wèn)題，找出它們之間的相關(guān)聯(lián)系;通過(guò)已知問(wèn)題，類比聯(lián)想到要解決問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)聯(lián);通過(guò)試題信息如數(shù)字、運(yùn)算、表達(dá)式、圖形等顯著特征，類比聯(lián)想到其他的已知問(wèn)題的解題策略、思路和方法，從而解決當(dāng)前問(wèn)題.

教會(huì)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題是教師的根本任務(wù)，教師一定教會(huì)學(xué)生具備這種解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)出分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力優(yōu)秀的真正的數(shù)學(xué)人才. 3.4 加強(qiáng)數(shù)學(xué)情景試題學(xué)習(xí)，提升學(xué)生創(chuàng)新能力

第21題是定義新概念后在給定的某種性質(zhì)或滿足某種條件下求證和求解一些問(wèn)題. 這種數(shù)學(xué)情景構(gòu)造了新的數(shù)學(xué)元素，新的數(shù)學(xué)系統(tǒng)和環(huán)境，數(shù)學(xué)抽象性強(qiáng). 學(xué)生要答題，必須理解新定義、概念或運(yùn)算等，即時(shí)理解相關(guān)知識(shí)點(diǎn)后綜合應(yīng)用各種知識(shí)解答問(wèn)題. 學(xué)生必須有學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力和方法，必須有處理新問(wèn)題的能力和方法，必須有自主創(chuàng)新、自由發(fā)揮的能力. 因此，平時(shí)要對(duì)學(xué)生加強(qiáng)數(shù)學(xué)情景試題方面的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，提升學(xué)生綜合解決新問(wèn)題的創(chuàng)新能力.

那么，平時(shí)教學(xué)中，教師怎樣構(gòu)造這種數(shù)學(xué)情景的試題？教師應(yīng)掌握的一種基本方法就是高等數(shù)學(xué)知識(shí)的下放或者簡(jiǎn)化的方法，比如，高等數(shù)學(xué)中數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)規(guī)劃、圖論、高等代數(shù)、量子計(jì)算、凸函數(shù)凹函數(shù)等等相應(yīng)內(nèi)容的下放或簡(jiǎn)化. 一是選取上述高等數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單內(nèi)容、基礎(chǔ)知識(shí)，得到試題;二是將這些知識(shí)在某些條件下特殊化或具體化，得到試題;三是給出上述內(nèi)容的某個(gè)定義、某個(gè)規(guī)則，讓學(xué)生解答相應(yīng)問(wèn)題. 如，給出量子計(jì)算的定義，根據(jù)定義去做一些計(jì)算或求證一些問(wèn)題;給出某些代數(shù)環(huán)、群的定義、性質(zhì)，在某些條件下讓學(xué)生給出例子或解答一些簡(jiǎn)單問(wèn)題;等等.

近些年，高考試卷出現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的數(shù)學(xué)試題，引起人們關(guān)注. 陳美茹在“高等數(shù)學(xué)與高考‘談戀愛(ài)”一文中談到了凹凸函數(shù)、矩陣和組合數(shù)學(xué)等高等數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用[2].

就北京試卷而言，最近兩年壓軸題都是關(guān)于數(shù)列的，考查思想、考查原則、考查重點(diǎn)等都不同于全國(guó)其他試卷試題，然而，這類數(shù)學(xué)情景試題完美地考查了學(xué)生即時(shí)學(xué)習(xí)能力、即時(shí)綜合應(yīng)用能力和分析問(wèn)題解決問(wèn)題能力，試題有較大的推廣價(jià)值，對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育和高考備考有較大的指導(dǎo)意義，所以，作者感覺(jué)，這一數(shù)學(xué)情景題命題模式明年還會(huì)在北京市高考試卷中出現(xiàn)，并且，近幾年內(nèi)將會(huì)在其它高考試卷中大概率地出現(xiàn)，建議中學(xué)教師重視這類試題教學(xué)，認(rèn)真研究和挖掘這類題型對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育價(jià)值和對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和能力的培養(yǎng)價(jià)值，從而完善學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和作為國(guó)民的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)國(guó)家需要的合格的數(shù)學(xué)人才.

參考文獻(xiàn)

[1] 中華人民共和國(guó)教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 陳美茹. 高等數(shù)學(xué)與高考“談戀愛(ài)”[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2014（05）：47-51.

作者簡(jiǎn)介 張召生（1969—），男，山東曲阜人，曲阜師范大學(xué)期刊中心副主任;主要從事運(yùn)籌學(xué)與控制論、中學(xué)數(shù)學(xué)教育、 數(shù)學(xué)思想方法論研究.

韓紅梅（1972—），女，山東鄆城人;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育研究.