高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容對(duì)比研究的一個(gè)框架

【摘 要】 數(shù)學(xué)史是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要依托，以教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)（修訂版）為理論依據(jù)，從學(xué)習(xí)者的認(rèn)知水平、知識(shí)分類(lèi)以及數(shù)學(xué)史在教材中的主要滲透特征三個(gè)維度構(gòu)建了高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容對(duì)比研究的框架. 基于本框架對(duì)新人教A版高中數(shù)學(xué)必修冊(cè)和北師版高中數(shù)學(xué)必修冊(cè)教材中數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了對(duì)比研究. 結(jié)果顯示：二者在總體數(shù)量方面相差不大;在認(rèn)知水平和知識(shí)分類(lèi)兩個(gè)維度的史實(shí)分布特征具有較強(qiáng)的一致性;在主要滲透特征方面二者呈現(xiàn)出一定的差異性. 為教師教學(xué)提出以下幾點(diǎn)建議：（1）引導(dǎo)學(xué)生以史料為背景進(jìn)行數(shù)學(xué)寫(xiě)作，提高學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平;（2）前置“數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)任務(wù)清單”，以興趣引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)認(rèn)知;（3）史實(shí)材料的選取要兼顧“德育”和“智育”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)史;高中數(shù)學(xué);教材對(duì)比

1 問(wèn)題提出

隨著數(shù)學(xué)課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值被逐漸挖掘. 2003年，我國(guó)首次將數(shù)學(xué)文化納入普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[1]，這意味著數(shù)學(xué)文化已經(jīng)受到數(shù)學(xué)教育界的廣泛關(guān)注. 數(shù)學(xué)史作為數(shù)學(xué)文化的有機(jī)組成部分，是學(xué)生了解數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展脈絡(luò)、體會(huì)數(shù)學(xué)文化屬性的重要依托，而教科書(shū)作為教師“教”與學(xué)生“學(xué)”的主要載體，是開(kāi)展數(shù)學(xué)史實(shí)學(xué)習(xí)的重要資源. 2019年，我國(guó)部分地區(qū)開(kāi)始率先使用依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》編寫(xiě)的新版高中數(shù)學(xué)教材，按照教育部“同綱異構(gòu)”的教材編寫(xiě)原則，各版本教材在數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選擇和編排上存在著一定的差異.

對(duì)數(shù)學(xué)史在各版本教材中的選擇和編排進(jìn)行研究，不僅有利于總結(jié)教材編寫(xiě)經(jīng)驗(yàn)，為今后的教材編寫(xiě)提供借鑒，而且對(duì)于教師把握教材、體會(huì)教育理念的轉(zhuǎn)變有著重要的指導(dǎo)意義. 通過(guò)對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行研讀，筆者發(fā)現(xiàn)已進(jìn)行的數(shù)學(xué)史對(duì)比研究多從數(shù)學(xué)史在教科書(shū)中的內(nèi)容類(lèi)型、內(nèi)容來(lái)源、呈現(xiàn)視角等方面進(jìn)行探索和比較[2][3][4]，而從學(xué)習(xí)者的認(rèn)知水平和知識(shí)分類(lèi)這兩個(gè)角度的研討較少. 本研究從數(shù)學(xué)史在教科書(shū)中的主要滲透特征、學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史的認(rèn)知水平以及知識(shí)分類(lèi)三個(gè)維度構(gòu)建了高中數(shù)學(xué)教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容對(duì)比研究的框架，以期為廣大數(shù)學(xué)教育工作者提供參考，對(duì)不同版本高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行廣泛對(duì)比研究，為教師的史實(shí)教學(xué)提供建設(shè)性意見(jiàn). 2 三維框架構(gòu)建

2.1 理論依據(jù)

《布盧姆教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)（修訂版）分類(lèi)學(xué)視野下的學(xué)與教及其測(cè)評(píng)》[5]（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《修訂版》）是對(duì)Lorin W.Anderson和David R.Krathwohl等人所編寫(xiě)的《教育目標(biāo)分類(lèi)學(xué)：認(rèn)知領(lǐng)域》一書(shū)的修訂和完善. 《修訂版》將原認(rèn)知框架修改為知識(shí)和認(rèn)知過(guò)程兩個(gè)維度，知識(shí)維度劃分為事實(shí)性、概念性、程序性、元認(rèn)知知識(shí)四個(gè)類(lèi)別;認(rèn)知過(guò)程劃分為記憶/回憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造六個(gè)類(lèi)別，每一類(lèi)別又劃分為2～7個(gè)不等的亞類(lèi)共30個(gè). 應(yīng)該說(shuō)《修訂版》作為當(dāng)今完善程度最高、適用范圍最廣的教育目標(biāo)分類(lèi)理論之一，為教育科研人員提供了良好的理論研究框架，同時(shí)也為一線(xiàn)教師的教學(xué)實(shí)踐提供了操作指引和理論支撐;但高中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容有限、涉及范圍較窄，過(guò)細(xì)的類(lèi)別劃分對(duì)于《修訂版》在數(shù)學(xué)史領(lǐng)域的應(yīng)用是十分困難的. 布盧姆曾提出：“每個(gè)領(lǐng)域都應(yīng)該有符合該領(lǐng)域?qū)嶋H特征的目標(biāo)分類(lèi)系統(tǒng)，它更詳細(xì)，更接近于該領(lǐng)域的語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)和問(wèn)題思維方式，因此，在合適的情況下，它可以具有新的類(lèi)別及類(lèi)別的合并與刪除.”因此，將原分類(lèi)系統(tǒng)進(jìn)行整合與刪除后，其在數(shù)學(xué)史領(lǐng)域的可操作性可能會(huì)更強(qiáng). 2.2 框架建構(gòu)2.2.1 從學(xué)習(xí)者認(rèn)知水平的角度

1.了解與記憶史實(shí)

對(duì)于數(shù)學(xué)教科書(shū)中出現(xiàn)的具有如下特征的數(shù)學(xué)史實(shí)內(nèi)容了解和記憶即可： 無(wú)需通過(guò)任何形式和手段（如通過(guò)查閱資料對(duì)其進(jìn)行歸納、總結(jié)與拓展）對(duì)史實(shí)材料進(jìn)行加工，僅以閱讀的形式進(jìn)行認(rèn)知;不涉及數(shù)學(xué)技能和數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用. 一般來(lái)講，數(shù)學(xué)名言、數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介和數(shù)學(xué)符號(hào)的由來(lái)等史料都屬于這一層次.

2.理解與應(yīng)用史實(shí)

對(duì)于數(shù)學(xué)教科書(shū)中出現(xiàn)的具有如下特征的數(shù)學(xué)史實(shí)內(nèi)容需要進(jìn)行理解和應(yīng)用：在認(rèn)知過(guò)程中涉及到運(yùn)算、推理、畫(huà)圖、數(shù)據(jù)整理等解決數(shù)學(xué)問(wèn)題所必需的數(shù)學(xué)技能的史實(shí)材料;以史實(shí)材料（即包括數(shù)學(xué)自身發(fā)展歷史，也包含數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用史）為背景的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng). 例如新人教A版高中數(shù)學(xué)教科書(shū)必修第一冊(cè)P39探究中第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)的由來(lái)——趙爽弦圖，見(jiàn)圖1. 雖然學(xué)習(xí)者在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)趙爽弦圖的相關(guān)史實(shí)內(nèi)容，但由于此處要求從圖中“找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系”，故此處史實(shí)內(nèi)容從認(rèn)知水平來(lái)看要達(dá)到理解與應(yīng)用的層次.

新人教A版教材P39探究活動(dòng)

3.整合與歸因史實(shí)

對(duì)于數(shù)學(xué)教科書(shū)中出現(xiàn)的具有如下特征的數(shù)學(xué)史實(shí)內(nèi)容需要進(jìn)行整合與歸因：需根據(jù)已有的史實(shí)材料、通過(guò)查閱資料等手段對(duì)其進(jìn)行分析、拓展和評(píng)價(jià)，并最終以數(shù)學(xué)寫(xiě)作的形式進(jìn)行匯報(bào)的任務(wù).

例如新人教A版選擇性必修第一冊(cè)P89中的“請(qǐng)你查閱有關(guān)資料，進(jìn)一步了解吳文俊的事跡，了解我國(guó)數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)機(jī)械化方面的卓越貢獻(xiàn)”. 要想完成上述學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)習(xí)者可以按照如下步驟進(jìn)行，見(jiàn)圖2.

2.2.2 從知識(shí)分類(lèi)的角度1.陳述性史實(shí)知識(shí)

將數(shù)學(xué)教科書(shū)中出現(xiàn)的具有如下特征的數(shù)學(xué)史實(shí)內(nèi)容劃分為陳述性史實(shí)知識(shí)：史實(shí)內(nèi)容為數(shù)學(xué)發(fā)展所必須的基本要素：關(guān)于語(yǔ)言的或計(jì)算的符號(hào)、歷史事件的地點(diǎn)、人物及其言論等史實(shí);上述基本要素的文字?jǐn)U展、評(píng)價(jià)，不同要素間的以文字為主要形式的整合. 例如人教A版高中數(shù)學(xué)教科書(shū)必修第一冊(cè)P62旁注，“函數(shù)符號(hào)y=f（x）是由德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨在18世紀(jì)引入的”就是一個(gè)陳述性史實(shí)知識(shí);人教A版高中數(shù)學(xué)教科書(shū)必修第一冊(cè)P97，以“函數(shù)的形成與發(fā)展”為主題進(jìn)行文獻(xiàn)閱讀和數(shù)學(xué)寫(xiě)作，這是眾多數(shù)學(xué)基本要素間的整合，屬于陳述性史實(shí)知識(shí).

2.應(yīng)用性史實(shí)知識(shí)

將數(shù)學(xué)教科書(shū)中出現(xiàn)的具有如下特征的數(shù)學(xué)史實(shí)內(nèi)容劃分為應(yīng)用性史實(shí)知識(shí)：與數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)技能有關(guān)的史實(shí)內(nèi)容;以史實(shí)（既包括數(shù)學(xué)科學(xué)自身發(fā)展歷史，也包含數(shù)學(xué)在其他學(xué)科中的應(yīng)用史）為背景建立數(shù)學(xué)模型的相關(guān)知識(shí). 例如新人教A版必修第二冊(cè)P81中的“代數(shù)基本定理”;P91中的“棣莫佛定理”;P121中的“祖暅原理”等都屬于應(yīng)用性史實(shí)知識(shí). 2.2.3 從主要滲透特征的角度1.總體數(shù)量：即數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教材中的出現(xiàn)次數(shù).

2.運(yùn)用方式：汪曉勤提出了數(shù)學(xué)教材運(yùn)用數(shù)學(xué)史的五種方式[6]，具體內(nèi)容見(jiàn)表1.

3.呈現(xiàn)位置：數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教材中的呈現(xiàn)位置主要有三種：前置式、并置式和后置式[3]. 前置式即指數(shù)學(xué)史出現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識(shí)之前，并置式即數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識(shí)同時(shí)出現(xiàn)，后置式是數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)知識(shí)之后出現(xiàn). 例如：北師版高中數(shù)學(xué)教材每一章都以數(shù)學(xué)名言引入，這是前置式;人教A版教材在介紹弧度制時(shí)，在旁注介紹了弧度制概念的提出，這就是并置式. 三維對(duì)比研究框架整體結(jié)構(gòu)見(jiàn)圖3.

3 案例分析3.1 研究對(duì)象

以新人教A版高中數(shù)學(xué)必修冊(cè)教材和北師版高中數(shù)學(xué)必修冊(cè)教材為對(duì)象進(jìn)行對(duì)比研究. 將數(shù)學(xué)史的概念界定為：數(shù)學(xué)教科書(shū)中涉及到的有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、思想方法的發(fā)展歷程，數(shù)學(xué)家簡(jiǎn)介、與數(shù)學(xué)有關(guān)的名言，數(shù)學(xué)符號(hào)的由來(lái)，數(shù)學(xué)在社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)、文化以及其他領(lǐng)域的應(yīng)用史. 3.2 研究結(jié)果分析3.2.1 二者在認(rèn)知水平維度和知識(shí)分類(lèi)維度的史實(shí)分布特征具有較強(qiáng)的一致性研究發(fā)現(xiàn)，新人教A版必修冊(cè)和北師版必修冊(cè)在認(rèn)知水平和知識(shí)分類(lèi)兩個(gè)維度的史實(shí)分布特征具有較強(qiáng)的一致性，即P1、P2層次的史實(shí)內(nèi)容相比較多，P3層次較少，K1、K2兩個(gè)層次的史實(shí)內(nèi)容數(shù)量較接近，且K2層次的史實(shí)內(nèi)容略多于K1層次，見(jiàn)圖4. 具體來(lái)說(shuō)，新人教A版必修冊(cè)在P1、P2、P3層次的史實(shí)數(shù)量分別為15處、22處和5處，在K1、K2層次的史實(shí)數(shù)量分別為18處和22處;北師版必修冊(cè)在P1、P2、P3層次的史實(shí)數(shù)量分別為20處、25處和4處，在K1、K2層次的史實(shí)數(shù)量分別為21處和28處.

3.2.2 二者在數(shù)學(xué)史的運(yùn)用方式及呈現(xiàn)位置方面具有一定的差異性

在主要滲透特征方面，二者呈現(xiàn)出“一同二異”的表現(xiàn)特征. 具體而言，在總體數(shù)量方面，新人教A版和北師版必修冊(cè)相差不大，分別為42處和49處;在運(yùn)用方式方面，新人教A版教材在點(diǎn)綴式、附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式、重構(gòu)式這五種方式的占比分別為0%、47.6%、2.4%、28.6%、21.4%，而北師版的這一數(shù)據(jù)為0%、20.4%、24.5%、49.0%、6.1%;在呈現(xiàn)位置方面，新人教A版中數(shù)學(xué)史內(nèi)容在前置式、并置式、后置式這三個(gè)位置的占比分別約為4.8%、57.1%、38.1%，而北師版的這一數(shù)據(jù)為28.6%、16.3%、55.1%，究其原因是北師版教材中引用了大量的數(shù)學(xué)名言放置在章首頁(yè)，這就造成了北師版“前置式”和“復(fù)制式”在各自整體內(nèi)占比較高，見(jiàn)圖5.

3.2.3 從三維結(jié)構(gòu)整體來(lái)看，二者各具特色

從三維結(jié)構(gòu)整體來(lái)看，二者各具特色，既有共同關(guān)注的重點(diǎn)，也有不同的滲透理念，見(jiàn)表2. 首先，二者對(duì)學(xué)生在陳述性史實(shí)知識(shí)方面的認(rèn)知水平要求較低，多為P1層次，分別為14處和17處，而對(duì)于應(yīng)用性史實(shí)知識(shí)的認(rèn)知水平要求多為P2層次，分別為22處和23處. 其次，二者都是處于（P2，C2，K2）層次的史實(shí)內(nèi)容最多，且這一層次史實(shí)內(nèi)容的滲透特征也較相似，即都是順應(yīng)式運(yùn)用最多、附加式次之. 但是，北師版在這一層次共運(yùn)用順應(yīng)式20次，占比87.0%，而新人教A版在這一層次的主要運(yùn)用方式也為順應(yīng)式，但占比只有54.5%，可見(jiàn)，北師版教材的編寫(xiě)側(cè)重于對(duì)史實(shí)內(nèi)容的加工，而新人教A版還關(guān)注史實(shí)的重構(gòu). 此外，二者在（P3，C3，K1）和（P3，C3，K2）層次、（P1，C3，K1）和（P2，C3，K2）層次的呈現(xiàn)位置方面也呈現(xiàn)出了較強(qiáng)的一致性. 由此可見(jiàn)，在整體結(jié)構(gòu)方面，二者各有所長(zhǎng)，既有共性，也有差異.

4 啟示

教材作為貫徹課程標(biāo)準(zhǔn)和承載課程理念的物質(zhì)載體，是師生開(kāi)展史實(shí)學(xué)習(xí)的重要資源. 通過(guò)對(duì)框架的構(gòu)建和兩個(gè)版本教材中數(shù)學(xué)史內(nèi)容的對(duì)比研究，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)版本教材在數(shù)學(xué)史內(nèi)容的選擇和編排上的共性與差異，為教師教學(xué)提出以下三條建議. 4.1 引導(dǎo)學(xué)生以史料為背景進(jìn)行數(shù)學(xué)寫(xiě)作，提高學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平

研究表明，數(shù)學(xué)寫(xiě)作可以有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平[7]，而對(duì)史實(shí)內(nèi)容進(jìn)行整合與歸因，就是學(xué)習(xí)者通過(guò)收集、歸納、整理等方式，從更高的視角對(duì)史料進(jìn)行意義建構(gòu)，并最終以數(shù)學(xué)寫(xiě)作的形式呈現(xiàn)的過(guò)程. 這一過(guò)程不僅有利于學(xué)習(xí)者了解數(shù)學(xué)概念、公式、定理的發(fā)生發(fā)展脈絡(luò)，更重要的是對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平的提升具有重要意義. 在新人教A版教材和北師版教材中，P3層次的史實(shí)數(shù)量占比分別為12%和8%，相比P1、P2層次的史實(shí)數(shù)量占比較低. 因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材中涉及的史料進(jìn)行拓展與分析，培養(yǎng)學(xué)生收集、分析、歸納材料和數(shù)學(xué)寫(xiě)作方面的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平. 4.2 前置“數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)任務(wù)清單”，以興趣引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)認(rèn)知

美國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾德認(rèn)為：數(shù)學(xué)課堂上只強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的技術(shù)是不夠的，要使學(xué)生被數(shù)學(xué)所吸引，一定要運(yùn)用數(shù)學(xué)歷史知識(shí)[8]. 而史料的不同運(yùn)用方式和呈現(xiàn)位置會(huì)給學(xué)生帶來(lái)不同的情感體驗(yàn). 在運(yùn)用方式方面，教師要借鑒教材，采取順應(yīng)式和重構(gòu)式的方式，以此來(lái)保證史料的時(shí)代適用性. 在史料呈現(xiàn)位置方面，教師可以在章開(kāi)頭設(shè)置“數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)任務(wù)清單”. 例如“圓錐曲線(xiàn)的方程”這一章涉及了大量的史實(shí)知識(shí)，從梅內(nèi)赫莫斯的“梅氏三線(xiàn)”到歐幾里得的《圓錐曲線(xiàn)》，再到阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線(xiàn)論》和安提繆斯的“兩釘一線(xiàn)”橢圓畫(huà)法[9]，學(xué)生只有了解圓錐曲線(xiàn)的產(chǎn)生發(fā)展歷程，對(duì)知識(shí)的建構(gòu)才會(huì)更加深刻. 在學(xué)習(xí)本章之前，教師可以預(yù)先列出每一節(jié)涉及的史料，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，調(diào)查圓錐曲線(xiàn)的發(fā)展歷程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)認(rèn)知. 4.3 史實(shí)材料的選取要兼顧“德育”和“智育”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度和價(jià)值觀(guān)的綜合體現(xiàn)[10]，即核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要兼顧“德育”和“智育”. 數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)與人文之間架起了一座橋梁，因而在德育上可以發(fā)揮獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)[9]. 因此，教師在史料的選取過(guò)程中，在保證趣味性、科學(xué)性、可學(xué)性、有效性、人文性的史料選取原則下[11]，要重視中國(guó)傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)元素，兼顧學(xué)生的德與智共同發(fā)展. 例如，在介紹《趙爽弦圖》的過(guò)程中，也可以將趙爽“負(fù)薪余日，聊觀(guān)《周髀》”的故事介紹給學(xué)生，這樣既讓學(xué)生了解了趙爽弦圖，發(fā)展了學(xué)生的“智”，又讓學(xué)生感受到趙爽刻苦鉆研的精神，培養(yǎng)了學(xué)生的“德”.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介 常海斌（1999—），男，吉林公主嶺人，碩士生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.