求解三角函數(shù)最值問題的三種常用措施

蔣成

三角函數(shù)最值問題通常會綜合考查三角函數(shù)的解析式、圖象、性質(zhì)以及進(jìn)行三角恒等變換的技巧.此類問題對同學(xué)們的分析以及運(yùn)算能力具有較高的要求.本文結(jié)合例題，談一談求解三角函數(shù)最值問題的三種常用小措施.

一、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解

利用三角函數(shù)的單調(diào)性是求三角函數(shù)最值問題的常用措施.在求三角函數(shù)的最值時，首先要利用相關(guān)的三角函數(shù)公式，如誘導(dǎo)公式、二倍角公式、輔助角公式等，通過三角恒等變換，將三角函數(shù)式化為只含有一種函數(shù)名稱、一個角、最低次數(shù)的式子，然后根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的定義域求得最值.

在化簡同時含有正弦、余弦的三角函數(shù)式時，通常要運(yùn)用輔助角公式，使三角函數(shù)中的函數(shù)名稱統(tǒng)一，以便根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性和有界性求得最值.對于本題，我們需根據(jù)輔助角公式將三角函數(shù)式化為 f （x）= 10 sin? è ? ? x +π3，才能根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)式的最值.

二、借助基本不等式求解

基本不等式：若 a，b >0，則 a + b ≥2 ab（當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時等號成立）.基本不等式是求解最值問題的重要工具.在求解三角函數(shù)最值問題時，往往可根據(jù)三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)、特征，合理配湊出兩式、三式的和或積，靈活運(yùn)用基本不等式及其變形式，如① a、b ∈ R ，則 a2+ b 2≥ 2ab ，②若 a、b、c >0，則 a + b + c ≥3 abc 3，③若 a、b >0，則2 1 a +1 b ≤ ab ≤ a + b 2≤ a2+ b 22，求得函數(shù)的最值.

解答本題，需首先將三角函數(shù)式平方得到兩式的乘積4 cos 4 x 2 sin2 x 2，再將其看作是 cos 2 x 2、cos 2 x 2、2 sin2 x 2的積.而這三式之和為定值，則可借助基本不等式的變形式 a + b + c ≥3 abc 3求得最值.在運(yùn)用基本不等式求解三角函數(shù)最值問題時，要仔細(xì)觀察問題中所給出的三角函數(shù)式，以明確變形的方向，通過湊系數(shù)、平方、拆項等方式合理配湊出兩式、三式的和或積.在求得最值后，要注意討論等號成立的情況是否存在.

三、通過換元求解

有些三角函數(shù)式較為復(fù)雜，此時需通過換元，將函數(shù)式簡化，把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元的函數(shù)最值問題來求解.運(yùn)用該措施來解題，關(guān)鍵在于選取合適的式子進(jìn)行換元.一般地，可選取根號下的式子、絕對值內(nèi)部的式子或頻繁出現(xiàn)的式子.

仔細(xì)觀察已知關(guān)系式和所求目標(biāo)式，可發(fā)現(xiàn)二者的結(jié)構(gòu)一致，只是函數(shù)的名稱不一樣，于是引入?yún)?shù) t ，將其替換目標(biāo)式，然后將兩式平方，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式 sin2 x + cos 2 x =1，得到關(guān)于 t 的二次函數(shù)式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性和有界性，以及二次函數(shù)的單調(diào)性求得 t 的范圍，即可求得目標(biāo)式的最值.通過換元，可將陌生的、復(fù)雜的三角函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的二次函數(shù)問題，利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求最值.在引入新變量后，要根據(jù)已知的定義域求出新變量的取值范圍.

相比較于而言，第一、二種措施較為常用，第三種措施較為靈活，同學(xué)們需根據(jù)已有的知識和解題經(jīng)驗合理換元，才能順利解題.值的注意的是，函數(shù)的最值通常會受定義域的影響，因此，在求三角函數(shù)的最值問題時，一定要重視討論函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)的定義域求最值.