一道2021年安徽省冬季聯(lián)賽題的解法探究與推廣

摘 要：文章通過對2021年安徽省冬季聯(lián)賽第22題的解法探究，得到了相關研究對象在運動變化過程中保持的規(guī)律性及其變式推廣，并由試題的解答與變式得出了關于圓錐曲線的一個統(tǒng)一結論，從而揭示了問題的本質和規(guī)律.

關鍵詞：冬季聯(lián)賽;解法探究;共軛弦性質;圓錐曲線

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0057-04

1 試題呈現(xiàn)

題目 （安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2021年冬季聯(lián)賽（高二）第22題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的長軸長為42，離心率為32.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）已知斜率為12的直線l與橢圓C交于兩個不同的點A，B，點P的坐標為2，1，設直線PA與PB的傾斜角分別為α，β，證明：tanα+tanβ=0.

試題第（1）問考查了橢圓的長軸、離心率等簡單的幾何性質，體現(xiàn)了試題的基礎性;第（2）問以圓錐曲線共軛弦性質為背景設置了與動直線有關的定值問題，綜合性強，對學生邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等素養(yǎng)有較高要求，值得深入探究.

2 解法探究

點評 證法1把待證問題轉化為求證兩直線PA，PB斜率之和為0，從而幾何問題通過坐標運算轉化為代數(shù)問題，既展示了坐標法的魅力，又體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.繼續(xù)探究，如圖1，發(fā)現(xiàn)當Δ=0時，t=-2或t=2，此時直線l與橢圓C相切，點P坐標為-2，1或2，-1，直線l的斜率與橢圓C在點P處的切線的斜率互為相反數(shù)，這一發(fā)現(xiàn)為進一步探究試題本質提供了思路.圖1

點評 證法2從直線PA與PB的傾斜角入手，自然聯(lián)系到應用直線的參數(shù)方程解題，亮點在于對坐標的處理，借助參數(shù)的意義和三角恒等變換，整個運算過程一氣呵成，簡潔明了.

由于平移變換后點P的坐標變?yōu)镻′0，0，故kP′A′，kP′B′是方程①的兩個根，由韋達定理知kP′A′+kP′B′=04-16m=0，由于平移變換下不改變直線的斜率，所以kPA+kPB=0.

點評 證法3通過平移變換巧妙地把橢圓上的定點P轉化為坐標原點P′，變換后兩直線P′A′，P′B′的斜率恰好是點A′，B′的坐標比值，從而通過齊次化處理，把兩直線斜率之和問題轉化為韋達定理根與系數(shù)的關系，解答簡潔明了，相比通性通法中運算量大的特點，平移變換后齊次化處理很大程度上避免了繁雜的運算，是解答過定點兩條動直線斜率之積、之和問題的利器.

點評 證法4“曲線系方程法”相比前面證法，站在更高的觀點，為我們解決這類解析幾何問題提供了新視角，但也有一定的局限性，在具體的解題實踐中，還需根據(jù)自身實際，選擇適當?shù)姆椒?

3 推廣探究

著名數(shù)學教育家G·波利亞說“分解和重組是思維的重要活動”，因此我們有必要深入到試題的細節(jié)中去，通過逆向變換，亦或者改變曲線背景提出新的問題，以探究試題內在規(guī)律，培養(yǎng)學生思維品質.

變式1 已知A，B為橢圓C：x28+y22=1上的兩個動點，點P2，1，若直線PA的斜率與PB的斜率互為相反數(shù)，證明直線AB的斜率為定值.

推廣2 設點Px0，y0是對稱軸平行于坐標軸的定圓錐曲線（包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線）C上一定點，A，B是C上兩個動點，若直線PA，PB的斜率互為相反數(shù)，則直線AB的斜率存在時為定值，等于曲線C在點P處切線的斜率的相反數(shù).

（1）當曲線C是有心圓錐曲線時，設方程統(tǒng)一形式為λx2+μy2=1（λμ≠0），則kAB=λx0μy0y0≠0;

（2）當曲線C是拋物線時，可設C：y2=2px（p≠0），則kAB=-py0或C：x2=2pyp≠0，則kAB=-x0p.

推廣2也稱為圓錐曲線共軛弦性質，以其為背景命制的高考試題和競賽試題屢見不鮮，像這樣通過挖掘改造著名數(shù)學問題來命題已成為近年高考數(shù)學圓錐曲線壓軸題命制的新趨勢，這也啟示一線教師在教學中應充分利用這些素材，引導學生探究試題解法，剖析試題本質，從而培育學生的思維品質，落實學科素養(yǎng).

參考文獻：

[1]波利亞，涂泓譯.怎樣解題——數(shù)學思維的新方法[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?007.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：欒功（1982.10-），男，甘肅省隴西人，本科，中學高級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

基金項目：南寧市教育科學“強基計劃，拔尖人才培養(yǎng)”專項課題“強基計劃背景下高中數(shù)學學科拔尖人才培養(yǎng)模式研究——基于問題提出的視角（項目編號：2021QJ010）.