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    基于學習心理的高中數(shù)學錯題教學研究

    2022-05-30 06:55:47吳燕
    數(shù)學教學通訊·高中版 2022年8期
    關鍵詞:學習心理教學做合一

    [摘? 要] 錯題是優(yōu)質(zhì)的教學資源,以其為生長契機,融入學習心理,合理追溯根源,在容錯、識錯、糾錯中彰顯育人、育才的內(nèi)在價值和外在品質(zhì),為落實立德樹人根本任務作出努力.

    [關鍵詞] 教學做合一;學習心理;數(shù)學錯題

    現(xiàn)代教育堅持以學生為主體,圍繞著學生的生活經(jīng)驗,開展教與學的教學工作. 教師教育的目的是讓學生自主學習,學生學習的目的是讓自己會做、會創(chuàng)造. 在高中數(shù)學教學實踐中,以錯題為有效抓手,運用逆向思維,積極從學生心理層面,重建與分析其思維、心理、情感、態(tài)度等精神結構,在追溯根源、科學矯正、改進模型、豐富經(jīng)驗等實施過程中,轉變教學思路,增進教學理解,提升教學效能,推動教學績效朝向更高、更優(yōu)的目標邁進[1]. 下面結合一道錯題來闡述基于學習心理的數(shù)學錯題教學.

    [?]研究案例

    典例 已知a,b是不全為零的實數(shù),求證:方程3ax2+2bx-(a+b)=0在(0,1)內(nèi)至少有一實根.

    1. 創(chuàng)設問題情境,彰顯主體地位

    當今高中課堂教學就應試層面而言,教學手段與教學效率有限,各類學生的錯題屢見不鮮. 目前,即便教師普遍重視習題教學,但對錯題資源尚缺乏有效管理手段與方法. 學生對錯題的處置方法普遍局限于錯題整理等范疇,教師亦缺乏對錯題的歸因分析、分類整理、合理利用,同時對學生心理分析、矯正策略等也嚴重不足.

    新課改倡導的教學是讓學生走出傳統(tǒng)教材中“死知識”的“牢籠”,引導學生積極主動地參與到教學情境中來,激發(fā)其學習、探究的欲望. 拿到題讓學生思考片刻,并分組討論探究,會呈現(xiàn)以下兩種思路:

    令f(x)=3ax2+2bx-(a+b),

    思路1:用函數(shù)零點存在性定理解決,即看f(0)·f(1)的情況.

    思路2:用根的分布的知識,討論在(0,1)上有一實根和兩實根這兩種情況.

    但最后的結果是兩種思路都以失敗告終.

    學生存在困難,并不是因為這些問題的解答太難以致學生無法解決,而是其思維方式或結果與具體問題的解決存在著差異,也就是說,學生的數(shù)學思維存在著障礙. 這種思維障礙,有的來自教學中的疏漏,而更多的則來自學生自身,來自學生中存在的非科學的知識結構和思維模式[2].

    2. 鼓勵自主探究,在“做”中獲得矯正

    高中數(shù)學教學中利用錯題資源,予以有效溯源、分析、引領學生成長. 交給學生自己去探究、去發(fā)現(xiàn),可以使他們印象更深,效果自然也會更好. 只有通過“做”才能不斷地使個體體驗到無窮的樂趣并產(chǎn)生“做”的需要,不斷地獲得新的動力,不斷地得到新的發(fā)展.

    對于思路1,學生存在困難的原因在于計算出f(0)·f(1)=-(a+b)(2a+b)后,其正負符號不能確定,即使要討論也沒有明確的分類標準. 這時教師可以引導學生換一個角度進行思考:既然要證方程3ax2+2bx-(a+b)=0在(0,1)內(nèi)至少有一實根,這與函數(shù)的零點有關,不妨利用二分法來試一試. 這時學生會自然想到計算f

    ,發(fā)現(xiàn)f(0)·f

    = -(a+b)·

    -a

    =a(a+b),f

    ·f(1)=

    -a

    ·(2a+b),但問題還是不明朗,這時繼續(xù)引導學生觀察

    -a

    (2a+b)與a(a+b)的聯(lián)系,爭取找到分類的突破口. 事實上,通過拆項可以發(fā)現(xiàn)

    -a

    ·(2a+b)= -a2-a(a+b). 接下來,只要討論a(a+b)的正負,便可以確定f(0)·f

    與f

    ·f(1)的正負符號. 具體解法如下:

    若a=0,則b≠0,此時方程的根為x=,滿足題意.

    若a≠0,令f(x)=3ax2+2bx-(a+b),

    ①若a(a+b)<0,則f(0)·f

    =-(a+b)

    -a

    =a(a+b)<0,所以f(x)在區(qū)間

    0,

    上有一實根;

    ②若a(a+b)≥0,則f

    ·f(1)=

    -a

    (2a+b)=-a2-a(a+b)<0.所以f(x)在區(qū)間

    ,1

    上有一實根.

    綜上所述,方程3ax2+2bx-(a+b)=0在(0,1)內(nèi)至少有一實根.

    反思上述解法,當學生按照某個固定的程序去解決問題但又無法解決時,就必須引導學生換一種方法或思路去嘗試、去思考,以達到提高學生思維能力的目的.

    對于思路2,學生在操作的過程中發(fā)現(xiàn)要對a=0,a>0,a<0以及方程在(0,1)內(nèi)有一根、兩根進行討論,除了分類煩瑣外,具體的每一種情況的結論都不明顯. 這時教師可以引導學生從“正難則反”去思考,用反證法證明如下:

    思路3:假設方程在(0,1)內(nèi)無實根.

    若a=0,則b≠0,此時方程的根為x=,與假設矛盾.

    若a≠0,因為Δ=4b2+12a(a+b)=12a2+12ab+4b2=12

    a+

    +b2>0恒成立,所以方程必有兩根,不妨設為x和x,且x

    ①若x<0,x≤0,則x+x<0?-<0?>0,且x·x≥0?-≥0?+≤0,顯然兩者矛盾.

    ②若x≥1,x>1,則(x-1)+(x-1)>0?(x+x)-2>0?<-1,且(x-1)(x-1)≥0?x·x-(x+x)+1≥0?≥-,顯然兩者也矛盾.

    ③若x<0,x>1,設f(x)=3ax2+2bx-(a+b),若a>0,則f(0)≤0?-(a+b)≤0,且f(1)≤0?2a+b≤0,兩者相加得a≤0,與a>0顯然矛盾.

    若a<0,同理矛盾.

    綜上所述,假設不成立,原命題得證.

    以上思路說明,當正面討論情況較多且不易取得好的效果時,可以從反面來思考——用反證法,反面情況雖然也要分類,但學生易于討論,結果明顯,因為用到二次函數(shù)圖像時規(guī)律明顯,用到韋達定理時簡單易懂.

    3. 進行心理分析,促進能力發(fā)展

    學生在數(shù)學學習及解題過程中, 一般會經(jīng)歷“不懂—好奇—探究—應用”的過程,數(shù)學知識應用時不僅常會出現(xiàn)錯誤,而且還會有情緒上的波動,教師也常常通過知識層面對學生的錯題進行正向矯錯[3]. 因此在錯題教學過程中,教師要基于學生的學習心理,充分發(fā)揮錯題的資源價值,以錯題為生長契機,引導學生在識錯、糾錯中提高數(shù)學學習能力,讓主體在體驗成功的情緒中學習.

    學生在初中雖然學過一元二次方程和一元二次函數(shù),但高一的一元二次不等式和二次函數(shù)的有關問題,對于學生來說仍是易錯題型. 對于一個新知識所涉及的題型,學生會經(jīng)歷下列心理認知過程,教師可以及時矯正:

    不懂:對于一個新的題型,學生剛開始的感覺就是不懂. 如上述題目,學生感覺不懂的原因是參數(shù)較多,特別是二次項系數(shù)是參數(shù),給題目增加了難度和易錯因素. 題目中的“至少”又多了一層討論,學生易產(chǎn)生畏難情緒. 基于學生的心理,這時教師應該鼓勵他們嘗試并適時點撥.

    好奇:學生經(jīng)過教師的鼓勵,出于好奇的心理敢于嘗試. 利用自己儲存的知識解題,回憶相應的知識點和解決類似題型的方法. 上述題目的思路1利用的是高一新知識——零點存在性定理和二分法求解,發(fā)現(xiàn)不易操作;思路2有初中基礎,易于上手,但討論過于煩瑣,學生嘗試后會發(fā)現(xiàn)計算量較大且易錯. 這時教師可以適當提醒和指導解題得分點.

    探究:學生嘗試了多種解法后,教師根據(jù)學生有可能出現(xiàn)的多種解法進行分析和講解,糾正各種錯誤,給出多種解法的詳細過程并分析優(yōu)劣,總結和提煉出相應題型的優(yōu)解. 上述題目中,教師給出最優(yōu)的解法——思路3的解法,經(jīng)過分析后,讓學生自行完善解題過程,并請代表上講臺演示加深學生的印象. 多種解法呈現(xiàn)后,繼續(xù)讓學生分析和總結各種解法的優(yōu)點.

    應用:學生發(fā)現(xiàn)自己的錯誤和錯因后,領會到自己思路的正確解法和其他思路的解法后,會積極地繼續(xù)嘗試類似的題型. 這時教師可以呈現(xiàn)變式題讓學生解答,起到舉一反三的效果.

    其實,教師還要對錯題的形成進行歸因分類分析,更多的是,要從學生心理方面進行分析,建構系統(tǒng)的錯誤類別及錯誤矯正策略. 這樣教師針對錯題進行認知與矯正,思考錯題教學效果提升的有效手段與方法,使學生體驗學習成功的喜悅.

    注重錯題教學,并在錯題研究、心理研究的雙層合力下,轉變教學觀念、合理改造課堂、完善評價手段,促使學生明確學習目標、帶著問題學習,以錯題為生長契機,融入錯題教學的學習心理認知與行為矯正研究,改善學生的學習方法和教師的教學方法.

    [?]研究價值

    習題教學的目標一般有:順利理解,解答問題;領悟問題的關卡點,解決問題瓶頸;比較問題的不同解法;內(nèi)化問題的背景知識,優(yōu)化思維方法,提升敏感能力. 從學習心理規(guī)律的角度研究錯題教學,其目的在于樹立以科學的學習心理規(guī)律指導教學的實踐模型,為錯題教學尋找有效的突破口,實現(xiàn)其應有的功能和價值.

    1. 實踐模型具有突破性、示范性

    基于學習心理的錯題研究,旨在運用心理學規(guī)律,對教學中重復率最高、最受師生忽視的教學行為(習題教學)和內(nèi)容(錯題資源)進行研究. 研究具有原創(chuàng)性、突破性與示范性.

    2. 學生成長具有針對性、持續(xù)性

    基于學習心理的錯題研究,旨在利用錯題資源,予以有效溯源、分析、引領學生成長. 幫助學生明確學習目標、帶著問題學習,以錯題為生長契機,融入錯題教學的學習心理認知與行為矯正研究,改善學生的學習方式,推動其發(fā)展有針對性和持續(xù)性.

    3. 教師發(fā)展具有創(chuàng)新性、引領性

    數(shù)學教學中,教師除了關注教學效果外,更要關注學生核心素養(yǎng)的培育與養(yǎng)成;要注重錯題教學,并在錯題研究、心理研究的雙層合力下,轉變教學觀念、合理改造課堂、完善評價手段. 對加快教師角色轉型起到帶動作用,推動教師發(fā)展有創(chuàng)新性和引領性,提高課堂教學質(zhì)量,提升師生素質(zhì),落實立德樹人根本任務.

    對于數(shù)學錯題,學生有聽不懂、難點不易感悟、不會使用不同方法及其優(yōu)化等原因. 在平時教學中,教師要設置情境,注重知識與方法相結合,引導學生將文字轉化為圖形、問題轉化為方法、關鍵信息轉化為條件,提升學生對未知問題的解決能力,解題過程就是條件反射的過程[4];要鼓勵學生閱讀,強化其思路與能力,讓學生每節(jié)課都有感觸,讓學生學會知識的遷移. 平時教師多思考能否讓學生小題大做,向易題要規(guī)范;或者大題小做,向難題要過程. 除此之外,教學應以心理學原理作為科學支撐,積極運用學習心理理論,彰顯育人、育才的內(nèi)在價值和外在品質(zhì),實現(xiàn)學生不斷發(fā)展.

    錯題是優(yōu)質(zhì)的教學資源,其存在的前提是學生對應的學習心理,合理追根溯源、科學矯正、改進模型,可以有效推動教學邁上新臺階,促進學生更好、更快發(fā)展. 同時,能為教師打開思路,對教學工作提質(zhì)增效,加快教師成長、成熟. 學習心理和錯題教學的有機結合,不僅有利于學科教學,也能夠提升學生的學習心理品質(zhì),達到育人與育才的統(tǒng)一.

    參考文獻:

    [1]? 吳燕. 例說如何培養(yǎng)學生的思維能力[J]. 高中數(shù)學教與學,2011(12): 24-26.

    [2]? 劉萍. 課堂教學如何突破學生數(shù)學思維瓶頸[J]. 基礎教育參考,2013(06):46-47.

    [3]? 董育洲. 培養(yǎng)高中學生數(shù)學錯題反思能力的實踐研究[J]. 數(shù)學教學通訊,2021(12):36-38.

    [4]? 杭麗華. 善待錯誤,有效生成——基于錯誤資源的高中數(shù)學教學思考與實踐[J]. 數(shù)學教學通訊,2018(09):17-19.

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