也談幾何直觀的培養(yǎng)

程茂山

摘要：幾何直觀是根據(jù)非圖形表征的情境，作圖并用圖，也就是把圖形視為重要的語(yǔ)言，做好“圖形表征”和“圖形分析”。圖形語(yǔ)言具有直觀形象、簡(jiǎn)明扼要的特點(diǎn)，可以很好地幫助理解知識(shí)和解決問(wèn)題。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)圖形表征能力，需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境特征，確定圖形類型，以及把握?qǐng)D形本質(zhì)，完善圖意表達(dá);培養(yǎng)圖形分析能力，則需要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)靜態(tài)觀察、動(dòng)態(tài)操作，感知、發(fā)現(xiàn)圖形要素之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;圖形表征;圖形分析;小學(xué)數(shù)學(xué)

作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，幾何直觀“主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)與習(xí)慣”，包括“感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類;根據(jù)語(yǔ)言描述畫(huà)出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì);建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型;利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問(wèn)題，探索解決問(wèn)題的思路”，其“有助于把握問(wèn)題的本質(zhì)，明晰思維的路徑”。中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：8。

從內(nèi)涵及要素的角度看，幾何直觀其實(shí)就是根據(jù)非圖形表征（包括動(dòng)作表征和符號(hào)表征等）的情境（包括現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境等），作圖并用圖，也就是把圖形視為重要的語(yǔ)言，做好“圖形表征”和“圖形分析”。從價(jià)值與作用的角度看，圖形語(yǔ)言具有直觀形象、簡(jiǎn)明扼要的特點(diǎn)，可以很好地幫助理解知識(shí)和解決問(wèn)題，因此，回顧數(shù)學(xué)史不難發(fā)現(xiàn)，“幾乎所有重要的概念最初都是從幾何（圖形）中來(lái)的”，“幾何（圖形）是數(shù)學(xué)思想的搖籃”。

下面就從圖形表征和圖形分析兩個(gè)方面談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中幾何直觀的培養(yǎng)。

一、圖形表征能力的培養(yǎng)

（一）根據(jù)情境特征，確定圖形類型

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象。從表征的角度看，與數(shù)學(xué)有關(guān)的各種情境都可以利用圖形來(lái)表征或轉(zhuǎn)化為圖形表征。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不同的情境，選擇不同的圖形來(lái)表征（當(dāng)然，情境特征和圖形類型不是嚴(yán)格一一對(duì)應(yīng)的，可以靈活選擇）。

第一，現(xiàn)實(shí)情境中的事物可以用示意圖表征，如用一個(gè)點(diǎn)（或圓圈、方框、三角形等）代表一個(gè)事物，用兩個(gè)點(diǎn)之間的連線代表兩個(gè)事物之間的關(guān)系。由此，可以方便地發(fā)現(xiàn)事物的數(shù)量屬性及其關(guān)系。

例如，“全班18人去公園劃船，租4只船剛好坐滿，每只大船坐5人，每只小船坐3人，則租的大船、小船各有多少只？”對(duì)此，可以畫(huà)出人坐船的示意圖（如圖1所示），從而很容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，得到“大船3只、小船1只”的結(jié)論。

再如，“南山中心小學(xué)舉行足球賽，有4支球隊(duì)參加，分別是紅隊(duì)、黃隊(duì)、綠隊(duì)和藍(lán)隊(duì)，如果每?jī)芍蜿?duì)比賽一場(chǎng)，則一共要比賽多少場(chǎng)？”對(duì)此，可以畫(huà)出4支球隊(duì)比賽關(guān)系的示意圖（如圖2所示），從而很容易數(shù)出一共要比賽6場(chǎng)。

這里特別值得一提的是，現(xiàn)實(shí)情境除了用文字（符號(hào)）語(yǔ)言來(lái)表征之外，也可以用真實(shí)或虛擬的場(chǎng)景或視頻來(lái)表征（本質(zhì)上屬于動(dòng)作表征）。對(duì)此，轉(zhuǎn)化為圖形表征雖然不能凸顯直觀形象的價(jià)值，但是可以發(fā)揮簡(jiǎn)明扼要的作用。

第二，現(xiàn)實(shí)情境中事物的數(shù)量屬性、抽象之后數(shù)學(xué)情境中的數(shù)，可以用幾何意義，如線段（或矩形、長(zhǎng)方體等，即滿足一定幾何度量的圖形）、數(shù)軸上的點(diǎn)（即基于某一“標(biāo)準(zhǔn)”的幾何位置，與其構(gòu)成一定的幾何度量關(guān)系）來(lái)表征。由此，很容易發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果。

例如，“星河小學(xué)美術(shù)組男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的25，已知女生有21人，男生有多少人？”對(duì)此，可以借助數(shù)的幾何意義畫(huà)出線段圖（如圖3所示），從而很容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，得到男生有21×23=14（人）。

再如，計(jì)算12+14+18+116。對(duì)此，可以借助數(shù)的幾何意義畫(huà)出方塊圖（如圖4所示），從而很容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，得到結(jié)果為1-116=1516。

又如，計(jì)算“頭同尾合十”的兩位數(shù)乘法（如22×28）時(shí)，可以借助數(shù)及運(yùn)算的幾何意義畫(huà)出矩形圖（如下頁(yè)圖5所示），從而通過(guò)圖形變換（如下頁(yè)圖6所示），引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律：兩個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)相乘的結(jié)果就是積的末兩位的數(shù)，十位上的數(shù)與比它大1的數(shù)相乘的結(jié)果就是積的末兩位前面的數(shù)。而且，利用兩數(shù)相乘的幾何意義，很容易說(shuō)明乘法交換律以及乘法對(duì)加法的分配律等。

此外，在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的各種統(tǒng)計(jì)圖（條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖等）本質(zhì)上都是將數(shù)（數(shù)據(jù)）用幾何意義來(lái)表征的。

事實(shí)上，尤其是對(duì)小學(xué)生而言，抽象的數(shù)需要借助現(xiàn)實(shí)的情境（情境中的量）來(lái)理解（如1個(gè)人、2棵樹(shù)、3個(gè)石子、4個(gè)珠子）。而人類在數(shù)學(xué)史的探究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，借助空間的度量來(lái)理解，既方便快捷，又符合自身感知的特點(diǎn)（視覺(jué)接受的信息最多，而且現(xiàn)代腦神經(jīng)科學(xué)研究表明，人類通常是通過(guò)“心理數(shù)軸”，基于直觀的空間及其變換來(lái)理解抽象的數(shù)及其關(guān)系與運(yùn)算的。因此，數(shù)和形的聯(lián)系不斷加強(qiáng)，密不可分。這也就使看起來(lái)更像是物理學(xué)分支的幾何學(xué)（物理學(xué)主要研究真實(shí)存在的事物屬性，數(shù)學(xué)主要研究抽象之后的數(shù)量關(guān)系，而空間是真實(shí)存在的事物屬性——長(zhǎng)度、面積等度量是有單位的，其中可以抽象出數(shù)量關(guān)系），變成了數(shù)學(xué)的分支（形式化了的數(shù)量關(guān)系，不管原來(lái)表示哪種事物屬性——比如表示時(shí)間，都可以轉(zhuǎn)化為表示空間屬性——比如表示長(zhǎng)度）。

第三，現(xiàn)實(shí)情境中事物的空間形式可以抽象為幾何圖（也是一種“示意圖”）。由此，更容易研究其中的數(shù)量關(guān)系。

例如，“梅山小學(xué)有一塊長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)8米，在修建校園時(shí)，花圃的長(zhǎng)增加了3米，這樣面積就增加了18平方米，那么原來(lái)花圃的面積是多少平方米？”對(duì)此，可以畫(huà)出原來(lái)花圃和后來(lái)花圃的幾何圖（如圖7所示），從而很容易發(fā)現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，得到原來(lái)花圃的面積為8×183=48（平方米）。

此外，小學(xué)數(shù)學(xué)中有一類典型的問(wèn)題，即行程問(wèn)題，描述的也是事物的空間形式，也可以抽象為幾何圖（一般為線段圖）來(lái)解決。

（二）把握?qǐng)D形本質(zhì)，完善圖意表達(dá)

為了更好地理解和分析圖形中的數(shù)量關(guān)系，確定好圖形的類型后，教師需要引導(dǎo)學(xué)生充分把握情境信息，準(zhǔn)確、全面地構(gòu)造圖形。

首先要把握?qǐng)D形本質(zhì)。無(wú)論用圖形表示事物本身、數(shù)量屬性，還是空間形式，都要把握?qǐng)D形所表示內(nèi)容的本質(zhì)——數(shù)量關(guān)系。因此，具體形式是點(diǎn)是線、是方是圓等并不重要，但數(shù)量關(guān)系一定要準(zhǔn)確反映，不能畫(huà)多了或少了。比如，畫(huà)圖表示14，可以畫(huà)大小不同的多種圖形（正方形、長(zhǎng)方形、圓等），可以按不同的方式分所畫(huà)的圖形（橫、豎、橫豎交叉等），但是都要平均分成4份，表示出其中的1份。

其次要完善圖意表達(dá)。構(gòu)圖的過(guò)程實(shí)際上是細(xì)致梳理、再次明確情境信息的過(guò)程。在把握?qǐng)D形本質(zhì)的基礎(chǔ)上，要注意完善圖意表達(dá)，以全面展現(xiàn)情境信息。首先，要在圖上標(biāo)出已知（圖形表示）的每個(gè)數(shù)據(jù)。其次，要適當(dāng)?shù)貥?biāo)示隱含的信息。例如，針對(duì)“一個(gè)直角三角形，兩個(gè)銳角相差30°，求這兩個(gè)角的度數(shù)”這一問(wèn)題，畫(huà)出直角三角形后，除了標(biāo)出直角以及“兩個(gè)銳角相差30°”這個(gè)已知數(shù)據(jù)之外，最好再標(biāo)示“兩個(gè)銳角和為90°”這個(gè)隱含的信息。

此外需要指出的是，對(duì)于信息比較多的情境，應(yīng)該完整閱讀情境信息，整體把握?qǐng)D形各部分的關(guān)系，再?gòu)暮诵脑爻霭l(fā)，補(bǔ)充次要元素，以合理的順序畫(huà)出全部的圖形，從而確保圖形構(gòu)造的準(zhǔn)確、全面。例如，利用線段圖解決行程問(wèn)題時(shí)，要在明確運(yùn)動(dòng)時(shí)間、運(yùn)動(dòng)方向和起止地點(diǎn)的基礎(chǔ)上構(gòu)圖，表示出研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)軌跡。

二、圖形分析能力的培養(yǎng)

經(jīng)過(guò)圖形表征，情境中的數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)為圖形要素（包括其中的基本圖形）之間的關(guān)系。為了更好地感知、發(fā)現(xiàn)圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，需要分析圖形要素之間的關(guān)系。其具體方式大致可以分為靜態(tài)觀察、動(dòng)態(tài)操作兩種。

（一）靜態(tài)觀察圖形

一個(gè)圖形通常包含諸多要素。教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，從不同角度抽取要素，感知、發(fā)現(xiàn)（猜測(cè)）它們之間的關(guān)系，得到有用的結(jié)論。

例如，面對(duì)問(wèn)題“如圖8所示，矩形ABCD的邊長(zhǎng)為1和x，分別以B、C為圓心，以1為半徑的兩段圓弧交于點(diǎn)M，若圖中的兩個(gè)陰影部分的面積相等，則x=”，教師可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這一問(wèn)題中的基本圖形除了矩形，還有兩個(gè)半徑為1、圓心角為90°的扇形;除了兩個(gè)面積相等的陰影部分，還有兩個(gè)面積相等的“扇形剩余部分”。由此，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)面積相等的陰影部分分別加上一個(gè)“扇形剩余部分”，得到的兩個(gè)圖形（如圖9所示）面積依然相等，而這兩個(gè)圖形加在一起就是整個(gè)矩形。于是，學(xué)生便能夠基于這一數(shù)量關(guān)系，利用扇形面積公式和矩形面積公式，得到方程2×14π×12=1×x，從而解決問(wèn)題。

（二）動(dòng)態(tài)操作圖形

有時(shí)，圖形要素之間的關(guān)系不夠明顯或簡(jiǎn)潔。這時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生操作圖形，讓圖形“動(dòng)”起來(lái)，從而感知、發(fā)現(xiàn)（猜測(cè)）圖形要素之間的關(guān)系，得到有用的結(jié)論。

例如，常見(jiàn)的修路問(wèn)題“一塊長(zhǎng)方形地里有兩條小路（如圖10所示），路寬為2米，這塊地除了路之外還剩多少平方米？”這道題的核心數(shù)量關(guān)系是“總面積-路的面積=剩下的面積”。對(duì)此，一部分學(xué)生直接根據(jù)圖10先求出路的面積，再做減法;另一部分學(xué)生則通過(guò)平移操作得到圖11，發(fā)現(xiàn)剩下的面積就是除去路之后的長(zhǎng)方形面積，然后求得結(jié)果。顯然，第二種方法更加簡(jiǎn)潔，特別是在所修的路斜著（如圖12所示）時(shí)。

此外，求三角形內(nèi)角和、平行四邊形等圖形的面積、圓柱等圖形的體積等，都離不開(kāi)讓圖形“動(dòng)”起來(lái)。

最后需要指出的是，在信息技術(shù)不斷融入教育教學(xué)的當(dāng)下，圖形表征和圖形分析（尤其是圖形的拆分組合和運(yùn)動(dòng)變化等）都可以利用有關(guān)軟件來(lái)輔助，以實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)和高效。