突出數(shù)學本質(zhì)的教學策略

崔靜靜，柴文斌，趙思林

摘要：基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學活動應(yīng)把握數(shù)學的本質(zhì)。數(shù)學教學應(yīng)有意識地突出并引導學生把握數(shù)學本質(zhì)，應(yīng)關(guān)注內(nèi)容的整體性，強化數(shù)學整體的結(jié)構(gòu)性本質(zhì);精心構(gòu)建情境問題，凸顯數(shù)學產(chǎn)生的根源性本質(zhì);全面分析概念的內(nèi)涵，揭示數(shù)學概念的屬性本質(zhì);深化認識命題的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學命題的邏輯本質(zhì);發(fā)掘思考的美學指向，提煉數(shù)學內(nèi)核的思想本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學本質(zhì);知識結(jié)構(gòu);情境問題;數(shù)學思想

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）在“基本理念”中強調(diào)“把握數(shù)學本質(zhì)”：“高中數(shù)學教學以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向……引導學生把握數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)?！痹凇敖虒W建議”中指出：“基于數(shù)學學科核心素養(yǎng)的教學活動應(yīng)把握數(shù)學的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學情境、提出合適的數(shù)學問題，引發(fā)學生思考與交流?！痹凇懊}建議”中指出：“需要突出內(nèi)容主線和反映數(shù)學本質(zhì)的核心概念、主要結(jié)論、通性通法、數(shù)學應(yīng)用和實際應(yīng)用?！蓖瑫r，在正文部分，“本質(zhì)”一詞共出現(xiàn)了28次，除了“數(shù)學（內(nèi)容、知識）（的）本質(zhì)”，還涉及“事物的本質(zhì)”“問題的本質(zhì)”等。

數(shù)學本質(zhì)一般是指數(shù)學學科區(qū)別于其他學科的特征和屬性，常常深藏在數(shù)學現(xiàn)象（情境、問題、知識等）內(nèi)部，隱藏在“建構(gòu)數(shù)學知識體系、感悟數(shù)學思想、應(yīng)用數(shù)學方法解決問題、再發(fā)現(xiàn)或再創(chuàng)造數(shù)學”的過程中。數(shù)學本質(zhì)包括數(shù)學整體的結(jié)構(gòu)性本質(zhì)、數(shù)學產(chǎn)生的根源性本質(zhì)、數(shù)學概念的屬性本質(zhì)、數(shù)學命題的邏輯本質(zhì)以及數(shù)學內(nèi)核的思想本質(zhì)等。數(shù)學教學應(yīng)在數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用（數(shù)學問題解決）的探索、發(fā)現(xiàn)過程中，有意識地突出并引導學生把握數(shù)學本質(zhì)。

一、關(guān)注內(nèi)容的整體性，強化數(shù)學整體的結(jié)構(gòu)性本質(zhì)

單元教學的核心思想是系統(tǒng)思維，它要求教學要跳出課時的限制，從整體上把握數(shù)學的結(jié)構(gòu)。顯然，這對提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，更上位地認識學科本質(zhì)十分必要。通常教材中的章節(jié)就是天然的單元，但依據(jù)知識蘊含的思想方法適當?shù)貙滩恼鹿?jié)進行改造也很有必要。

例如，人教版高中數(shù)學新教材（基于新課標編寫）相比于舊教材，《圓錐曲線的方程》一章刪去了《曲線與方程》一節(jié)，但這部分內(nèi)容是解析幾何的基礎(chǔ)，對學生理解坐標法，學習曲線的性質(zhì)，構(gòu)建嚴密的邏輯思維體系十分關(guān)鍵，因此，這一單元的教學應(yīng)該對這一內(nèi)容進行補充。同時，橢圓、雙曲線、拋物線三部分知識結(jié)構(gòu)極其相似，均從定義、標準方程、幾何性質(zhì)、應(yīng)用四個方面展開研究，有內(nèi)在的統(tǒng)一性，故建議這一單元的教學采用“總—分—總”的基本路徑進行整體構(gòu)建：

如圖1所示，首先，利用教材章引言，通過丹德林雙球模型，整體構(gòu)建圓錐曲線的概念，以此揭示三種曲線的特性及其統(tǒng)一的內(nèi)在聯(lián)系，引出大單元（整章）的學習目標，激發(fā)學生的學習動機，搭建大單元的學習脈絡(luò)，讓學生樹立全局意識;然后，分別進行小單元任務(wù)學習，將學習內(nèi)容分解、細化;最后，引導學生對整個單元蘊含的思想方法進行總結(jié)，實現(xiàn)深度融合的升華。

二、精心構(gòu)建情境問題，凸顯數(shù)學產(chǎn)生的根源性本質(zhì)

在新課標正文部分，“情境”一詞共出現(xiàn)了79次，“問題”一詞共出現(xiàn)了335次，且“情境與問題”位于體現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)的四個方面之首，在數(shù)學教學與學業(yè)質(zhì)量評價方面起著舉足輕重的作用。數(shù)學教學要精心設(shè)計情境問題，讓學生經(jīng)歷“現(xiàn)實情境（含非數(shù)學的其他科學情境）→數(shù)學問題→數(shù)學模型”的數(shù)學抽象、建模過程，體會“數(shù)學源于現(xiàn)實”“數(shù)學知識源于問題”等理念，把握數(shù)學知識產(chǎn)生的根源性本質(zhì)。

例如，教學“計數(shù)原理和排列組合”時，可設(shè)計如下從現(xiàn)實情境到數(shù)學問題，再到數(shù)學模型的學習路徑：

現(xiàn)實情境（1）將5個學生安排到4個社區(qū)參加義務(wù)勞動，每個社區(qū)至少安排一個學生，問：共有多少種不同的安排方法？

（2）將5個獎品分配給4個學生，每個學生至少得到一個獎品，問：共有多少種不同的分配方法？

（3）5個人去住4個房間，每個房間至少住一人，問：共有多少種不同的住法？

數(shù)學問題（1）設(shè)集合A={1，2，3，4，5}，B={6，7，8，9}，f是以A為定義域且以B為值域的函數(shù)，則這樣的函數(shù)f有多少個？

（2）設(shè)集合A={甲，乙，丙，丁，戊}，B={a，b，c，d}，f是從A到B的映射且B中的每一個元素都有原象，則這樣的映射f共有多少個？

數(shù)學模型現(xiàn)實情境（1）（2）（3）和數(shù)學問題（1）（2），都可用排列組合模型C25A44解決。

這樣的學習過程即“情境—問題化，問題—模型化”的“水平數(shù)學化”過程，學生能夠統(tǒng)一地解決諸如現(xiàn)實情境（1）（2）（3）和數(shù)學問題（1）（2）等的大量具體問題。反過來，也可讓學生對排列組合模型C25A44賦予各種實際意義，讓學生經(jīng)歷“數(shù)學模型→現(xiàn)實情境”的應(yīng)用遷移過程。

此案例中，現(xiàn)實情境（1）（2）（3）和數(shù)學問題（1）（2）的數(shù)學本質(zhì)是相同的，它們都能抽象成計數(shù)模型C25A44。這樣的教學，就架起了數(shù)學模型與現(xiàn)實世界之間雙向溝通的橋梁，既能增強學生對數(shù)學本質(zhì)的理解，又為學生在今后面對新穎情境時能夠創(chuàng)造性地運用數(shù)學思想方法解決問題打牢根基。

三、全面分析概念的內(nèi)涵，揭示數(shù)學概念的屬性本質(zhì)

數(shù)學概念是構(gòu)建數(shù)學知識框架和思維方式的基石。全面分析概念的內(nèi)涵，應(yīng)圍繞“是什么”“為什么”“如何用”等基本問題進行思考與探究，以揭示數(shù)學概念的屬性本質(zhì)。

例如，教學“偶函數(shù)的概念”時，便可引導學生圍繞三個基本問題進行思考與探究：

問題1如圖2，這是函數(shù)f（x）=x2的圖像，它有什么對稱性？（關(guān)于y軸對稱。）

追問這種軸對稱性有什么價值？或者說，為什么要研究這樣的對稱性？（對稱是一種數(shù)學美;利用對稱性可以簡便畫出圖像，高效研究性質(zhì);其他軸對稱性可以通過平移或旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化成這樣的軸對稱性，等等。）

問題2函數(shù)f（x）=x2的圖像關(guān)于y軸對稱，如何用數(shù)的形式刻畫？[x2=（-x）2。]

追問為什么要用數(shù)的形式刻畫？（一是畫出圖像一般會有誤差，觀察圖像也會產(chǎn)生誤差，因此僅憑感官獲得的結(jié)論不一定可靠;二是當函數(shù)的圖像難以甚至不能畫出時，就難以甚至不能觀察了。）

問題3若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對稱，則f（x）應(yīng)該滿足怎樣的代數(shù)關(guān)系？[（1）在函數(shù)y=f（x）的圖像上任取一點P（x，f（x）），則函數(shù)圖像上的點P′（-x，f（-x））與其關(guān)于y軸對稱，故f（x）=f（-x）;（2）在函數(shù)y=f（x）的圖像上任取一點Q（x，f（x）），則其關(guān)于y軸對稱的點Q′（-x，f（x））在函數(shù)圖像上，故f（x）=f（-x）。]

這里，問題1從特例入手，指向“是什么”，凸顯形的定義;問題2、3從特殊到一般，指向“怎么用”，凸顯數(shù)的定義;兩個追問均指向“為什么”，凸顯偶函數(shù)概念的價值，激發(fā)學生的學習動機。由此，深刻地揭示了偶函數(shù)的概念本質(zhì)（同時，為建構(gòu)奇函數(shù)的概念搭建了可以類比的研究思路和方法）。

四、深化認識命題的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)學命題的邏輯本質(zhì)

命題是表達（判斷）某些概念之間關(guān)系的語句。數(shù)學知識以（真）命題為主，數(shù)學中的公式、定理、性質(zhì)、法則、推論等都是（真）命題。數(shù)學命題揭示了其“條件”與“結(jié)論”之間的關(guān)系本質(zhì)，即“條件”是“結(jié)論”的充分條件。數(shù)學命題的獲得，最好通過實驗、觀察、推算等方式，引導學生先作出猜想，再進行嚴密的論證。數(shù)學命題的證明，特別是幾何命題的證明，通常先采用分析法思考，再利用綜合法表述。命題不是孤立的，而是處在普遍的聯(lián)系，即大量的相互關(guān)系中。把握命題的關(guān)系本質(zhì)就是要構(gòu)建若干命題之間的邏輯關(guān)系（先后次序）。

例如，對數(shù)的定義是構(gòu)建對數(shù)命題網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)。根據(jù)該定義，可以推出一個等價關(guān)系：ax=Nx=logaN。基于這個等價關(guān)系，又可進一步得到兩個對數(shù)恒等式：alogaN=N，logaax=x。二者分別揭示了指數(shù)的算法和對數(shù)的算法。根據(jù)這兩個對數(shù)恒等式，便可構(gòu)建對數(shù)運算性質(zhì)的命題網(wǎng)絡(luò)。即遵從邏輯順序：定義→等價關(guān)系→對數(shù)恒等式→積的對數(shù)運算性質(zhì)→商的對數(shù)運算性質(zhì)→冪的對數(shù)運算性質(zhì)→換底公式→其他推論形式。

其中需要明確的是，商的對數(shù)運算性質(zhì)本質(zhì)上等價于積的對數(shù)運算性質(zhì)，冪的對數(shù)運算性質(zhì)實際上是積的對數(shù)運算性質(zhì)的一種推廣形式，而其他推論又要基于積、商、冪的對數(shù)運算性質(zhì)。具體教學時，可設(shè)計以下問題串引導學生探究：

問題如果a>0且a≠1，M>0，N>0，證明：loga（MN）=logaM+logaN。（*）

追問1猜想logaMN等于什么，并仿照以上思路證明之。

追問2當M=N時，（*）變成了什么？由此猜想并證明logaMn等于什么，logambn等于什么。

追問3如何綜合利用以上運算性質(zhì)證明換底公式：logab=logcblogca（a>0且a≠1，c>0且c≠1，b>0）？

追問4請根據(jù)換底公式推導logab與1logba之間的關(guān)系。

追問5試猜想loga1a2loga2a3loga3a4…·logan-1an等于什么，并證明之。

追問6試猜想loga1a2loga2a3…logan-1an·logana1等于什么，并證明之。

此外值得一提的是，教材在證明積的對數(shù)運算性質(zhì)時，一開始就設(shè)M=am，N=an。實際上，這種證明方法不夠自然、清晰，很多學生都反映自己“課上聽得懂，課下不會證”。下面對此作出改進：

首先，出示以下兩組式子，讓學生計算，并對計算結(jié)果進行歸納猜想，得到積的對數(shù)運算性質(zhì)（歸納后，也可讓學生再舉例子）：

（1）log28= ，log232= ，log2（8×32）= ;

（2）log39= ，log327= ，log3（9×27）= 。

其次，引導學生證明積的對數(shù)運算性質(zhì)：

先用分析法思考。要證loga（MN）=logaM+logaN，只需證alogaM+logaN=MN ，只需證alogaM·alogaN=MN。因為alogaM=M，alogaN=N，所以alogaM·alogaN=MN是成立的。

再用綜合法表述。具體從略。

以上先分析后綜合的證明方法，比一開始就設(shè)M=am，N=an自然多了。學生掌握了這種證明方法，對其余幾個運算性質(zhì)的證明也就可以獨立完成了。

五、發(fā)掘思考的美學指向，提煉數(shù)學內(nèi)核的思想本質(zhì)

數(shù)學思想內(nèi)蘊于數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用（數(shù)學問題的解決）之中，是數(shù)學教育需要幫助學生感悟（提煉）的重要的數(shù)學本質(zhì)。數(shù)學兼有科學和藝術(shù)的雙重特點，數(shù)學思想常常表現(xiàn)為對美的追求，比如喜愛“對稱”“和諧”、希望“簡潔”“統(tǒng)一”、崇尚“創(chuàng)新”“奇異”等。著名數(shù)學史家M.克萊因認為：“進行數(shù)學創(chuàng)造的最主要驅(qū)動力是對美的追求?！币恍┙艹龅目茖W家從理論的和諧與簡潔的要求出發(fā)，有時憑一種審美直覺就能提出一個設(shè)想和猜測，而常常后來被證明是真的。數(shù)學教學中，教師要引導學生感受數(shù)學思考的美學指向，從而把握數(shù)學內(nèi)核的思想本質(zhì)。

例如，教學“橢圓標準方程的推導”時，引導學生根據(jù)（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=2a，通過教材中“平方再平方”的方法得到橢圓的標準方程后，繼續(xù)引導學生優(yōu)化這一運算量比較大的方法，感受審美直覺指導下的數(shù)學思想：

師左邊是兩個根式的和，還有其他更好的處理根號的方法嗎？從對稱美的角度可以想到什么？

生想到兩個根式的差。

師有和有差，可以怎樣？

生相乘，通過平方差公式，使左邊有理化。

師寫起來根號太多，不妨令（x+c）2+y2=r1，（x-c）2+y2=r2，則r1+r2=2a（r1+r2）（r1-r2）=2a（r1-r2），然后呢？

生因為（r1+r2）（r1-r2）=r21-r22=4xc，所以r1-r2=2xca，所以r1=a+xca，r2=a-xca 。后面代入，就可以得到橢圓方程的標準形式了。

師掌聲獻給她！利用對稱性，由兩式加想到兩式減，進而利用平方差公式得到比較簡單的結(jié)果，以利于后續(xù)運算。其實，這里得到的r1、r2的表示也具有加減的對稱性。為什么會具有這樣的對稱性？由此，你還能想到什么解法？

生因為r1+r2=2a，所以r1、a、r2是等差數(shù)列，即r1、r2關(guān)于a對稱，所以可設(shè)r1=a+t，r2=a-t。

師很好！這種處理方式被稱為“和差術(shù)”，在很多等式、不等式的轉(zhuǎn)化、證明中都會用到。不過，這里引入了一個參數(shù)，該如何處理呢？

生還是平方差，因為這樣算出來結(jié)果比較簡單，即4xc=4at，得t=xca。接下來，把t再代回去，就又得到r1=a+xca，r2=a-xca了。

師他說得太棒啦！其實，這得到的就是橢圓的焦半徑公式，這樣就很容易推導出橢圓的標準方程?？梢?，不只引入符號b（令a2-c2=b2，得x2a2+y2b2=1，并且發(fā)現(xiàn)b的幾何意義）體現(xiàn)了數(shù)學表達的簡潔美、統(tǒng)一美，就連改進橢圓標準方程的推導過程也要在對稱美、和諧美的引導下完成。追求美是一種重要的數(shù)學思想。

總之，突出數(shù)學本質(zhì)需要教師具有深厚的數(shù)學功底，能夠透過各種數(shù)學現(xiàn)象看到數(shù)學本質(zhì)。當然，數(shù)學本質(zhì)具有相對性和層次性等特點，如可以認為數(shù)學情境（問題）的本質(zhì)是數(shù)學知識（模型），數(shù)學知識的本質(zhì)是數(shù)學思想或關(guān)聯(lián)（結(jié)構(gòu)）。