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    感悟數(shù)學(xué)基本思想 發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)

    2022-05-30 10:48:04蘇明強(qiáng)
    關(guān)鍵詞:建模思想核心素養(yǎng)

    蘇明強(qiáng)

    【摘? ?要】數(shù)學(xué)基本思想是“四基”的重要內(nèi)容,發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》的基本導(dǎo)向,感悟數(shù)學(xué)基本思想是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑。教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過感悟抽象思想,學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界;通過感悟推理思想,學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界;通過感悟建模思想,學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界。

    【關(guān)鍵詞】抽象思想;推理思想;建模思想;核心素養(yǎng)

    數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法在更高層次上的抽象與概括,是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的根本,是探索、研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具備的基本思維特征。數(shù)學(xué)基本思想蘊含在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中,在數(shù)學(xué)知識的形成過程中主要蘊含數(shù)學(xué)的抽象思想,在數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程中主要蘊含數(shù)學(xué)的推理思想,在數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程中主要蘊含數(shù)學(xué)的建模思想。因此,數(shù)學(xué)“四基”中的基本思想包括抽象思想、推理思想和建模思想,我們簡稱為“三思”。

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出:數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng),主要包括“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界;會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界;會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”三個方面(簡稱“三會”)。在小學(xué)階段,核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為:數(shù)感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數(shù)據(jù)意識、模型意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)是對“四基”“四能”課程目標(biāo)的繼承與發(fā)展,“四基”“四能”是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體,核心素養(yǎng)對“四基”“四能”提出了更高的要求。

    基本思想與核心素養(yǎng)有何關(guān)聯(lián)?如何通過感悟數(shù)學(xué)基本思想發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?筆者結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”三個學(xué)習(xí)領(lǐng)域的具體例子,闡述“三思”與“三會”的關(guān)聯(lián)以及發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本途徑,為大家落實《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》的基本理念,提供一些教學(xué)參考。

    一、感悟抽象思想——讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界

    抽象是舍棄事物物理屬性得到本質(zhì)屬性的思維過程,它是形成數(shù)學(xué)概念、得到研究對象的必要手段。抽象思想是第一個數(shù)學(xué)基本思想,通常蘊含在數(shù)學(xué)知識的形成過程中。數(shù)是代數(shù)學(xué)的研究對象,數(shù)的認(rèn)識是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的基礎(chǔ),主要包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念、性質(zhì)和規(guī)律。圖形是幾何學(xué)的研究對象,圖形的認(rèn)識是“圖形與幾何”領(lǐng)域的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中,一維圖形主要有線段、射線和直線,二維不封閉圖形主要是角(直角、銳角、鈍角、平角和周角),二維封閉圖形主要有三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形和圓,三維立體圖形主要有長方體、正方體、圓柱、圓錐、球。因此,圖形的認(rèn)識主要是指對以上平面圖形和立體圖形特征的認(rèn)識。

    在“數(shù)的認(rèn)識”和“圖形的認(rèn)識”等知識的形成過程中,蘊含的數(shù)學(xué)基本思想是抽象思想,具體包括分類思想、集合思想、符號表示思想、對應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、“變中有不變”思想等。因此,在“數(shù)的認(rèn)識”和“圖形的認(rèn)識”兩個模塊知識的學(xué)習(xí)中,通過感悟抽象思想,可以讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界,發(fā)展數(shù)感、量感、幾何直觀、空間觀念、符號意識和創(chuàng)新意識,進(jìn)而形成核心素養(yǎng)。

    (一)在“數(shù)的認(rèn)識”學(xué)習(xí)中感悟“抽象”

    數(shù)的認(rèn)識主要包括數(shù)的初步認(rèn)識和數(shù)的再認(rèn)識兩個階段。數(shù)的初步認(rèn)識主要學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念、組成、各部分名稱以及讀法、寫法等。在這些知識的學(xué)習(xí)過程中,我們可以讓學(xué)生感悟分類思想、集合思想、符號表示思想和對應(yīng)思想。通過“數(shù)一數(shù)”,用數(shù)數(shù)的方式發(fā)展學(xué)生的數(shù)感;通過“畫一畫”,用直觀圖式描述數(shù)量問題的方式發(fā)展學(xué)生的幾何直觀;通過“試一試”,用符號表示數(shù)量的方式發(fā)展學(xué)生的符號意識。數(shù)的再認(rèn)識主要學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)。我們可以利用“數(shù)線”讓學(xué)生直觀認(rèn)識數(shù)的大小和相對位置,感悟數(shù)形結(jié)合思想,發(fā)現(xiàn)并提出新的數(shù)學(xué)問題,發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識。我們還可以從“數(shù)的大小”和“數(shù)線上對應(yīng)位置”的角度,引導(dǎo)學(xué)生觀察,直觀感知,如分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的分子和分母都在“變”,而分?jǐn)?shù)的大小和數(shù)線上對應(yīng)的位置“不變”,感悟“變中不變”的思想,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。在數(shù)的認(rèn)識學(xué)習(xí)中,讓學(xué)生學(xué)會用“數(shù)的眼光”觀察現(xiàn)實世界,形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

    (二)在“圖形的認(rèn)識”學(xué)習(xí)中感悟“抽象”

    圖形的認(rèn)識主要包括圖形的初步認(rèn)識和圖形的再認(rèn)識兩個階段。圖形的初步認(rèn)識主要學(xué)習(xí)長方體、正方體、圓柱、圓錐、球以及長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形和圓等。在這些知識的學(xué)習(xí)過程中,我們可以讓學(xué)生感悟分類思想、集合思想和對應(yīng)思想。通過“看一看”,觀察圖形的形狀;“摸一摸”,感受圖形的特點;“說一說”,描述圖形的特點;“想一想”,建立圖形的表象,由此讓學(xué)生認(rèn)識空間物體或圖形的形狀,發(fā)展學(xué)生的空間觀念。圖形的再認(rèn)識主要學(xué)習(xí)圖形的特征,主要包括三個方面。一是從幾何要素:點(頂點)、線(邊或棱)、面(平面)三個維度,通過量化的方式歸納得出圖形的特點,有幾個頂點、幾條邊(棱)和幾個面。二是從幾何要素之間的位置關(guān)系:平行與垂直的角度,抽象概括出平面圖形邊的特征,如對邊互相平行、鄰邊互相垂直。三是從幾何要素之間的大小關(guān)系——相等或不相等的角度,抽象概括出平面圖形邊的特征,如對邊相等、鄰邊相等。在圖形再認(rèn)識的過程中,學(xué)生進(jìn)一步加深對圖形的認(rèn)識,感受同一種圖形,大小“變”了,特征卻“不變”,這就是圖形的本質(zhì)。這樣,學(xué)生不僅感悟了“變中不變”的思想,而且進(jìn)一步發(fā)展了空間觀念。在圖形的認(rèn)識學(xué)習(xí)中,讓學(xué)生學(xué)會用“形的眼光”觀察現(xiàn)實世界,形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

    二、感悟推理思想——讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界

    推理是數(shù)學(xué)思維的主要方式,包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā),憑借經(jīng)驗和直覺,通過歸納或類比的方式推斷結(jié)果的一種思維方式,主要有歸納推理和類比推理。演繹推理是從已有的事實和確定的規(guī)則出發(fā),通過邏輯推理的法則推斷結(jié)果的一種思維方式。推理思想是第二個數(shù)學(xué)基本思想,通常蘊含在數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程中。數(shù)的運算是代數(shù)學(xué)研究對象進(jìn)一步量化的結(jié)果,是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域在數(shù)的認(rèn)識基礎(chǔ)上的進(jìn)一步發(fā)展,主要包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運算。圖形的測量是幾何學(xué)研究對象進(jìn)一步量化的結(jié)果,是“圖形與幾何”領(lǐng)域在圖形認(rèn)識基礎(chǔ)上的進(jìn)一步發(fā)展,主要包括圖形的周長公式、面積公式和體積公式等。平面圖形一維量化的結(jié)果是線段的長度和圖形的周長,平面圖形二維量化的結(jié)果是圖形的面積,立體圖形三維量化的結(jié)果是圖形的體積。

    在“數(shù)的運算”和“圖形的測量”知識的發(fā)展過程中,蘊含的數(shù)學(xué)基本思想是推理思想,具體包括轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、類比思想和演繹思想等。因此,在“數(shù)的運算”和“圖形的測量”兩個知識模塊的學(xué)習(xí)中,通過感悟推理思想,可以讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,發(fā)展運算能力和推理意識,進(jìn)而形成核心素養(yǎng)。

    (一)在“數(shù)的運算”學(xué)習(xí)中感悟“推理”

    數(shù)的運算主要包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四則運算,整數(shù)的四則運算是小數(shù)四則運算的基礎(chǔ),分?jǐn)?shù)的四則運算進(jìn)一步豐富了加法、減法、乘法和除法的內(nèi)涵,進(jìn)一步拓展了四則運算的法則。在數(shù)的運算學(xué)習(xí)過程中,我們可以讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、類比思想和演繹思想。如在整數(shù)四則運算學(xué)習(xí)中,發(fā)展學(xué)生的運算能力,關(guān)鍵在于理解算理和掌握算法。在這里,敘說算理的過程,本質(zhì)上是一個演繹推理的過程,因此,我們應(yīng)該從推理的角度認(rèn)識算理的重要性和必要性。在學(xué)習(xí)小數(shù)四則運算時,我們可以通過類比(整數(shù)與小數(shù))的方式學(xué)習(xí)小數(shù)的加減法,這里蘊含著類比推理,我們可以通過轉(zhuǎn)化的方式,把小數(shù)乘除法問題轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘除法問題,這里蘊含著演繹推理。在分?jǐn)?shù)四則運算學(xué)習(xí)過程中,我們可以通過類比(整數(shù)與分?jǐn)?shù))的方式學(xué)習(xí)同分母分?jǐn)?shù)加減法,這里蘊含著類比推理。學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法時,我們可以通過轉(zhuǎn)化的方式,把異分母分?jǐn)?shù)加減法問題轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法問題,這里蘊含著演繹推理。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法時,通過歸納的方式概括出分?jǐn)?shù)乘法法則,這里蘊含著歸納推理。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法時,可以通過轉(zhuǎn)化的方式,把分?jǐn)?shù)除法問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法問題,這里蘊含著演繹推理。這樣,在數(shù)的運算學(xué)習(xí)中,學(xué)生不僅理解了算理,掌握了算法,而且感悟了運算的一致性,感悟了轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、類比思想和演繹思想。這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的運算能力,還發(fā)展了推理意識,這讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

    (二)在“圖形的測量”學(xué)習(xí)中感悟“推理”

    圖形的測量,在線段長度度量的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步學(xué)習(xí)圖形的周長、面積和體積。在長方形周長公式的學(xué)習(xí)中,我們可以通過歸納(從特殊到一般)的方式,概括出長方形的周長公式,這里蘊含著歸納推理。在正方形周長公式的學(xué)習(xí)中,我們可以通過演繹(從一般到特殊)的方式,推導(dǎo)出正方形的周長公式,這里蘊含著演繹推理。在長方形面積公式的學(xué)習(xí)中,我們可以通過歸納(從特殊到一般)的方式,概括出長方形的面積公式,這里蘊含著歸納推理。在平行四邊形面積公式的學(xué)習(xí)中,我們可以通過轉(zhuǎn)化的方式,把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形,推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式,這里蘊含著演繹推理。在三角形、梯形面積公式學(xué)習(xí)中,我們可以通過轉(zhuǎn)化的方式,把三角形、梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形,推導(dǎo)出三角形和梯形的面積公式,這里蘊含著演繹推理。在圓的面積公式學(xué)習(xí)中,我們可以通過轉(zhuǎn)化的方式,把圓無窮分割拼接轉(zhuǎn)化為長方形,推導(dǎo)出圓的面積公式,這里蘊含著演繹推理。在長方體體積的學(xué)習(xí)中,我們可以通過歸納(從特殊到一般)的方式,概括出長方體的體積公式,這里蘊含著歸納推理。在圓柱體積的學(xué)習(xí)中,我們可以通過轉(zhuǎn)化的方式,把圓柱無窮分割拼接轉(zhuǎn)化為長方體,推導(dǎo)出圓柱的體積公式,這里蘊含著演繹推理。這樣,在圖形的測量學(xué)習(xí)中,學(xué)生不僅理解了公式的推導(dǎo)過程,掌握度量公式,而且感悟了轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、類比思想和演繹思想。這不僅培養(yǎng)了學(xué)生推理意識,還讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界,形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

    三、感悟建模思想——讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界

    數(shù)學(xué)模型是根據(jù)特定的研究目的,采用形式化的數(shù)學(xué)語言表征研究對象特征或關(guān)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界聯(lián)系的重要載體,用數(shù)字、字母和其他數(shù)學(xué)符號建立起來的算式、代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用,包括數(shù)與代數(shù)知識的應(yīng)用、圖形與幾何知識的應(yīng)用、統(tǒng)計與概率知識的應(yīng)用,它們本質(zhì)上都是建立數(shù)學(xué)模型的過程。建立和求解數(shù)學(xué)模型的過程,主要包括:從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)符號建立算式、代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律,求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義,在這個過程中,通常蘊含著建模思想。建模思想是第三個數(shù)學(xué)基本思想,主要包括簡化思想、量化思想、優(yōu)化思想、方程思想、函數(shù)思想、隨機(jī)思想、統(tǒng)計思想。因此,在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等知識的應(yīng)用過程中,通過感悟建模思想,可以讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界,進(jìn)一步發(fā)展數(shù)據(jù)意識、模型意識和應(yīng)用意識,進(jìn)而形成核心素養(yǎng)。

    (一)在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域相關(guān)知識的應(yīng)用中感悟“建?!?/p>

    數(shù)是代數(shù)學(xué)的研究對象,是現(xiàn)實世界中事物“量”的一種抽象,是具體事物量化的一種結(jié)果,數(shù)(包括字母)的運算(算式、代數(shù)式)是數(shù)量關(guān)系的一種抽象,方程是代數(shù)式等量關(guān)系的一種抽象,函數(shù)是變量對應(yīng)關(guān)系的一種抽象。因此,“數(shù)與代數(shù)”知識的應(yīng)用過程,本質(zhì)上是建立數(shù)的模型、算式模型、代數(shù)式模型、方程模型和函數(shù)模型的過程。學(xué)生在建立和求解這些數(shù)學(xué)模型的過程中,可以感悟量化思想、簡化思想、優(yōu)化思想、方程思想和函數(shù)思想,發(fā)展模型意識和應(yīng)用意識,學(xué)會用“數(shù)與代數(shù)”的語言表達(dá)現(xiàn)實世界,形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

    (二)在“圖形與幾何”領(lǐng)域相關(guān)知識的應(yīng)用中感悟“建模”

    圖形是幾何學(xué)的研究對象,是現(xiàn)實世界中物體“形”的一種抽象。長度是線段“量化”的結(jié)果,周長是圖形一維“量化”的結(jié)果,面積是圖形二維“量化”的結(jié)果,體積是圖形三維“量化”的結(jié)果。周長公式、面積公式、體積公式是變量之間對應(yīng)關(guān)系的一種抽象,本質(zhì)上是一種函數(shù)關(guān)系。如長方形的周長公式C=[(ɑ+b)×2]和面積公式S=ɑ×b本質(zhì)上都是二元函數(shù),長方體的體積V=ɑbc本質(zhì)上是三元函數(shù)等。因此,“圖形與幾何”知識的應(yīng)用過程,本質(zhì)上是建立周長模型、面積模型、體積模型的過程,在建立和求解這些數(shù)學(xué)模型的過程中,可以感悟量化思想、簡化思想、優(yōu)化思想和函數(shù)思想,發(fā)展模型意識和應(yīng)用意識,促進(jìn)學(xué)生學(xué)會用“圖形與幾何”的語言表達(dá)現(xiàn)實世界,形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

    (三)在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域相關(guān)知識的應(yīng)用中感悟“建?!?/p>

    數(shù)據(jù)是統(tǒng)計學(xué)的研究對象,統(tǒng)計是數(shù)據(jù)蘊含規(guī)律的一種刻畫,統(tǒng)計表是直觀整理數(shù)據(jù)的一種方式,統(tǒng)計圖(條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖)是直觀描述數(shù)據(jù)的一種方式,統(tǒng)計量(平均數(shù)、百分?jǐn)?shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差)是理性分析數(shù)據(jù)的一種方式。隨機(jī)事件是概率的研究對象,概率是體現(xiàn)隨機(jī)事件規(guī)律的一種表達(dá),用“可能、一定、不可能”是定性描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的一種方式,用分?jǐn)?shù)是定量描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的一種方法。因此,統(tǒng)計與概率知識的應(yīng)用過程,本質(zhì)上是建立統(tǒng)計模型和概率模型的過程。在建立和求解這些數(shù)學(xué)模型的過程中,學(xué)生可以感悟量化思想、簡化思想、優(yōu)化思想、統(tǒng)計思想和隨機(jī)思想,發(fā)展數(shù)據(jù)意識、模型意識和應(yīng)用意識,學(xué)會用“統(tǒng)計與概率”的語言表達(dá)現(xiàn)實世界,形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.

    [2]史寧中.數(shù)學(xué)基本思想18講[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2016.

    [3]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

    (泉州師范學(xué)院教育科學(xué)研究所? ?362000)

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    建模意識,溝通初中數(shù)學(xué)與生活
    思想教育視域下公民核心素養(yǎng)教育的研究
    考試周刊(2016年86期)2016-11-11 08:51:29
    高等數(shù)學(xué)建模思想與大學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維養(yǎng)成實踐研究
    如何培養(yǎng)學(xué)生的化學(xué)核心素養(yǎng)
    考試周刊(2016年79期)2016-10-13 23:11:06
    作為“核心素養(yǎng)”的傾聽
    今日教育(2016年7期)2016-10-08 09:44:23
    “1+1”微群閱讀
    向著“人”的方向邁進(jìn)
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