單位圓在三角函數(shù)教學中的作用

摘要：將單位圓融入三角函數(shù)教學，能夠令抽象難懂的三角函數(shù)知識變得形象直觀，從而易于學生理解，簡化教學過程，優(yōu)化教學效果.

關(guān)鍵詞：單位圓;三角函數(shù);教學;輔助作用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0104-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：郭芳麗（1965.4-），女，陜西省西安人，中學高級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

在初中，我們利用直角三角形學習了銳角三角函數(shù)；到了高中，為進一步研究任意角的三角函數(shù)，需要借助單位圓.單位圓簡單直觀，具有圓的對稱性和旋轉(zhuǎn)不變性，三角函數(shù)有了單位圓的加入，便展開了一系列行之有效的教學活動.

1 理解弧度制

在高中階段，弧度制的學習是一個難點，為了突破這個難點，我們借助單位圓來直觀理解.如圖1，在單位圓中，長度為1的弧AB所對的圓心角∠AOB就是1弧度角.“弧度制”是用弧的長度來度量角的大小，弧度制統(tǒng)一了角度與長度的單位.

在講解角的集合與實數(shù)集對應(yīng)關(guān)系的過程中，引入（如圖2所示）單位圓模型：讓單位圓M與數(shù)軸相切于原點O，把數(shù)軸看成一個皮尺， 對于任意一個正數(shù)a，它對應(yīng)數(shù)軸上的點A，把線段OA逆時針方向纏繞到單位圓M上，點A對應(yīng)單位圓上的點 A′，這樣以MO為始邊，經(jīng)逆時針方向旋轉(zhuǎn)以MA′為終邊的圓心角α的弧度數(shù)為正數(shù)a；同樣對于任意一個負數(shù)b，對應(yīng)數(shù)軸上的點B，將線段OB順時針方向纏繞到單位圓M上，點B對應(yīng)單位圓上點B′，則以MO為始邊經(jīng)過順時針方向旋轉(zhuǎn)以MB′為終邊的圓心角β的弧度數(shù)為負數(shù)b.

2 定義任意角的三角函數(shù)

如圖3，在直角坐標系的單位圓中，用角α的終邊與單位圓交點p（u，v）的縱坐標v、橫坐標u分別定義角α的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，記作v=sinα和u=cosα；比值

vu定義為角α的正切函數(shù)，記作

vu=tanα，其中

α∈R，α≠π2+kπ，k∈Z.用單位圓定義任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)的定義是一致的.

3 推導(dǎo)誘導(dǎo)公式

利用單位圓的對稱性與幾何直觀易得：

（1）角α與-α的終邊關(guān)于x軸對稱，終邊與單位圓交點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)（圖4），即

cos（-α）=cosα=u，sin（-α）=-sinα=-v.

（2）角α與α±π的終邊關(guān)于原點對稱，終邊與單位圓交點的橫、縱坐標均互為相反數(shù)，即cos（α±π）=-cosα=-u，sin（α±π）=-sinα=-v（圖5）.

（3）角α與π-α的終邊關(guān)于縱軸對稱，終邊與單位圓交點的橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標相等，即

cos（π-α）=-cosα=-u，sin（π-α）=sinα=v（圖6）.

（4）角α與π2-α的終邊關(guān)于直線y=x對稱，終邊與單位圓交點坐標滿足關(guān)系：角α的橫坐標是角

π2-α的縱坐標，角α的縱坐標是角π2-α

的橫坐標，即sin（π2-α）=cosα=u，cos（π2-α）=sinα=v（圖7）.

（5）對于角α與α+π2

的三角函數(shù)關(guān)系（圖8），應(yīng)用平面幾何知識結(jié)合圖形可知：角α的橫坐標等于角α+π2的縱坐標，角α的縱坐標等于角α+π2的橫坐標的相反數(shù)，即sin（α+π2）=cosα=u，cos（α+π2）=-sinα=-v.

4 研究三角函數(shù)性質(zhì)

如圖9，在給定的單位圓中，設(shè)任意角x的終邊與單位圓交于點P（cosx，sinx），當自變量x變化時，點P的橫、縱坐標也在變化.根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的定義，易知以下基本性質(zhì)：

（1）定義域是R;

（2）值域是［-1，1］；

（3）周期是2π；

（4）單調(diào)性：如圖10，在單位圓中，當角x由

-π2增大到π2時，sinx的值由-1增加到1，當角x由π2增大到

3π2時，sinx的值由1減小到-1.因此，正弦函數(shù)在區(qū)間［-π2，π2］上單調(diào)遞增，在區(qū)間［π2，3π2］上單調(diào)遞減.由周期性可知，正弦函數(shù)在［2kπ-π2，2kπ+π2］（k∈Z）上單調(diào)遞增，在區(qū)間［2kπ+π2，2kπ+π2］（k∈Z）

上單調(diào)遞減.同樣，如圖11，余弦函數(shù)在［（2k-1）π，2kπ］（k∈Z）上單調(diào)遞增，在［2kπ，（2k+1）π］（k∈Z）上單調(diào)遞減.

5 繪制三角函數(shù)的圖象

（1）先作出三角函數(shù)線：在圖12中，設(shè)單位圓與任意角α的終邊交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為點M，過點A（1，0）作x軸的垂線，與角α的終邊或終邊的反向延長線交于點T，則有向線段MP，OM，AT就是角α的正弦線、余弦線和正切線.

（2）再借助正弦線和正切線繪出正弦函數(shù)和正切函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象（圖13）.

6 證明同角三角函數(shù)關(guān)系

如圖14，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點

P（u，v），根據(jù)三角函數(shù)定義有：u=cosα，v=sinα，tanα=vu（u≠0）.所以tanα=sinαcosα（α≠π2+ kπ， k∈Z）.由勾股定理知OM2+MP2=1，即u2+v2=1.所以sin2α+cos2α=1.

7 推證兩角差的余弦公式

如圖15，在單位圓中，設(shè)銳角α，β（α>β）的終邊分別交單位圓于點A（cosα，sinα）， B（cosβ，sinβ），則兩個單位向量OA，OB的夾角為α-β.

于是OA·OB=cos（α-β） .

又OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβ，

所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

總之，將單位圓融入三角函數(shù)教學，不僅有很好的輔助借鑒意義，還事半功倍.

參考文獻：

［1］吳勇.聚焦單位圓[J].語數(shù)外學習（數(shù)學教育），2012（09）：33.