初高中數學教學有效銜接的問題設計
——以“絕對值”拓展教學為例

張 倩，倪金根

(1.安吉縣高禹中學，浙江 安吉 313300；2.湖州市教育科學研究中心，浙江 湖州 313000)

0 引 言

基于學生的認知基礎和思維能力，初高中數學教學有其各自的使命與側重.隨著學生認知的不斷深化和知識難度的螺旋上升，初中的一些教學內容在高中數學教學中還需繼續(xù)加深與強化.《義務教學數學課程標準(2021年版)》指出，數學知識的教學要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體的知識體系中，處理好部分知識與整體知識的關系，引導學生從不同角度、不同層次去分析和理解數學知識，感受數學知識的整體性[1].

當前的初高中數學教學不太注重知識的聯(lián)結與延伸，缺乏對相同教學內容的前后呼應和脈絡梳理，致使學生對知識的掌握停留在“碎片化”記憶階段，對學科的理解常常管中窺豹，難以整體把握教學內容的發(fā)展脈絡和知識體系，更難體會和感受數學知識表層內隱思想方法的一脈相承[2].如何找準初高中數學教學的契合點，把握好知識“源起”與思維“遠點”之間的關系，做好初高中數學教學的有效銜接，為知識的深化與拓展、技能的豐富與精進鋪路搭橋，是值得我們深入思考與探索的.本文以“絕對值”拓展教學為例，探究初高中數學教學有效銜接的問題設計，從而獲得數學教學有效銜接的啟示.

1 教學主線，導圖呈現

“絕對值”在初高中數學課程體系中均有涉及.初中階段課標要求學生掌握絕對值|a|的代數定義，會求有理數的絕對值，理解絕對值在一維數軸|a|上的幾何意義，并能借助幾何意義理解絕對值的非負性.高中階段課標要求學生理解|x|、|x±a|的幾何意義，會解決含絕對值的方程、不等式、函數等問題，并能運用數形結合的方法理解掌握絕對值三角不等式(||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|)，在絕對值中體會數形結合、轉化化歸等數學思想.

結合初高中不同學段對絕對值的教學要求，立足初中學生的知識源起，面向高中學生的思維遠點，本文以“絕對值”拓展教學為例，設計從“一維”到“三維”的初高中數學教學有效銜接的基本思路[3]，見圖1.

圖1 “絕對值”拓展教學思維導圖Fig.1 An expanded teaching mind map of “absolute value”

2 立足知識源起——在一維視角下認清絕對值的定義

初中學生已有的認知和經歷是初高中教學有效銜接的根底.唯有立足知識源起，在一維視角下認清絕對值的本質，才能在后續(xù)的學習與探究中找準根基，拾級而上.

2.1 回顧定義，強化概念

師：我們在初中階段已學過絕對值的概念，請問何為絕對值？

生：一般地，在數軸上表示數a的點與原點的距離叫作數a的絕對值，記作“|a|”.

問題1如何在數軸上表示|5|、|-3|、|0|……

設計意圖利用數形結合理解概念.以5、-3、0等具體數的絕對值為例，借助數軸，通過具體數所對應的點與原點間的距離，從幾何角度理解絕對值的概念.

問題2|a|表示什么？|x|表示什么？

設計意圖從具體到抽象，從個例|5|、|-3|、|0|……的距離表示，到一般化|a|的距離表示，最后概括出一維數軸上絕對值的幾何本質——兩點之間的距離.

從定量到變量，從靜態(tài)的數a所對應的點到原點的距離，上升到動態(tài)的數x所對應的動點到原點的距離，對絕對值幾何本質的認識從靜態(tài)上升到動態(tài)，即隨著x的變化，絕對值表示的距離也會變化.

2.2 把握本質，深化理解

問題3|x-2|、|x+2|分別表示什么？

設計意圖從特殊到一般，把|x|所表示的“數x所對應的點與原點的距離”轉化為更一般的“兩點間的距離”，進一步概括出|x-a|實質是表示數x所對應的點與數a所對應的點之間的距離.

從“減”擴展到“加”，進一步認識“加”與“減”互為逆運算的屬性，即|x+a|實質等同于|x-(-a)|，表示數x所對應的點與數-a所對應的點之間的距離.

問題4能否根據絕對值的幾何意義，求解|x|=1？對方程|x-2|=1又該如何求解？

設計意圖從幾何直觀入手，解決形如|x|=m(m>0)、|x-a|=m(m>0)的絕對值問題.利用數軸上的正向距離與反向距離，直觀地解釋方程的解所具有的不唯一性(具有兩個解).

問題5|x-2|+|x+3|有何幾何意義?→|x-2|+|x+3|=5是否有解？→不等式|x-2|+|x+3|≥5的解是什么？→已知y=|x-2|+|x+3|，求y的最小值?

設計意圖從含一個“絕對號”的等式問題上升到含兩個“絕對號”的等式問題，從含絕對值的等式問題上升到不等式及函數最值問題，以問題串的形式實現問題難度的螺旋式上升，并在難度遞進的過程中牢牢抓住“兩點間的距離”這一幾何本質，讓學生體會“形變而神不變”！

2 巧設學習支架——在二維視角下挖掘絕對值的內涵

在一維數軸上，我們已經認清了|x|、|x-a|、|x+a|的幾何意義，并學會了利用“兩點間的距離”這一幾何本質解決等式、不等式及函數最值等一系列問題.那么，在二維平面直角坐標系下，這些絕對值又有何含義？初高中數學教學的有效銜接就是要通過巧設支架找到聯(lián)結點，找到“新知”與“舊知”之間的內在關聯(lián)，從而實現拓展與延伸.

2.1 方法遷移，由點到線

問題6已知P(2，1)是平面直角坐標系中的一個點，該點到x軸(即直線y=0)、y軸(即直線x=0)的距離分別是多少？

變式1已知P是平面直角坐標系中的一個點，且該點到x軸(即直線y=0)、y軸(即直線x=0)的距離分別是2和1，則點P的坐標為多少？

變式2若P的坐標是(x，y)，則該點到x軸(即直線y=0)、y軸(即直線x=0)的距離如何表示？

變式3若P的坐標是(x，y)，則該點到直線x=2、直線y=-1的距離如何表示?

變式4若P的坐標是(x，y)，則該點到直線x=a、直線y=b的距離如何表示?

設計意圖基于一維視角下兩點之間的距離可用絕對值來表示，嘗試將二維視角下點到直線的距離也用絕對值來刻畫，即將點P(x，y)到直線x=a、直線y=b的距離分別表示為|x-a|、|y-b|.

2.2 鏈接中考，整體建構

變式5對平面直角坐標系中任意兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，|x1-x2|+|y1-y2|稱作P1、P2兩點之間的直角距離，記作d(P1,P2).已知O為坐標原點，動點P(x,y)滿足d(O,P)=2，請寫出x和y滿足的等量關系，并畫出所有滿足條件的P所組成的圖形[4].

設計意圖鏈接中考考點中提到的“直角距離”(高中曼哈頓距離)，d(O,P)=|x-0|+|y-0|.d(O,P)=2，即|x-0|+|y-0|=2.通過“直角距離”這一概念，將二維平面直角坐標系中形如 |x-a|、|y-b|的一元絕對值“點到直線的距離”的幾何本質,擴展與遷移至|x-0|+|y-0|這類含兩個未知數的絕對值“直角距離”的幾何本質，在難度上呈螺旋式上升.

變式6若P的坐標(x，y)滿足|x-a|+|y-b|=2，能否猜想其表示的圖形?

點P與點(a,b)之間的“直角距離”可通過|u|+|v|=2的圖形平移得到，從而猜想滿足|x-a|+|y-b|=2所表示的圖形，即由d(O,P)=|x-0|+|y-0|=2對應的正方形平移得到.

3 觸及思維遠點——在三維視角下猜想絕對值的本質

三維視角下的絕對值，并非初高中數學教學要求的范疇，教學中設置此環(huán)節(jié)的初衷不是學生能否真正畫出式子所代表的確切圖形，而是學生能否從橫向和縱向角度編織知識網絡，感受零散知識間內在的連接與統(tǒng)一，對各階段所學的內容進行整體地認知與建構，從而為后續(xù)的自我研究提供指引.

問題7類比|x-a|在一維數軸及二維平面上的幾何意義，能否猜想|x-a|在三維空間中的意義?

設計意圖由|x-a|在一維數軸上所代表的“點點距離”，以及在二維平面上所代表的“點線距離”，合理猜想其在三維空間中的幾何意義為“點面距離”.

問題8類比|x|+|y|=2，能否猜想|x|+|y|+|z|=2在三維空間中所對應的圖形？

設計意圖依據“直角距離”的概念感知，類比|x|+|y|=2在二維平面中表示的由線、線圍成的正方形，合理猜想|x|+|y|+|z|=2在三維中表示的是由面、面圍成的“體”.

4 初高中數學有效教學銜接的啟示

4.1 捋清知識脈絡——“學會”

“絕對值”拓展教學設計，遵循的是先在一維數軸上認清|x|、|x-a|、|x+a|的幾何意義，再上升至二維平面認識|x|、|y|、|x-a|、|y-b|、|x|+|y|、|x-a|+|y-b|的幾何意義.在課堂的總結環(huán)節(jié)，教師要幫助學生捋清“絕對值”拓展教學的知識脈絡，讓學生感受絕對值在一維、二維不同層次上螺旋式上升的幾何意義，以及本質上的一脈相承，從而為后續(xù)理解絕對值在三維空間中的幾何意義提供知識積蓄.

4.2 把握解題要領——“會學”

課堂教學的要義在于如何提升40 min的精度和效度，教學追求的目的不僅是讓學生“學會”，更應是讓學生“會學”，即學生能通過典型例題的講練，抽象出題面背后所考察的知識核心和本質概念，概括出一類題的通性通法，從而達到舉一反三、觸類旁通的效果.“絕對值”拓展教學設計雖涵蓋有關絕對值的等式、不等式、函數最值等多類題型，但在該專題教學中常用到的解題方法就是“轉化”——將代數問題轉化為幾何直觀.把握絕對值的幾何含義才是解決相關問題的制勝法寶.因此,教師在進行銜接教學時，應回歸概念定義、抓牢幾何本質，做到以不變應萬變，從而形成前后邏輯連貫的解題技能，為解決千變萬化的數學問題提供依據[5].

4.3 領會思想精髓——“得法”

數學思想蘊涵在數學知識的形成、開展和應用過程中，是數學知識和方法更高層次的抽象與概括.就“絕對值”拓展教學而言，教師要讓學生在知識的掌握和通性通法的概括中感受解決這類問題蘊含的數學思想，即立足幾何視角，借助數形結合，把抽象問題直觀化，進而發(fā)現問題的實質，采用“以形示數”的策略找到問題的突破口.這種解決問題的“套路”在數學研究中具有廣泛的適用性.

4.4 積累活動經驗——“得道”

數學活動經驗的積累是讓學生在不斷經歷、思考、試錯、解決的過程中，探索“發(fā)現問題——數學建?！桨冈O計——解決問題”的路徑，形成可推廣復制的解決問題的思維策略和一般模式.“絕對值”拓展教學就是通過構架“一維數軸——二維平面”的研究思路，以及“兩點間的距離——點到直線的距離”的活動主線，引導學生遵循從特殊到一般、從簡單到復雜的研究問題路徑，用聯(lián)系的觀點整體把握不同維度絕對值的幾何本質，引導學生提出“三維空間”下“點到平面的距離”的設想，從而為學生的后續(xù)學習指明方向.

5 結 語

知識的學習沒有窮盡，教學不僅要解決學生“學會”的問題，還要解決學生“會學”的問題.初高中“絕對值”拓展教學的有效銜接，不應停留在知識、技能層面，而要上升到活動經驗和思想意識層面去授人以“漁”.因此，在初高中教學銜接的“絕對值”拓展教學設計上，教師應立足初中學生實際的數學能力，打通絕對值一維、二維的內在聯(lián)系，由淺入深層層推進，最終觸及學生思維的遠點，從而為學生后續(xù)在三維下研究絕對值問題提供思路與想法，使學生不僅“得法”，更能“得道”.