帶有導(dǎo)子的n-李代數(shù)形變

徐江南，杜 磊

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

代數(shù)形變理論最先由Gerstenhaber提出,在文獻(xiàn)[1]中,Gerstenhaber介紹了結(jié)合代數(shù)的形變.自Gerstenhaber之后,各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的形變開始被許多學(xué)者研究[2-6].1966年，Nijenhuis和Richardson研究了分次李代數(shù)的形變[2];2004年，Yau研究了余代數(shù)代數(shù)同態(tài)的形變[3]；2019年，Tang等構(gòu)造李代數(shù)帶有導(dǎo)子的上同調(diào),并用其研究了一些問(wèn)題[4]；2021年，Sun等構(gòu)造n-李代數(shù)帶有導(dǎo)子的上同調(diào),討論了n-李導(dǎo)子對(duì)的上同調(diào)與相應(yīng)萊布尼茲導(dǎo)子對(duì)的上同調(diào)之間的關(guān)系,定義了近似形變，并研究了Nijenhuis算子和O-算子與n-李導(dǎo)子對(duì)之間的關(guān)系[5].本文主要對(duì)n-李代數(shù)帶有導(dǎo)子的形變進(jìn)行更深入的研究.

1 預(yù)備知識(shí)

下面簡(jiǎn)單回顧n-李代數(shù)的相關(guān)概念及其用到的兩個(gè)上鏈復(fù)形.

對(duì)任意的σ∈Sn,定義sgn(σ)為σ的符號(hào),即若σ為奇置換,則sgn(σ)=-1；若σ為偶置換,則sgn(σ)=1.設(shè)V是域上的線性空間,k為任意正整數(shù),定義?kV為k個(gè)V的張量積.

定義1[7]一個(gè)n-李代數(shù)是指一個(gè)線性空間N，以及N上一個(gè)n-元多重線性映射[·,…,·]:?nN→N,且該線性映射滿足以下等式:

[x1,…,xn]=sgn(σ)[xσ(1),…,xσ(n)],

(1)

(2)

對(duì)任意的σ∈Sn和xi,yj∈N均成立.

定義2[7]n-李代數(shù)(N,[·,…,·])的一個(gè)導(dǎo)子是指一個(gè)線性映射D:N→N滿足以下條件：

(3)

對(duì)任意的x1,…,xn∈N.定義Der(N)為n-李代數(shù)(N,[·,…,·])的所有導(dǎo)子構(gòu)成集合.

定義3設(shè)N是一個(gè)n-李代數(shù)，D是N的一個(gè)導(dǎo)子，稱(N,D)為一個(gè)n-李導(dǎo)子對(duì).

設(shè)(N,[·,…,·])是一個(gè)n-李代數(shù).下面介紹n-李代數(shù)以自身為系數(shù)的上同調(diào)復(fù)形.為使上同調(diào)復(fù)形形式更簡(jiǎn)潔,先定義一些映射.定義線性空間∧n-1N為L(zhǎng)(N),定義線性映射ad:L(N)∧N→N,雙線性映射[ , ]:L(N)×L(N)→L(N)分別為:

對(duì)任意的x=x1∧…∧xn-1∈L(N),y=y1∧…∧yn-1∈L(N),z∈N.

定義4[8]設(shè)(N,[·,…,·])是一個(gè)n-李代數(shù),則N以自身為系數(shù)的上同調(diào),定義為Hp(N),是上鏈復(fù)形C*(N,N)的上同調(diào)群.其中，C*(N,N)定義如下：C*(N,N)的0-上鏈定義為0,對(duì)p≥0,C*(N,N)的(p+1)-上鏈為所有的線性映射f：?pL(N)∧N→N.定義C*(N,N)的(p+1)-上鏈為Cp(N,N).C*(N,N)的微分dp+1:Cp(N,N)→Cp+1(N,N)定義如下：

dp+1f(a1,…,ap,ap+1,z)=

(4)

為方便起見(jiàn),下面將省略微分dp+1的上標(biāo),用d來(lái)代替dp+1.

設(shè)(N,[·,…,·])是一個(gè)n-李代數(shù),D是它的一個(gè)導(dǎo)子.為使上鏈復(fù)形的微分運(yùn)算更簡(jiǎn)潔,先定義一些算子：

(5)

(Ⅱ)δ:Cp(N,N)→Cp(N,N),?f∈Cp(N,N),ai∈L(N),z∈N定義為：

(6)

定義控制導(dǎo)子形變的復(fù)形為C*(N,D).C*(N,D)的各項(xiàng)定義如下：

對(duì)任意的p≤0,

Cp(N,D)=0.

對(duì)任意的p≥2,

C1(N,D)=C1(N,N)=Hom(N,N),

Cp(N,D)=Cp-1(N,N)×Cp-2(N,N).

下面定義C*(N,D)上的微分算子.

對(duì)p=1,定義?:C1(N,D)→C2(N,D)為：

?f=(df,(-1)1δf),?f∈C0(N,N).

對(duì)p≥2,定義?:Cp(N,D)→Cp+1(N,D)為：

?(f,g)=(df,dg+(-1)pδf),?f∈Cp-1(N,N),g∈Cp-2(N,N).

定理1[5](C*(N,D),?)是一個(gè)復(fù)形.

2 n-李代數(shù)帶有導(dǎo)子的形變

設(shè)(N,D)是一個(gè)n-李導(dǎo)子對(duì),考慮一族線性映射：

[·,…,·]t=∑i≥0[·,…,·]iti,Dt=∑i≥0Diti，

其中，[·,…,·]i∈C1(N,N),[·,…,·]0=[·,…,·],Di∈C0(N,N),D0=D.則有以下定義：

定義5[5]如果對(duì)任意的x1,…x2n-1∈N,([·,…,·]t,Dt)滿足以下條件：

(7)

(8)

則稱([·,…,·]t,Dt)是n-李導(dǎo)子對(duì)(N,D)的一個(gè)單參數(shù)形式形變.

展開式(7)、式(8)，并比較tk次項(xiàng)系數(shù),發(fā)現(xiàn)式(7)、式(8)等價(jià)于以下兩組等式對(duì)任意的k≥0均成立：

(9)

(10)

命題1[5]設(shè)([·,…,·]t,Dt)是n-李導(dǎo)子對(duì)(N,D)的一個(gè)形式形變,稱([·,…,·]1,D1)為形式形變([·,…,·]t,Dt)的無(wú)窮小形變,則([·,…,·]1,D1)是復(fù)形C2(N,D)的一個(gè)2-上邊緣.

定義6設(shè)([·,…,·]t,Dt)和([·,…,·]′t,D′t)是n-李導(dǎo)子對(duì)(N,D)的兩個(gè)形式形變，則從形式形變([·,…,·]′t,D′t)到形式形變([·,…,·]t,Dt)的一個(gè)形式自同構(gòu)定義為Φt=∑i≥0φiti:N[[t]]→N[[t]],其中φi∈C0(N,N),且φ0=Id,并滿足以下條件:

Φt([x1,…,xn]′t)=[Φt(x1),…,Φt(xn)]t，

(11)

Φt°D′t=Dt°Φt.

(12)

如果存在一個(gè)形式自同構(gòu)Φt:([·,…,·]′t,D′t)→([·,…,·]t,Dt),兩個(gè)形式形變([·,…,·]t,Dt)和([·,…,·]′t,D′t)稱為等價(jià)的.

定理2設(shè)([·,…,·]t,Dt)和([·,…,·]′t,D′t)是n-李導(dǎo)子對(duì)(N,D)的兩個(gè)等價(jià)的形式形變,則它們的無(wú)窮小形([·,…,·]1,D1)和([·,…,·]′1,D′1)屬于同一個(gè)上同調(diào)類.

證明設(shè)Φt:([·,…,·]′t,D′t)→([·,…,·]t,Dt)為一個(gè)形式自同構(gòu),比較等式(11)、式(12)的t次項(xiàng)系數(shù),則有：

D′1(x)+(φ1°D)(x)=D1(x)+(D°φ1)(x),

即

定理3n-李導(dǎo)子對(duì)(N,D)的一個(gè)形式形變稱為平凡的,如果它等價(jià)于([·,…,·],D).若H2(N,D)=0,則n-李導(dǎo)子對(duì)(N,D)的任何形式形變均是平凡的.

證明設(shè)([·,…,·]t,Dt)是(N,D)的一個(gè)形式形變.從命題1可知,它的無(wú)窮小形變([·,…,·]1,D1)∈Z2(N,D).由于H2(N,D)=0，故存在φ1∈C1(N,N)，使得([·,…,·]1,D1)=?(φ1),定義Φt=Id-φ1t,則可得到形式形變([·,…,·]′t,D′t).其定義如下：

故([·,…,·]′t,D′t)等價(jià)于([·,…,·]t,Dt).將以上兩個(gè)等式展開,有：

D′t=Id+D′2t2+D′3t3+….

經(jīng)命題1中類似的計(jì)算，可得([·,…,·]′2,D′2)∈Z2(N,D).重復(fù)以上運(yùn)算步驟,即可證明([·,…,·]t,Dt)等價(jià)于([·,…,·],D).

3 近似形變的延拓

定義8設(shè)([·,…,·]t,Dt)是(N,D)的一個(gè)N階形式形變,稱([·,…,·]t,Dt)是可延拓的.若存在([·,…,·]N+1,DN+1)∈C2(N,D),使得在如下定義下：

[·,…,·]′t=[·,…,·]t+[·,…,·]N+1tN+1,D′t=Dt+DN+1tN+1,

([·,…,·]′t,D′t)是(N,D)的N+1階形式形變.

(13)

(14)

證明若(N,D)的N階形變([·,…,·]t,Dt)是可延拓的,存在([·,…,·]N+1,DN+1)∈C2(N,D),使得([·,…,·]′t,D′t)在以下定義下：

[·,…,·]′t=[·,…,·]t+[·,…,·]N+1tN+1,D′t=Dt+DN+1tN+1，

([·,…,·]′t,D′t)是(N,D)的N+1階形變，且對(duì)任意的k=N+1都滿足式(9)、式(10).比較其中tN+1次的系數(shù),可得:

根據(jù)定理4和命題2,可以得到以下推論：

推論若H3(N,D)=0,則(N,D)的任何一個(gè)N階形式形變均可延拓成(N,D)的形式形變.

4 命題2的證明

(15)

(16)

(17)

(18)

由等式(4)中d的定義,有：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

由于對(duì)任意的0≤k≤N,([·,…,·]t,Dt)滿足式(9)，則有：

將式(25)展開得：

經(jīng)計(jì)算可得:

(15)+(16)+(19)+(22)+(25)=

(34)

(35)

由于對(duì)任意的0≤k≤N,([·,…,·]t,Dt)滿足式(10)，因此展開式(34)和式(35)得：

同理，由式(10),對(duì)任意的0≤k≤N,有：

用它將式(26)、式(20)和式(23)展開,通過(guò)計(jì)算,可得：

(18)+(26)+(28)+(35)=

(36)

(37)

(17)+(20)+(23)+(30)+(32)+(34)=

(38)

(39)

繼續(xù)計(jì)算可得：

(27)+(29)+(36)+(37)=

(40)

(21)+(24)+(31)+(33)+(38)+(39)=

(41)

證畢.

5 實(shí) 例

設(shè)A是一個(gè)線性空間,e1、e2、e3為A的一組基,定義A上的括號(hào)運(yùn)算[·,…,·]為[e1,e2,e3]=e1，則(A,[·,…,·])是一個(gè)3-李代數(shù).

分別定義導(dǎo)子D:A→A和導(dǎo)子D′:A→A為:

D(e1)=e1,D(e2)=0,D(e3)=0，

D′(e1)=0,D′(e2)=0,D′(e3)=e1.

已知C0(A,A)=Hom(A,A)由基(gij)i,j=1,2,3生成,其中(gij)i,j=1,2,3定義為：

類似可得C1(A,A)由基(fi)i=1,2,3生成,(fi)i=1,2,3定義為fi(e1,e2,e3)=ei.

所以，C1(A,D)=C1(A,D′)=C0(A,A)是9維線性空間,C2(A,D)=C2(A,D′)=C1(A,A)×C0(A,A)是12維線性空間.經(jīng)計(jì)算得：

(Ⅰ) dimZ1(A,D)=4且Z1(A,D)由基{g11,g23,g32,g22-g33}生成,故dimH1(A,D)=4.

(Ⅱ) dimZ2(A,D)=9,且以下列元素為一組基：

{(f1,0),(f2,g12),(f3,g13),(0,g11),(0,g21),(0,g23),(0,g31),(0,g32),(0,g22-g33)}.

(Ⅲ) dimB2(A,D)=5,B2(A,D)由基元{(f1,0),(f2,g12),(f3,g13),(0,g21),(0,g31)}生成,故dimH2(A,D)=4,基為{(0,g11),(0,g23),(0,g32),(0,g22-g33)}.

(Ⅳ)H1(A,D′)=Z1(A,D′)是4維線性空間,它的基為{g21,g31,g32,g33+g11-g22}.

(Ⅴ) dimZ2(A,D′)=9,由以下元素生成：

{(f1,0),(f2,0),(f3,g22),(f3,g33),(0,g11),(0,g21),(0,g23),(0,g31),(0,g32)}.

(Ⅵ) dimB2(A,D′)=5,由{(f1,0),(f2,g32),(f3,g33),(0,g31),(0,g21)}生成.故dimH2(A,D′)=4，且以{(f2,0),(f3,g22),(0,g11),(0,g23)}為基.