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    探索有理數(shù)教學(xué)基本內(nèi)容,幫助學(xué)生筑牢運(yùn)算基礎(chǔ)

    2022-05-30 22:44:47丁錦榮
    關(guān)鍵詞:乘方數(shù)軸教學(xué)研究

    丁錦榮

    曹才翰先生在《曹才翰數(shù)學(xué)教育文選》中指出:“應(yīng)把有理數(shù)一章的基礎(chǔ)知識的教學(xué)、基本技能的價值提高到代數(shù)教學(xué)的首要地位。”結(jié)合蘇科版教材七年級有理數(shù)一章的教學(xué)現(xiàn)狀,筆者認(rèn)為這句話有非?,F(xiàn)實(shí)的指導(dǎo)意義。

    一、有理數(shù)教學(xué)基本內(nèi)容

    1.有理數(shù)的基本概念。

    在數(shù)的概念發(fā)展史上,學(xué)生往往對新數(shù)系有個適應(yīng)和接納的過程。雖然學(xué)生可以掌握個別概念,但對于概念間的內(nèi)在聯(lián)系卻不易明確。比如,教材上引入有理數(shù)的概念,通過生活情境讓學(xué)生知道引入負(fù)數(shù)的必要性,然后將所學(xué)過的一些數(shù)(如正整數(shù)、自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、小數(shù))羅列出來,最后劃分為整數(shù)和分?jǐn)?shù),并將其統(tǒng)稱為有理數(shù)。不少教師順勢將有理數(shù)進(jìn)行分類板書,讓學(xué)生記錄、整理課堂筆記,然后跟進(jìn)一些有理數(shù)的歸類識別,學(xué)生似乎也能較好地掌握(識別數(shù)的類型,解題不出錯)。然而,作為教師,理解還不能止于這樣的認(rèn)識程度,在相關(guān)習(xí)題練習(xí)、課后反思和有理數(shù)單元回顧時,教師有必要向?qū)W生講授有理數(shù)更本質(zhì)的定義,即“形如[ba](其中b為整數(shù),a為正整數(shù))的數(shù)稱為有理數(shù)”。這樣是基于舊概念(學(xué)生已有整數(shù)概念)來定義新概念(定義有理數(shù),即“可比數(shù)”),數(shù)系就是這樣不斷擴(kuò)充而來的。

    2.數(shù)軸。

    數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的重要工具,是學(xué)生進(jìn)入初中后引入的第一個重要工具。緊隨有理數(shù)概念之后就介紹數(shù)軸,主要是為了“數(shù)形結(jié)合”,讓學(xué)生形象直觀地學(xué)習(xí)和定義相反數(shù),并比較有理數(shù)的大小。教師對于數(shù)軸的理解不能止步于“一個定義、三個要素、大量練習(xí)”的層次,可以在例題教學(xué)時,介紹數(shù)軸在數(shù)形結(jié)合上的作用。數(shù)軸是一個具有發(fā)展前途的數(shù)學(xué)工具,比如兩根數(shù)軸垂直相交,且原點(diǎn)重合時,便“升級”得到了平面直角坐標(biāo)系,而平面直角坐標(biāo)系則可以用來研究函數(shù)圖像。

    3.相反數(shù)及倒數(shù)。

    教材上相反數(shù)的概念非常好懂,然而這個概念并沒有深刻揭示相反數(shù)的本質(zhì)。在相反數(shù)的復(fù)習(xí)階段,教師可以向?qū)W生介紹相反數(shù)的另一種定義方式,即若數(shù)a、b的和為零,則稱a、b互為相反數(shù)。相應(yīng)地,倒數(shù)也可以這樣定義,若a、b的積為1,則稱a、b互為倒數(shù)。這樣的定義方式可以在有理數(shù)范圍內(nèi)得到體現(xiàn),比如,在后續(xù)學(xué)習(xí)和探究有理數(shù)運(yùn)算法則時,就可借助相反數(shù)的定義進(jìn)行推理,包括有些解題依據(jù),也可提示學(xué)生回到相反數(shù)的定義去理解。

    二、有理數(shù)運(yùn)算法則的教學(xué)研究

    1.有理數(shù)加、減法運(yùn)算法則的教學(xué)研究。

    筆者認(rèn)為,有理數(shù)加法法則的教學(xué)研究要重視加法法則從何而來,兩個有理數(shù)相加的情況也要分類研究。小學(xué)階段的運(yùn)算類型可“一帶而過”;初中階段引入負(fù)數(shù)之后的運(yùn)算類型,則需借助相反數(shù)的性質(zhì)(互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加為0)進(jìn)行推理、歸納運(yùn)算法則。最后,教師進(jìn)行加法法則的小結(jié)梳理,借此過程讓學(xué)生知道新知從何而來,又示以學(xué)生運(yùn)算思維,讓學(xué)生知道面對新的運(yùn)算情況,可以通過一些變形、轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)運(yùn)算。

    有理數(shù)減法法則,則可借助加、減運(yùn)算互為逆運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化,將有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為“減去一個數(shù),等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”實(shí)現(xiàn)加、減的統(tǒng)一運(yùn)算。

    2.有理數(shù)乘、除運(yùn)算法則的教學(xué)研究。

    有理數(shù)乘法運(yùn)算法則的教學(xué)引入主要難點(diǎn)在于“負(fù)負(fù)得正”。這個教學(xué)難點(diǎn)在很多教材上的引入方式都不一樣,也有很多數(shù)學(xué)教育學(xué)者給出了各自的教學(xué)理解。筆者認(rèn)為,不管哪種教學(xué)方式的引入,都是向?qū)W生傳遞“負(fù)負(fù)得正”這種運(yùn)算規(guī)則與其他運(yùn)算法則、運(yùn)算通性之間的一致性。此外,通過推理、歸納的方式,學(xué)生知道數(shù)學(xué)教材上的“基本事實(shí)”“規(guī)定”都是前輩數(shù)學(xué)家們集體智慧的產(chǎn)物,并不是隨意而定的,他們向?qū)W生展示追求數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科精神。

    基于學(xué)生對加、減互逆運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn),有理數(shù)除法法則也可以從乘法逆運(yùn)算的角度直接得出。除法運(yùn)算時,教師要提醒學(xué)生以下幾點(diǎn),比如:0不能作為除數(shù);1除某數(shù)仍等于1;1除以一個數(shù)等于該數(shù)的倒數(shù);沒有除法的交換律、結(jié)合律、分配律;除法轉(zhuǎn)化為乘法時要注意不能漏掉符號等。

    3.有理數(shù)乘方運(yùn)算法則的教學(xué)研究。

    有理數(shù)乘方運(yùn)算是相同因數(shù)相乘的簡化表達(dá),被稱為有理數(shù)的第五種運(yùn)算。教師引出有理數(shù)乘方運(yùn)算時,可類比有理數(shù)乘法源于加法的簡化表達(dá),讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)乘方運(yùn)算出現(xiàn)的必要性。在進(jìn)一步探究有理數(shù)乘方運(yùn)算法則時,可結(jié)合有理數(shù)乘法運(yùn)算來歸類探究,比如底數(shù)為正數(shù)或負(fù)數(shù)時,分類討論指數(shù)的奇、偶性,從而確定冪的符號??梢姡瑢τ诘讛?shù)為負(fù)的乘方運(yùn)算,仍然要確立“符號優(yōu)先”的運(yùn)算意識。通過幾組必要的練習(xí)鞏固后,學(xué)生還可進(jìn)一步梳理、總結(jié)更多的乘方運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)。比如,互為相反數(shù)的兩個數(shù),它們的偶次冪相等,奇次冪互為相反數(shù);1的任何次冪還是1等。這些經(jīng)驗(yàn)不僅有利于學(xué)生深刻理解乘方運(yùn)算,而且對今后學(xué)習(xí)開方運(yùn)算也會有很大的幫助。

    三、幫助學(xué)生筑牢運(yùn)算基礎(chǔ)

    學(xué)生進(jìn)入初中之后要過的第一關(guān)就是“運(yùn)算關(guān)”,而運(yùn)算的真正難點(diǎn)是混合運(yùn)算。因?yàn)橛欣頂?shù)的混合運(yùn)算在本質(zhì)上是綜合題,學(xué)生要兼顧的點(diǎn)很多,運(yùn)算能力不強(qiáng)的學(xué)生常常是顧此失彼。有些學(xué)生出現(xiàn)錯誤,如果教師不加以點(diǎn)撥,直接讓學(xué)生訂正,他們即使訂正多次,也還是反復(fù)出錯;甚至有時訂正后,學(xué)生也不知道真正的錯因何在,這時簡單歸因到“運(yùn)算不細(xì)心”是不行的。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),在有理數(shù)混合運(yùn)算開始前,教師要告訴學(xué)生不要急于下手運(yùn)算,而要培養(yǎng)審題的習(xí)慣,即認(rèn)真審讀、觀察算式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),有哪幾種運(yùn)算,括號位置如何,看清辨明運(yùn)算類型、運(yùn)算順序后,再構(gòu)思從哪些“局部算式”逐個突破,這樣才能達(dá)到較好的運(yùn)算效果。此外,教師還要特別重視針對學(xué)生的個別情況開展糾錯與究錯,對那些混合運(yùn)算能力較差的學(xué)生,要安排他們利用“數(shù)學(xué)寫作”的方式整理錯題,剖析錯因,把每一種運(yùn)算的錯誤原因查找出來,進(jìn)行錯因備注,這樣可以防止下次再出現(xiàn)類似的運(yùn)算錯誤。

    (作者單位:江蘇省海安市城南實(shí)驗(yàn)中學(xué))

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