變截面壓彎橢球柱面反射鏡優(yōu)化設(shè)計

李 桐，王 楠，祝萬錢，任祖洋，金利民，薛 松*

（1.中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所,上海 201800；2.中國科學(xué)院大學(xué),北京 100049；3.中國科學(xué)院上海高等研究院,上海 201800）

1 引言

在同步輻射光束線中，通常采用各種類型的光學(xué)組件對同步輻射光進(jìn)行偏轉(zhuǎn)、準(zhǔn)直、分光和聚焦等，最后傳輸?shù)綄?shí)驗(yàn)站中[1]。聚焦鏡作為其中一個關(guān)鍵設(shè)備，具有光束準(zhǔn)直、聚焦、偏轉(zhuǎn)、抑制高次諧波等功能。同步輻射光束多為掠入射反射模式，為獲得足夠的接收角，需要反射鏡在光線入射方向（即子午方向）具有一定的尺寸，所以反射鏡通常為橫向略窄而軸向較長的長條形[2]。但是鏡子一旦加工成型后，其面形很難改變，只能滿足特定參數(shù)要求的線站需求，靈活性不夠[3]。因此需要通過壓彎機(jī)構(gòu)進(jìn)行反射鏡壓彎，根據(jù)不同的使用需求，控制壓彎力或者桿件位移來壓彎不同的面形，從而得到各種面形的反射鏡。不同光束線上壓彎鏡的形狀、作用和尺寸都不一樣，因此壓彎機(jī)構(gòu)也會有較大的差別。

20 世紀(jì) 70 年代，基于傳統(tǒng)望遠(yuǎn)鏡等光學(xué)元件加工方式，以德國蔡司、法國 Winlight、Thales SESO、日本大阪大學(xué)及 JETC 公司等為代表的公司逐步開始了同步輻射元件的研制[4]。隨著同步輻射光源的發(fā)展，光源的發(fā)射度越來越小，對聚焦鏡的光學(xué)要求也越來越嚴(yán)格。我國在壓彎機(jī)構(gòu)的研究起步較晚，但目前國內(nèi)科研與工程人員在努力追趕最先進(jìn)的國際水平（壓彎精度≤0.2 μrad）。上海光源一期建設(shè)時，我國自主研發(fā)的壓彎機(jī)構(gòu)的壓彎精度可以達(dá)到1.5～2.0 μrad 左右[3]，經(jīng)過多年努力，壓彎機(jī)構(gòu)的壓彎精度可以達(dá)到0.5 μrad，甚至更好的水平。在制造精度有限的條件下，橢圓聚焦被認(rèn)為是同步輻射光束線中理想的聚焦模式[1]，光源點(diǎn)和成像點(diǎn)分別位于橢圓的兩個焦點(diǎn)上，因此理論上壓出近乎完美的橢圓可以減少光束線的傳輸誤差[5]。

反射鏡壓彎是基于梁的彎曲變形理論，通過理論計算，反射鏡的變寬高次曲線可以使橢圓壓彎的理論殘差趨近于零，但是受反射鏡加工難度和成本限制，實(shí)際上多采用梯形變寬或多段梯形變寬反射鏡。梯形變寬反射鏡橢圓壓彎必然有無法消除的理論誤差，本文針對特定理想橢圓曲線且存在弧矢半徑槽導(dǎo)致反射鏡慣性矩變化系數(shù)與梯形變寬系數(shù)不相等的情況下進(jìn)行梯形反射鏡尺寸設(shè)計和模擬驗(yàn)證，設(shè)計要求壓彎理論殘差小于0.1 μrad。

2 反射鏡參數(shù)計算及優(yōu)化設(shè)計

2.1 反射鏡面形參數(shù)

反射鏡的面形一般由物距p、像距q和掠入射角 θ確定，本次設(shè)計的反射鏡面形為橢圓面形[6]，橢圓壓彎聚焦模式如圖1 所示。

圖1 橢圓壓彎聚焦原理圖Fig.1 Schematic diagram of elliptical bending focus

根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合反射鏡面形參數(shù)，可以嚴(yán)格推導(dǎo)出理想壓彎橢圓面形方程[7-8]：

在實(shí)際的工程計算中，為了便于進(jìn)行理論計算，通常采用橢圓方程在反射鏡中心處的麥克勞林級數(shù)展開式，一般選在二次方之前。而對于最終的面形斜率誤差求解則采用公式（1）中的理想橢圓方程，其麥克勞林級數(shù)表達(dá)式[7,9-10]為

其中的參數(shù)ai為

在同步輻射光學(xué)中，光學(xué)元件的面形精度通常采用光學(xué)表面的斜率誤差進(jìn)行評價，在本文中定義為壓彎變形曲線與理想橢圓曲線斜率方程差值的均方根。

2.2 梁的彎曲

在同步輻射中，由于反射鏡的長寬比很大，因此反射鏡的壓彎可以簡化成梁的壓彎，如圖2所示。

圖2 壓彎鏡示意圖Fig.2 Schematic diagram of the bending mirror

在材料力學(xué)中，梁彎曲的一般方程可以表示為

其中，ρ(x)為反射鏡曲率半徑，E為反射鏡基板材料的楊氏模量，M(x)為彎矩方程，I為柱面鏡截面的慣性矩（I(x)=b(x)t3/12，b和t分別為反射鏡的寬度及厚度）。根據(jù)材料力學(xué)公式可知，M(x)=，其中L為反射鏡長度。

本次設(shè)計反射鏡的主要參數(shù)如表1 所示。

表1 反射鏡設(shè)計參數(shù)Tab.1 Main indicators of the designed mirror

基于變寬度壓彎橢圓柱面微聚焦鏡理論中的公式可得出[9]，反射鏡兩端的寬度分別為49 mm 和90 mm，反射鏡兩端彎矩分別為M1=81.138 2 N·m，M2=91.468 6 N·m。將上述結(jié)果帶入所建立的反射鏡模型后進(jìn)行仿真分析，建立的三維模型如圖3 所示。

圖3 反射鏡模型軸測圖Fig.3 Axonometric view of mirror model

使用有限元方法對反射鏡壓彎進(jìn)行力學(xué)分析，將反射鏡模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，采用六面體單元，網(wǎng)格尺寸為2 mm，網(wǎng)格劃分如圖4 所示。

圖4 模型網(wǎng)格劃分Fig.4 Meshing results of the mirror model

本次仿真分析中反射鏡的材料屬性如表2所示。

表2 用于仿真分析的材料屬性Tab.2 Properties of the material used in the simulation analysis

將彎矩施加在反射鏡兩端，對反射鏡兩端進(jìn)行簡支梁約束，仿真得出反射鏡面形，其面形如圖5 所示。

圖5 反射鏡壓彎面形及斜率分析Fig.5 Analysis of the bending surface shape and slope of the mirror

仿真計算出的斜率誤差與原計算公式得出的系統(tǒng)斜率誤差對比如表3 所示。由于本次設(shè)計的反射鏡包含弧矢半徑柱面，仿真斜率誤差與系統(tǒng)斜率誤差相差很大，因此，無法忽略弧矢聚焦槽口對斜率誤差的影響，而原公式只對平面反射鏡適用，這就需要重新對公式進(jìn)行推導(dǎo)計算。

表3 本文計算的與初始公式計算的斜率誤差對比Tab.3 Comparison of the slope errors calculated in this paper with that calculated by the initial formula

2.3 反射鏡優(yōu)化設(shè)計

在材料力學(xué)中，可以將變截面慣性矩看作多個簡單截面慣性矩進(jìn)行計算。本文研究的反射鏡的截面可以簡化成變矩形截面與槽截面的差值，由于槽口截面一定，矩形截面寬度隨反射鏡長度的變化而變化，導(dǎo)致反射鏡截面的形心也在不斷變化，此前慣性矩公式無法準(zhǔn)確表述各截面的實(shí)際慣性矩。反射鏡截面慣性矩計算示意圖如圖6 所示。

圖6 截面慣性矩示意圖Fig.6 Schematic diagram of the section moment of inertia

根據(jù)移軸定理公式計算截面慣性矩，其形心（yc）坐標(biāo)公式：

其中I1,I2,I3分別為矩形ABCD、扇形OEF、三角形OEF的慣性矩，Iall為截面慣性矩，yi為各部分形心到矩形ABCD中心X軸的距離。

從式（5）、式（6）可以看出，截面慣性矩中的變量為反射鏡的寬度b，大小與反射鏡長度成正比，其余慣性矩皆為常數(shù)。通過對該尺寸參數(shù)下的截面進(jìn)行慣性矩計算，得到在反射鏡中間處截面慣性矩為：I0=711 521.571 mm4。由于慣性矩與反射鏡長度成正比，因此可以將慣性矩進(jìn)行線性表述，計算得其斜率值k′≈?0.5。通過程序?qū)竭M(jìn)行驗(yàn)算，計算得出的反射鏡各點(diǎn)處的慣性矩如圖7 所示。

圖7 反射鏡各點(diǎn)處慣性矩Fig.7 Moment of inertia at each point of the mirror

其彎曲方程[7,9-11]可以轉(zhuǎn)換為

對反射鏡兩端寬度進(jìn)行求解，公式推導(dǎo)如下所示

在公式（8）中，反射鏡寬度b為關(guān)于反射鏡長度的一次函數(shù)，因此慣性矩公式可以簡化為

其中b0為反射鏡中心處寬度，k′為慣性矩與反射鏡長度關(guān)系的斜率系數(shù)。最終計算得出的反射鏡寬度中的斜率k=?0.488 3。代入=b0(1+kx)中即可求得反射鏡兩端寬度分別為49.5 mm 和90.5 mm。

在實(shí)際工程應(yīng)用中反射鏡橢圓聚焦時其面形方程可以通過麥克勞林展開式來進(jìn)行簡化計算，其一般方程為

對其麥克勞林展開方程進(jìn)行二次求導(dǎo)，并代入公式(6)中可以得出反射鏡橢圓壓彎時兩端所需彎矩大小，其公式[10]為

反射鏡壓彎斜率誤差RMS 可以通過對反射鏡的曲率方程進(jìn)行積分化簡計算得出，將其曲率方程化簡為以下方程[8]再進(jìn)行積分

其中參數(shù)c,d,j分別為

由式（13）、式（14）可以計算得出在實(shí)際工程中橢圓壓彎反射鏡的斜率表達(dá)式

至此，修正后的反射鏡兩端寬度分別為49.5 mm 和90.5 mm，兩端力矩M1，M2分別為79.177 4 N·m，89.252 5 N·m。將修正后的力矩值代入仿真計算中，修正前后斜率誤差RMS 值對比如表4 所示。

表4 修正前后斜率誤差對比Tab.4 Comparison of the slope errors before and after correciton

對比發(fā)現(xiàn)，修正后斜率誤差RMS 值得到了數(shù)量級上的提升，同時，修正后的斜率誤差RMS 值更接近系統(tǒng)誤差值，可以認(rèn)為計算值可靠。本次反射鏡需求有效光學(xué)尺寸為1 m，可以看出將慣性矩為線性分布代入公式計算出的仿真誤差更貼近系統(tǒng)誤差值。本次修正后的公式基本適用于各類變截面反射鏡的優(yōu)化設(shè)計，最終的修正效果顯著。

3 結(jié)論

本文基于橢圓柱面鏡聚焦原理，對反射鏡整體參數(shù)進(jìn)行設(shè)計及優(yōu)化，并根據(jù)實(shí)際需求，推導(dǎo)了完整的計算、優(yōu)化流程。在光學(xué)參數(shù)及反射鏡長度一定時，通過公式計算設(shè)計出反射鏡的兩端寬度，同時優(yōu)化計算出壓彎彎矩大小，采用有限元分析校核了該優(yōu)化的有效性。在反射鏡有效長度為1 m 的情況下，斜率誤差RMS 值為0.063 6 μrad，與系統(tǒng)斜率誤差RMS 值0.040 7 μrad 更貼近，同時滿足壓彎機(jī)構(gòu)引入誤差<0.1 μrad 的設(shè)計需求。該方法不僅針對此類截面有效，針對不同截面的反射鏡依然可以參照此計算思路進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。