例談含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題幾種解題策略

吳水萍 趙忠平

【摘 要】 含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題是近年來高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，思維難度高，學(xué)生得分率低，本文試圖全面總結(jié)此類題型的解題方向和方法，幫助考生有針對(duì)性突破解決此類問題的卡點(diǎn)，提高學(xué)生分析和解決函數(shù)綜合問題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成.

【關(guān)鍵詞】 函數(shù)不等式;恒成立;參數(shù)范圍;解題策略

近年來，全國高考試題及高考模擬試題中出現(xiàn)了頗有新意、構(gòu)思精巧的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的綜合題，這類題涉及知識(shí)面廣、綜合性強(qiáng)，對(duì)能力要求較高，能較好地考查學(xué)生的思維能力，很值得重視和探究.下面舉例說明此類問題的幾種解題策略，供參考.1 特值探路

例1 已知函數(shù)f（x）=aex-1-lnx+lna.

（1）當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍.

分析 特殊值是函數(shù)的重要節(jié)點(diǎn)，特殊值往往顯得簡單、直觀、具體，通過特殊值容易探索出所求參數(shù)的具體范圍，得到問題的必要條件，再進(jìn)一步證明其充分性，問題就可以得到完美解答.

解 （1）略;（2）將x取特殊值1代入不等式中，不等式應(yīng)該成立，即f（1）≥1，也即a+lna≥1，令g（a）=a+lna-1.易知函數(shù)g（a）單調(diào)遞增，g（1）=0，所以a≥1.下面證明充分性，當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥x-lnx.令h（x）=x-lnx，則h′（x）=1-1x=x-1x.當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）<0;當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）>0，故h（x）≥h（1）=1.所以a的范圍是[1，+∞）.

點(diǎn)評(píng) 利用特殊值探路可以迅速化解題目難度，快速找到題目的答案（準(zhǔn)答案），減輕解題思想壓力，轉(zhuǎn)換解題思維角度，補(bǔ)全充分性證明過程即可完美收官.一般對(duì)數(shù)函數(shù)可將真數(shù)取特值1，指數(shù)函數(shù)的指數(shù)可取特值0.2 分類篩選

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]. （1）討論f（x）的單調(diào)性;（2）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.分析 當(dāng)問題所給的對(duì)象不能統(tǒng)一研究時(shí)，就要將研究對(duì)象按照相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，按照某一標(biāo)準(zhǔn)分成不同種類逐一進(jìn)行研究，最后綜合得解，即先對(duì)明顯成立的部分進(jìn)行證明，再對(duì)不成立的部分舉反例，說明不恒成立，從而篩選出所求參數(shù)的范圍.

解 （1）略;（2）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，所以a≤2π.令g（x）=sinx-2πx0≤x≤π2，則g′（x）=cosx-2π.當(dāng)x∈0，arccos2π時(shí)，g′（x）>0，當(dāng)x∈arccos2π，π2時(shí)，g′（x）<0.又g（0）=gπ2=0，所以g（x）≥0，即2πx≤sinx0≤x≤π2.當(dāng)a≤2π時(shí)，有f（x）≤2πx+cosx.（?。┊?dāng)0≤x≤π2時(shí)，2πx≤sinx，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx;（ⅱ）當(dāng)π2≤x≤π時(shí)，f（x）≤2πx+cosx=1+2πx-π2-sinx-π2≤1+sinx.綜上，a的取值范圍是-∞，2π.

點(diǎn)評(píng) 含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題可以利用逐段篩選討論法求解，對(duì)參數(shù)按照重要節(jié)點(diǎn)進(jìn)行分類，在每一類中證明不等式成立或舉反例說明不成立，最后得解，體現(xiàn)了化整為零的思想和歸類整理的思想.3 分離參數(shù)例3 同例2（2）.

分析 含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題如果參數(shù)和變量容易分離，則可以先分離參數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值（或上、下界）問題求解，從而只需構(gòu)造函數(shù)求最值即可.

解 f（x）≤1+sinx即ax+cosx≤1+sinx（），當(dāng)x=0時(shí)，對(duì)a∈R不等式（）恒成立;當(dāng)0<x≤π時(shí)，不等式（﹡）可化為a≤1+sinx-cosxx.構(gòu)造函數(shù)g（x）=1+sinx-cosxx，則g′（x）=（sinx+cosx）x-（1+sinx-cosx）x2，構(gòu)造函數(shù)h（x）=（sinx+cosx）x-（1+sinx-cosx），則h′（x）=（cosx-sinx）x.當(dāng)0<x≤π4時(shí)，h′（x）≥0，當(dāng)π4≤x≤π時(shí)，h′（x）≤0，故h（x）在區(qū)間0，π4上遞增，在區(qū)間π4，π上遞減，又因?yàn)閔π4=2π4-1>0，h（π）=-π-2<0，所以存在x0∈π4，π，使得h（x0）=0.故當(dāng)x∈（0，x0]時(shí)，h（x）≥0，當(dāng)x∈[x0，π]時(shí)，h（x）≤0，故當(dāng)x∈（0，x0]時(shí)，g′（x）≥0，當(dāng)x∈[x0，π]時(shí)，g′（x）≤0，即g（x）在（0，x0]上單調(diào)遞增，在[x0，π]上單調(diào)遞減.又因?yàn)閘imx→0+g（x）=limx→0+（1+sinx-cosx）′x′=1，g（π）=2π，因?yàn)?>2π，故當(dāng)x=π時(shí)，g（x）min=2π，要使不等式a≤1+sinx-cosxx在x∈（0，π]上恒成立，只需a≤2π.綜上a的范圍是-∞，2π.點(diǎn)評(píng) 不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，只要容易實(shí)現(xiàn)參變分離，就可以很容易轉(zhuǎn)化為最值（或上、下界）問題求解，但在求最值（或上、下界）時(shí)常常要用到洛必達(dá)法則.

4 構(gòu)造函數(shù)

例4 同例1（2）.

分析 根據(jù)解析式的特點(diǎn)，將不等式兩邊湊成一致的形式，運(yùn)用函數(shù)與方程的思想實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為自變量大小的比較.

解 f（x）≥1等價(jià)于aex-1-lnx+lna-1≥0，即elna+x-1+lna-1≥lnx，兩邊同時(shí)加x，得elna+x-1+lna-1+x≥lnx+x=elnx+lnx.令F（t）=et+t，顯然F（t）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則不等式等價(jià)于F（lna+x-1）≥F（lnx），等價(jià)于lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1.令g（x）=lnx-x+1，則g′（x）=1-xx.當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減.故g（x）max=g（1）=0，所以lna≥0，解得a≥1.

點(diǎn)評(píng) 在含參數(shù)函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題中，將不等式兩邊轉(zhuǎn)化成同構(gòu)式，根據(jù)同構(gòu)式構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)單調(diào)性進(jìn)一步轉(zhuǎn)化問題，使得問題得到降維求解，此法雖然有一定難度，但能夠發(fā)現(xiàn)命題人的命題路徑及數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).5 虛設(shè)零點(diǎn)

例5 同例1（2）.

分析 設(shè)而不求是解析幾何處理問題基本思想，在含參數(shù)的函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)范圍時(shí)，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確實(shí)存在，但求不出來時(shí)，就可以虛設(shè)零點(diǎn).利用整體代換思想促成問題解決.

解 f（x）≥1的必要條件是f（1）≥1，即a+lna≥1，也即g（a）=a+lna-1≥0.易知g（a）單調(diào)遞增，g（1）=0，所以a≥1.f（x）≥1，即aex-1-lnx+lna-1≥0.令g（x）=aex-1-lnx+lna-1，則g′（x）=aex-1-1x，顯然g′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g′（1）=a-1>0，g′1a=ae1a-1-a=ae1a-1-1<0，故x0∈1a，1，使得g′（x0）=0，即aex0-1=1x0.所以函數(shù)g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增.故g（x）min=g（x0）=aex0-1-lnx0+lna-1=1x0-lnx0+lna-1=1x0+ln1x0+lna-1.因?yàn)閤+lnx-1≥0，lna≥0，所以g（x）≥0.即當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）≥1.所以a的范圍是[1，+∞）.

點(diǎn)評(píng) 虛設(shè)零點(diǎn)體現(xiàn)設(shè)而不求思想，是解決導(dǎo)數(shù)問題常用方法，當(dāng)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)存在但不易求出的時(shí)候，就可以虛設(shè)零點(diǎn)，回代到原函數(shù)解析式中求值，確定函數(shù)值的符號(hào).

6 數(shù)形結(jié)合例6 同例2（2）.

分析 將原不等式適當(dāng)變形得到g（x）≤h（x）恒成立形式，借助導(dǎo)數(shù)的工具，分別研究兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，再分別畫出兩函數(shù)圖象，根據(jù)圖象能直觀得到參數(shù)范圍.

解 f（x）≤1+sinx即ax+cosx≤1+sinx，可化為ax-1≤sinx-cosx，構(gòu)造函g（x）=ax-1，h（x）=sinx-cosx，x∈[0，π]，畫出函數(shù)g（x）、h（x）圖象如圖1， g（x）圖象是過（0，-1）點(diǎn)的直線，h（x）的圖象也過（0，-1）點(diǎn)，在0，3π4上為增函數(shù)，在3π4，π上為減函數(shù)，要使ax-1≤sinx-cosx在[0，π]上恒成立，只需x∈[0，π]時(shí)g（x）圖象在h（x）圖象下方，由圖象知a≤2π時(shí)不等式恒成立，即a的范圍是-∞，2π.

點(diǎn)評(píng) 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，“數(shù)”讓“形”更精確，“形”讓“數(shù)”更直觀，二者“比翼雙飛”，共同促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展[1].本解法通過挖掘數(shù)學(xué)式子背后形的特征，以形助數(shù)，是解決數(shù)學(xué)問題的常用方法.

參考文獻(xiàn)

[1] 徐進(jìn)通.開發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用素材的路徑探究＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（10）：22-28.

作者簡介 吳水萍（1976—）， 女，甘肅武威人，中學(xué)一級(jí)教師;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作;主持和參與省級(jí)課題多項(xiàng)，發(fā)表論文20多篇.趙忠平（1972—），男，甘肅慶陽人，中學(xué)高級(jí)教師;主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作;發(fā)表論文40多篇.