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    高考數(shù)學中的恒成立問題的應用與探究

    2015-11-28 13:25楊金全
    學周刊·下旬刊 2015年12期
    關鍵詞:恒成立高考數(shù)學

    楊金全

    摘要:高三數(shù)學中恒成立的學習一定要打牢基礎,充分掌握好高三數(shù)學課中有關分支的知識點學習培養(yǎng)良好的解題技能。文章開頭引言部分引出了所要寫的話題,中間內容則寫了高考數(shù)學中的恒成立問題的應用和解決高考數(shù)學中的恒成立問題對學生的要求,文章最后高考數(shù)學中的恒成立對學生的學習提出很高的要求。

    關鍵詞:高考 數(shù)學 恒成立

    高考數(shù)學中的恒成立問題包含的內容有二次函數(shù)和一次函數(shù)、有關的函數(shù)圖像和函數(shù)本身的性質,需要進行有關的換元,歸類、題型和圖像相結合、還包含由函數(shù)的思想方法,對提高學生的綜合解題能力很有幫助,培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性和思維的靈活性。高三數(shù)學的恒成立問題主要有以下的幾種形式:三角函數(shù)、指數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)。恒成立問題涉及到的知識比如有將換元的思想引入到相關函數(shù)的圖像和性質等。可以通過以下幾種方法解決出現(xiàn)的恒成立問題。這些方法分別是:賦值型,一次函數(shù)型,二次函數(shù)型,變量分離型,數(shù)形結合型。面對高考數(shù)學中的恒成立問題的應用的出現(xiàn),有必要進行相關的研究,為高考數(shù)學的復習工作提供相關的幫助。

    一、高考數(shù)學中的恒成立問題的應用

    (一)高考數(shù)學中的恒成立在基礎題中的應用

    在高三數(shù)學中有這樣一個恒成立的問題:涵蓋了一次函數(shù)的知識點和高三數(shù)學知識點。變量X和Y在一個變化過程中,每一個確定的x值,都有唯一確定的y值與x對應,那么我們就說y是x的函數(shù),x是自變量。

    也有這樣一道題:“Amn表示高三數(shù)學恒成立問題,n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=Amn公式中表示從n開始由大到小連續(xù)m個自然數(shù)的連乘積”;“從n個不同元素中取出m個元素的所有排列的個數(shù),叫從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),無限制條件的排?!?/p>

    還有:若是等差數(shù)列,首項,則使前n項和成立的最大自 然數(shù)n是( ) (A)4005 (B)4006 (C)4007 (D)4008。

    分不清充分條件和必要條件,分析如下:“‘有兩個條件A和B,假設A=B正確,那么B是A的充分條件,A是B的必要條件,;‘假設B=A正確,那么B是A的必要條件,A是B的充分條件,;‘假設B=A,那么B和A互為充要條件”。

    夯實基礎是高三數(shù)學學習的第一關。高三數(shù)學恒成立的學習過程實際上就是對基本公式的運用,靈活使用概念原理,注意提高良好解題思路,提高分析和解決問題的能力,當具備了一定的知識能力之后,個人的解題細心度和堅強的毅力起著至關重要的作用。

    (二)高考數(shù)學中的恒成立問題在綜合題中的應用

    高考數(shù)學中的恒成立在綜合題中出現(xiàn)的概率也比較大,這就需要較高的解題技巧。高中數(shù)學中的恒成立問題,涉及的知識面廣,綜合性強。綜合題往往涵蓋了多個知識點,恒成立問題的解決需要多動腦筋,充分運用邏輯思維,解題要認真。如果哪個環(huán)節(jié)出了問題,整個解題結果就會功虧于潰。

    我們來舉個例子:f(x)是負無窮大和正無窮大上的定義域,0=f(1),0到正無窮大是增函數(shù),奇函數(shù)f(x);θ在0到π/2的區(qū)間,函數(shù)sin2θ+m·cosθ-2m等于g(θ)。如果集合M等于g(θ)小于0,集合N等于m,問M和N的交集。

    復合函數(shù)f(x)中有N,不知道如何進行解決,無法求出M和N的交集。當束手無策時,查看題目,f(x)在0到正無窮大是增函數(shù),奇函數(shù)f(x),所以在負無窮大到0區(qū)間f(x)也是增函數(shù)。根據(jù)f(1)等于0知f(-1)等于0,畫圖可知,當f(x)小于0時可得0小于1或者x小于1。

    ∴N=m=g(θ)<-1或0<1,

    ∴M∩N={g(θ)<-1。如m·cosθ-2m+1+sin2θ小于0,相關變換得到2m-2cos2θ-m.cosθ+大于0結果是恒成立的。

    在這個雙變量中不知道主元是誰,判斷得知是m。學生們習慣按照傳統(tǒng)的解題思路:使“cosθ=t,屬于0到1的區(qū)間,可看成二次函數(shù)t”,即:“(t-m/2)2+2m-2-m2/4=Φ(t)=t2-mt+2m-2,屬于0到1的區(qū)間?!边@是常見到的最大值和最小值問題,有三種情況需要討論,得到“m>4-2=M∩N”。

    從m的角度進行思考就會想到用采用分離變量的方式:“t2-mt+2m-2大于0<=> m大于(2-t2)/(2-t)”,

    使“‘(2-t2)/(2-t)等于h(t),那么‘t2+2/(t-2)+4≤4-2=>m>4-2”

    “h(t)等于‘t2+2/(t-2)+4≤4-2=>m>4-2”。

    該題包含的知識點有不等式、三角和函數(shù)。若換成解二次函數(shù)的話,有三個不等式組需要解決,運算過程繁雜,如果不細心,就會出錯,分離變量法有較高的對代數(shù)恒等式的要求,抽象思維的想象較高,在這個過程中不容有一點差錯,這樣才能取得運算結果的準確性。本題涉及主要數(shù)學思想方法有:

    1.借助不同方式實現(xiàn)有關問題的解決

    將不等式轉化為函數(shù)來解決:

    閉區(qū)間不等式的恒成立往往在函數(shù)中多有出現(xiàn),這是解題要注意的第一個方面;在求解m的范圍時,m被看做了一個常數(shù),變換到二次函數(shù)中包含有t的變量,華麗變身是解題的第二個步驟。

    2.圖形和函數(shù)相結合的方式

    本題中有兩次用到該方法,一處是由f(x)<0得x<1或0<1,從而得g(θ)<-1或0<1;另一處是是求二次函數(shù)Φ(t)在區(qū)間[0,1]的最值。

    該題所用到的解題技巧有:

    a.函數(shù)最值的恒成立問題:若m>f(x)恒成立,且M=f(x)max,則m>M。

    b.分離變量法。

    c.配方法。不要小看這種方法,特別留意含有二次函數(shù)的配方題型。

    d.不等式向二次分式的轉換實現(xiàn)恒等變形。

    二、解決高考數(shù)學中的恒成立的問題對學生的要求

    解題要想有清晰的思路,思想方法和技巧很重要,另外就是個人因素,這其中包括認真程度和良好的意志力,還有一點就是學習過程中形成的學習方法,個人因素往往因人而異。在做同一道題時,會出現(xiàn)不同的結果,有的學生能把題做出來,有的學生做不出來。學習方法的培養(yǎng)是一個人慢慢積累的過程,而學習意志的培養(yǎng)則是一個漫長的過程,這個過程的很大一部分因素取決于個人的價值取向和人生價值觀。當學生看到比較困難的題時就會感到渾身不舒服,束手無策,滿腦子一片空白,做題的意志力在不斷下降。具有超強意志力的人會抓住題目不放,平靜下心情,認真進行分析,尋求新的解題思路,即使結果不能令人滿意,但是在部分解題過程中還是有點解題思路的。

    參考文獻:

    [1]侯新蘭.探析高考數(shù)學中恒成立問題的解題策略[J].考試:高考數(shù)學版,2009(Z4).

    [2]曹澤紀.高中數(shù)學中的恒成立問題[J].學問,2009(2).

    (責編 金 東)

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