復(fù)空間中若干域之間的雙全純等價(jià)

程曉亮，馬會(huì)波

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 四平 136000)

0 引言

記C為復(fù)數(shù)集，Cn={(z1，…，zn)|zi∈C，j=1，2，…，n}為n維復(fù)歐氏空間.Cn中的連通開(kāi)集Ω稱(chēng)為域，當(dāng)Ω有界時(shí)，稱(chēng)Ω為有界域.Cn中常見(jiàn)的域[1]有單位球

單位多圓柱

Un={z∈Cn||zj|<1，j=1，2，…，n}，

以及Siegel上半空間

Hn={(z，ω)∈Cn-1×C|Im(ω)>|z|2}.

當(dāng)n=1時(shí)，B1=U1為單位圓盤(pán)，H1為上半平面.

20世紀(jì)初，多復(fù)變作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支得到了研究與發(fā)展.其中，區(qū)分Cn中的兩個(gè)域是否雙全純等價(jià)的問(wèn)題成為數(shù)學(xué)家們研究的一個(gè)熱點(diǎn)課題.單復(fù)變中Riemann映射定理指出，除去整個(gè)復(fù)平面，任何單連通域和單位圓盤(pán)雙全純等價(jià).多復(fù)變中域的分類(lèi)就復(fù)雜得多，J.H.Poincaré發(fā)現(xiàn)盡管單位球與多圓柱同是單連通域，卻彼此不雙全純等價(jià).更一般地，D.Burns和R.E.Greene等[2-3]證明了一般情況下兩個(gè)具有光滑邊界的強(qiáng)擬凸域也不是雙全純等價(jià)的.因此，需要一些幾何不變量來(lái)區(qū)分一些域是否雙全純等價(jià).C.Fefferman等[4-6]證明了一些具有光滑邊界的域的全純自同構(gòu)可以光滑地延拓到邊界外，因此這使得利用J.H.Poincaré的原始方法在域的邊界上找一些幾何不變量來(lái)區(qū)分域有了可能.S.S.Chern[7]在這個(gè)方向做了大量的工作.

受J.H.Poincaré思想所啟發(fā)，另一種研究域之間雙全純等價(jià)的方法是研究域的自同構(gòu)群.1977年，B.Wong[8]證明了Cn中具有非緊自同構(gòu)群的有界強(qiáng)偽凸域與單位球雙全純等價(jià).1989年，E.Bedford和S.I.Pinchuk[9]證明了C2中具有非緊自同構(gòu)群且有實(shí)解析邊界的有界偽凸域與

雙全純等價(jià).1999年，A.V.Isaev和S.G.Krantz[10]證明了具有C2光滑邊界的有界齊性域與單位球雙全純等價(jià).

受到文獻(xiàn)[1]的啟發(fā)，本文證明了單位球Bn與一類(lèi)乘積域Bn×Un不雙全純等價(jià).

1 域之間雙全純等價(jià)的相關(guān)概念

定義1[1]設(shè)Ω是Cn中的域，H(Ω)是Ω上的全體全純函數(shù)集，若f1，f2，…，fm∈H(Ω)，則稱(chēng)F=(f1，f2，…，fm)：Ω→Cm是全純映射.

定義2[1]設(shè)Ω是Cn中的域，f：Ω→Cn是全純映射.若f存在全純的逆映射g=f-1，則稱(chēng)f是雙全純映射.

定義3[11]設(shè)Ω1和Ω2是Cn中的兩個(gè)域，若存在一個(gè)雙全純映射把Ω1映為Ω2，則稱(chēng)Ω1和Ω2是雙全純等價(jià)的.

定義4[11]設(shè)Ω是Cn中的域，如果F是把Ω映為自身的雙全純映射，則稱(chēng)F是Ω的自同構(gòu)，Ω的自同構(gòu)的全體記為Aut(Ω)，在映射的復(fù)合運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群，稱(chēng)為Ω的自同構(gòu)群.

下面研究單復(fù)變中域之間的雙全純等價(jià)問(wèn)題.

2 單復(fù)變中域之間的雙全純等價(jià)

單復(fù)變中，單位圓盤(pán)U1是最簡(jiǎn)單、最容易刻畫(huà)的單連通域.Riemann映射定理指出，除去整個(gè)復(fù)平面，任何單連通域與單位圓盤(pán)雙全純等價(jià).

定理1(Montel定理)[12]設(shè)Ω是復(fù)平面上的開(kāi)子集，則Ω上的全純函數(shù)族Υ是正規(guī)的，即若Υ中的每個(gè)序列都存在子序列在Ω的任意緊子集中一致收斂.

引理1(Schwarz引理)[12]令f：U→U是全純的，且f(0)=0.那么：

(ⅰ)對(duì)所有z∈U，|f(z)|≤|z|.

(ⅱ)如果對(duì)某個(gè)z0≠0，有|f(z0)|=|z0|，那么f是一個(gè)旋轉(zhuǎn).

(ⅲ)|f′(0)|≤1，且如果等式成立，則f是一個(gè)旋轉(zhuǎn).

定理2[12]設(shè)Ω是復(fù)平面上(不包含復(fù)平面)的單連通域，若z0∈Ω，那么存在唯一的雙全純映射F：Ω→U1使得

F(z0)=0，f′(z0)>0.

證明第一步，先證明Ω與包含原點(diǎn)的單位圓盤(pán)的開(kāi)子集是雙全純等價(jià)的.設(shè)α?Ω，則z-α在單連通域Ω上不等于零.因此，定義全純函數(shù)f(z)=log(z-α)，兩邊取指數(shù)得ef(z)=z-α，則f是單射.選擇點(diǎn)ω∈Ω，對(duì)?z∈Ω，有f(z)≠f(ω)+2πi.考慮映射

因?yàn)閒是單射，所以F也是單射，因此F：Ω→F(Ω)是一個(gè)雙全純映射，且F(Ω)有界，為了獲得從Ω到包含原點(diǎn)的單位圓盤(pán)U1的開(kāi)子集上的雙全純映射，需要重新調(diào)整函數(shù)F.

第二步，根據(jù)第一步，假設(shè)Ω是U1的開(kāi)子集.考慮Ω上的所有單同態(tài)函數(shù)構(gòu)成的集族Υ，Υ中的映射都是映射到單位圓盤(pán)上，并固定了原點(diǎn)，即

Υ={f：Ω→U1全純，單射，且f(0)=0}.

Υ包含單位元，所以Υ是非空的.因?yàn)樗械暮瘮?shù)映射到單位圓盤(pán)上，所以Υ一致有界.

最后將函數(shù)f乘上一個(gè)絕對(duì)值等于1的復(fù)數(shù)，使得f′(0)>0，定理證畢.

從形式上看，多復(fù)變是單復(fù)變的自然推廣，但二者有顯著的區(qū)別，單復(fù)變中的研究方法和結(jié)論，無(wú)法平行且有效地適用于多復(fù)變中.

3 多復(fù)變中域之間的雙全純等價(jià)

單復(fù)變中，通過(guò)一個(gè)分式線性映射可得單位圓盤(pán)與上半平面雙全純等價(jià)，推廣到高維空間中，單位球與上半空間通過(guò)凱萊變換雙全純等價(jià).

定理3[13]多復(fù)變中單位球Bn與上半空間Hn雙全純等價(jià).

證明由凱萊變換

其中(z，ω)∈Hn，z∈Cn-1，ω∈C.

ψ在其定義域內(nèi)全純.因?yàn)閨z|2

4|z|2<|i+ω|2-|i-ω|2，

即

所以ψ把Hn映為Bn.

下證ψ-1將Bn映為Hn.通過(guò)計(jì)算得

其中(z′，ω′)∈Bn?Cn-1×C，ψ-1在其定義域內(nèi)全純.因?yàn)閨z′|2+|ω′|2<1，通過(guò)計(jì)算可得

故ψ-1把Bn映為Hn，并且有ψ-1(ψ)=In，因此結(jié)論得證.

單復(fù)變中，Riemann定理斷言，除去整個(gè)復(fù)平面，單連通域必與單位圓盤(pán)雙全純等價(jià).多復(fù)變中的情況要復(fù)雜得多，即使兩個(gè)最簡(jiǎn)單的域——多圓柱Un與單位球Bn也不是雙全純等價(jià)的.

定理4[1]多復(fù)變中多圓柱Un與單位球Bn不雙全純等價(jià).

證明(法1)如果Un和Bn雙全純等價(jià)，那么存在雙全純映射F，有F(Bn)=Un，由于Bn是有界圓型可遞域，Un也是圓型域，那么必存在線性映射把Bn映為Un，但線性映射把球映為橢球，不可能是多圓柱.這個(gè)矛盾證明了Un和Bn不是雙全純等價(jià)的.

任意一個(gè)雙全純映射f：D→G=f(D)建立群的同構(gòu)f*：AutD→AutG，定義為f*：φf(shuō)°φ°f-1，φ∈AutD.因此群AutD和AutG之間的同構(gòu)是域D和G之間雙全純等價(jià)的必要條件[11].若域之間的自同構(gòu)群彼此不同構(gòu)，則這兩個(gè)域不雙全純等價(jià).下面利用多圓柱Un與單位球Bn的自同構(gòu)群來(lái)證明彼此不雙全純等價(jià).

是多圓柱的一個(gè)自同構(gòu)映射[1]，其中：b∈Un，θ1，…，θn∈R，置換τ：(1，2，…，n)→(1，2，…，n).由單位球與多圓柱自同構(gòu)映射的顯式形式，可知Aut(Bn)與Aut(Un)不同構(gòu).因此，單位球與多圓柱不雙全純等價(jià).

單位球Bn與多圓柱Un是復(fù)空間中最常見(jiàn)的域，它們均是單位圓盤(pán)在高維的推廣，下面利用文獻(xiàn)[1]中的方法來(lái)證明單位球Bn與乘積域Bn×Un也不雙全純等價(jià).

定理5多復(fù)變中單位球Bn與乘積域Bn×Un不雙全純等價(jià).

證明假設(shè)Bn和Bn×Un雙全純等價(jià)，那么存在Bn×Un上的雙全純映射γ，使得γ(Bn×Un)=Bn.由于Bn×Un是有界圓型可遞域，不妨設(shè)γ(0)=0.因?yàn)锽n是歐氏凸域，所以γ是Bn×Un上的凸映射，故

γ(z)=(ι1(z1)，…，ιn(zn))T.

其中：T是n階非奇異方陣；ιj(zj)(j=1，…，n)是單位圓盤(pán)|zj|<1上的凸映射.考慮

ζ(1)是Bn上的凸映射，因而ζ(1)°γ是Bn×Un上的凸映射，所以

即

t11，…，tn1中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)t11≠0，上式兩端對(duì)z1求導(dǎo)得

因?yàn)樽蠖耸莦1的函數(shù)，故可得t21=t31=…=tn1=0.

同理可得t12=t32=…=tn2=0.考慮

……

它們都是Bn上的凸映射，因此可得

所以

γ(z)=(t11ι1(z1)，…，tnnιn(zn))，

它不可能把Bn×Un映為Bn.

4 結(jié)語(yǔ)

本文綜述了復(fù)空間中若干域之間的雙全純等價(jià)，介紹了單位球與多圓柱不雙全純等價(jià)的兩種證明方法.同時(shí)本文將史濟(jì)懷利用多圓柱上凸映射的性質(zhì)來(lái)證明單位球與多圓柱不雙全純等價(jià)的方法推廣到了單位球與乘積域Bn×Un，證明了單位球與乘積域Bn×Un不雙全純等價(jià).