緊抓基底明辨真假“距離”

摘要：文章通過講解高三模擬試卷中有關(guān)OC=xOA+yOB的向量題時(shí)，發(fā)現(xiàn)必須強(qiáng)調(diào)緊抓基底，讓學(xué)生用基底表示點(diǎn)，進(jìn)而進(jìn)行解題，從而避免學(xué)生對(duì)題目的誤解.

關(guān)鍵詞：基底;距離;向量夾角;最值

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）13-0007-03

在講解高三數(shù)學(xué)試卷時(shí)，用最簡單、最迅速的辦法解出小題是高三師生追求的共同目標(biāo)，教師在講解小題時(shí)慣性思維占去了部分思考空間，也為師生解題提供了簡便快捷的通道.教師帶領(lǐng)學(xué)生思考一個(gè)問題的多種解法，有利于學(xué)生思維的發(fā)散與知識(shí)的融合.但如果學(xué)生對(duì)問題的理解深度尚淺，學(xué)生自行鉆研可能因?yàn)楹雎詶l件走入誤區(qū)，那么，此時(shí)對(duì)于小題進(jìn)行大做不僅能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)因，而且能發(fā)現(xiàn)本題精髓及解題奧秘，更能進(jìn)行拓展，開闊學(xué)生思維深度與廣度，做以適當(dāng)總結(jié)，即可明了知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的解題類型與解題方法.以下探討一道高三模擬的向量題：

原題給定兩個(gè)長度為1，且互相垂直的平面向量OA和OB，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心、|OA|為半徑的劣弧AB上運(yùn)動(dòng)，若

OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，則x2+（y-1）2的最大值為.

教師講解建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=i，OB=j，則

點(diǎn)C在劣弧AB上運(yùn)動(dòng)，

點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y）.

則x2+（y-1）2表示點(diǎn)（0，1）到點(diǎn)（x，y）距離的平方.

所以，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A處時(shí)，x2+（y-1）2的值最大，為12+（0-1）2=2 .

學(xué)生解答建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=-i，OB=-j，則

點(diǎn)C在劣弧AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y）.

則x2+（y-1）2表示點(diǎn)（0，1）到點(diǎn)（x，y）距離的平方.

所以，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B處時(shí)，x2+（y-1）2的值最大，為02+（-1-1）2=4 .

質(zhì)疑1兩種解法思路相同，為何答案不同？

學(xué)生解答出現(xiàn)的問題是：

未注意到“

OC=xOA+yOB”的含義.

“OC=xOA+yOB”指以O(shè)A和OB為基底來表示OC及點(diǎn)（0，1）.

學(xué)生出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因與教師給的解法有很大關(guān)系，教師給的解法中，OA=i，OB=j，此時(shí)，點(diǎn)（0，1）與點(diǎn)（x，y）都是以O(shè)A和OB為基底來表示的，雖然結(jié)果正確，但是未強(qiáng)調(diào)OC=xOA+yOB的含義，更是用了特殊代替一般.

而學(xué)生給的解法中，OA=-i，OB=-j，此時(shí)，點(diǎn)（0，1）與點(diǎn)（x，y）都不是以O(shè)A和OB為基底來表示的，只是確定了點(diǎn)C所在區(qū)域，忽略了條件OC=xOA+yOB.

本題一般解法如下：

方法1如圖2所示，顯然有

|OA|=|OB|=1，OA⊥OB.

因?yàn)镺C=xOA+yOB，其中x，y∈R，

所以點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），

點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1），

點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y）.

則x2+（y-1）2表示點(diǎn)B（0，1）到點(diǎn)C（x，y）距離的平方.

所以，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A處時(shí)，x2+（y-1）2的值最大，為12+（0-1）2=2 .

方法2因?yàn)辄c(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心，1為半徑的劣弧AB上運(yùn)動(dòng)，記∠AOC=θ.

則圓的方程為x=cosθ，y=sinθ，其中θ∈[0°，90°].

所以（x-1）2+y2=（cosθ-1）2+sin2θ

=2-2cosθ.

因?yàn)棣取蔥0°，90°]，

所以cosθ∈＼[0，1＼].

所以當(dāng)θ=90°時(shí)，cosθ=0，（x-1）2+y2取得最大值2.

質(zhì)疑2式子x2+（y-1）2是表示點(diǎn)（0，1）到點(diǎn)（x，y）距離的平方嗎？

將上題中“互相垂直的平面向量OA和OB”改成“所成角為60°的平面向量OA和OB”，其他條件不變，則x2+（y-1）2的最大值為.

解法1如圖4所示，|OA|=|OB|=1，

OA與OB所成角為60°，

因?yàn)镺C=xOA+yOB，其中x，y∈R，

所以點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），

點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1），

點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y）.

則x2+（y-1）2表示點(diǎn)B（0，1）到點(diǎn)C（x，y）距離的平方.

所以，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A處時(shí)，x2+（y-1）2的值最大，為12+（0-1）2=2 .

解法2建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)OA=（1，0），OB=（12，32），OC=（m，n），

則m2+n2=1，12≤m≤1，0≤n≤32.

因?yàn)镺C=xOA+yOB，

所以x+y2=m，32y=n.

解得x=m-33n，y=233n.

所以x2+（y-1）2=（m-33n）2+（233n-1）2=2-233n（m+2）.

因?yàn)?2≤m≤1，0≤n≤32，

所以x2+（y-1）2≥2.

即x2+（y-1）2的最大值為2 .

結(jié)論只有當(dāng)單位向量OA和OB所成角為90°時(shí)，式子x2+（y-1）2才表示點(diǎn)（0，1）到點(diǎn)（x，y）的距離平方.而當(dāng)單位向量OA和OB所成角為60°時(shí)，式子x2+（y-1）2表示點(diǎn)（0，1）到點(diǎn)（x，y）的“距離”平方，這時(shí)不是真正意義上的距離，解題時(shí)需要緊抓基底，用基底表示各點(diǎn)的坐標(biāo).用上述方法還可得出當(dāng)平面向量OA和OB所成角為θ（0°<θ<180°）時(shí)，x2+（y-1）2的最大值均為2.

參考文獻(xiàn)：

[1]

劉穩(wěn)殿.橫看成嶺側(cè)成峰，一題多解妙無窮—一道最值問題的解法探究＼[J＼].數(shù)理化解題研究，2021（13）：2-3.

[2] 劉穩(wěn)殿.盛金公式與高考導(dǎo)數(shù)題奇遇記＼[J＼].數(shù)理化解題研究，2021（19）：74-75.

[3] 亓秋昌.借助向量雙重性妙解相關(guān)數(shù)學(xué)題＼[J＼].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（18）：35-37.

[責(zé)任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：劉穩(wěn)殿（1985.8-），男，陜西省旬陽人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

[FQ）]