摘要:文章通過講解高三模擬試卷中有關(guān)OC=xOA+yOB的向量題時(shí),發(fā)現(xiàn)必須強(qiáng)調(diào)緊抓基底,讓學(xué)生用基底表示點(diǎn),進(jìn)而進(jìn)行解題,從而避免學(xué)生對(duì)題目的誤解.
關(guān)鍵詞:基底;距離;向量夾角;最值
中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2022)13-0007-03
在講解高三數(shù)學(xué)試卷時(shí),用最簡單、最迅速的辦法解出小題是高三師生追求的共同目標(biāo),教師在講解小題時(shí)慣性思維占去了部分思考空間,也為師生解題提供了簡便快捷的通道.教師帶領(lǐng)學(xué)生思考一個(gè)問題的多種解法,有利于學(xué)生思維的發(fā)散與知識(shí)的融合.但如果學(xué)生對(duì)問題的理解深度尚淺,學(xué)生自行鉆研可能因?yàn)楹雎詶l件走入誤區(qū),那么,此時(shí)對(duì)于小題進(jìn)行大做不僅能夠發(fā)現(xiàn)學(xué)生錯(cuò)因,而且能發(fā)現(xiàn)本題精髓及解題奧秘,更能進(jìn)行拓展,開闊學(xué)生思維深度與廣度,做以適當(dāng)總結(jié),即可明了知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的解題類型與解題方法.以下探討一道高三模擬的向量題:
原題給定兩個(gè)長度為1,且互相垂直的平面向量OA和OB,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心、|OA|為半徑的劣弧AB上運(yùn)動(dòng),若
OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,則x2+(y-1)2的最大值為.
教師講解建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)OA=i,OB=j,則
點(diǎn)C在劣弧AB上運(yùn)動(dòng),
點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y).
則x2+(y-1)2表示點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)(x,y)距離的平方.
所以,當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A處時(shí),x2+(y-1)2的值最大,為12+(0-1)2=2 .
學(xué)生解答建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)OA=-i,OB=-j,則
點(diǎn)C在劣弧AB上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y).
則x2+(y-1)2表示點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)(x,y)距離的平方.
所以,當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B處時(shí),x2+(y-1)2的值最大,為02+(-1-1)2=4 .
質(zhì)疑1兩種解法思路相同,為何答案不同?
學(xué)生解答出現(xiàn)的問題是:
未注意到“
OC=xOA+yOB”的含義.
“OC=xOA+yOB”指以O(shè)A和OB為基底來表示OC及點(diǎn)(0,1).
學(xué)生出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的原因與教師給的解法有很大關(guān)系,教師給的解法中,OA=i,OB=j,此時(shí),點(diǎn)(0,1)與點(diǎn)(x,y)都是以O(shè)A和OB為基底來表示的,雖然結(jié)果正確,但是未強(qiáng)調(diào)OC=xOA+yOB的含義,更是用了特殊代替一般.
而學(xué)生給的解法中,OA=-i,OB=-j,此時(shí),點(diǎn)(0,1)與點(diǎn)(x,y)都不是以O(shè)A和OB為基底來表示的,只是確定了點(diǎn)C所在區(qū)域,忽略了條件OC=xOA+yOB.
本題一般解法如下:
方法1如圖2所示,顯然有
|OA|=|OB|=1,OA⊥OB.
因?yàn)镺C=xOA+yOB,其中x,y∈R,
所以點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0),
點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,1),
點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y).
則x2+(y-1)2表示點(diǎn)B(0,1)到點(diǎn)C(x,y)距離的平方.
所以,當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A處時(shí),x2+(y-1)2的值最大,為12+(0-1)2=2 .
方法2因?yàn)辄c(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心,1為半徑的劣弧AB上運(yùn)動(dòng),記∠AOC=θ.
則圓的方程為x=cosθ,y=sinθ,其中θ∈[0°,90°].
所以(x-1)2+y2=(cosθ-1)2+sin2θ
=2-2cosθ.
因?yàn)棣取蔥0°,90°],
所以cosθ∈\[0,1\].
所以當(dāng)θ=90°時(shí),cosθ=0,(x-1)2+y2取得最大值2.
質(zhì)疑2式子x2+(y-1)2是表示點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)(x,y)距離的平方嗎?
將上題中“互相垂直的平面向量OA和OB”改成“所成角為60°的平面向量OA和OB”,其他條件不變,則x2+(y-1)2的最大值為.
解法1如圖4所示,|OA|=|OB|=1,
OA與OB所成角為60°,
因?yàn)镺C=xOA+yOB,其中x,y∈R,
所以點(diǎn)A坐標(biāo)為(1,0),
點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,1),
點(diǎn)C坐標(biāo)為(x,y).
則x2+(y-1)2表示點(diǎn)B(0,1)到點(diǎn)C(x,y)距離的平方.
所以,當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A處時(shí),x2+(y-1)2的值最大,為12+(0-1)2=2 .
解法2建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)OA=(1,0),OB=(12,32),OC=(m,n),
則m2+n2=1,12≤m≤1,0≤n≤32.
因?yàn)镺C=xOA+yOB,
所以x+y2=m,32y=n.
解得x=m-33n,y=233n.
所以x2+(y-1)2=(m-33n)2+(233n-1)2=2-233n(m+2).
因?yàn)?2≤m≤1,0≤n≤32,
所以x2+(y-1)2≥2.
即x2+(y-1)2的最大值為2 .
結(jié)論只有當(dāng)單位向量OA和OB所成角為90°時(shí),式子x2+(y-1)2才表示點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)(x,y)的距離平方.而當(dāng)單位向量OA和OB所成角為60°時(shí),式子x2+(y-1)2表示點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)(x,y)的“距離”平方,這時(shí)不是真正意義上的距離,解題時(shí)需要緊抓基底,用基底表示各點(diǎn)的坐標(biāo).用上述方法還可得出當(dāng)平面向量OA和OB所成角為θ(0°<θ<180°)時(shí),x2+(y-1)2的最大值均為2.
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[責(zé)任編輯:李璟]
收稿日期:2022-02-05
作者簡介:劉穩(wěn)殿(1985.8-),男,陜西省旬陽人,本科,中學(xué)一級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.
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