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    數(shù)學(xué)理科試題(適用于全國卷)

    2022-05-23 01:44:06劉海濤
    數(shù)理化解題研究 2022年13期
    關(guān)鍵詞:次品指標(biāo)值圖象

    劉海濤

    (安徽省蕪湖市第一中學(xué) 241000)

    一、選擇題

    A. (-2,+∞) B. (-∞,2) C.AD.B

    解題思路因?yàn)锳=(-3,+∞),所以A∪B=A,故選C.

    3.若函數(shù)y=(a2-2a-2)xa2-3a-4為冪函數(shù),且圖象與兩坐標(biāo)軸無交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的值為( ).

    A.3 B.3或1 C.3或-1 D.-1

    解題思路由于函數(shù)y=(a2-2a-2)xa2-3a-4為冪函數(shù),所以a2-2a-2=1.又冪函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸無交點(diǎn),所以a2-3a-4≤0,解得a=3或a=-1,故選C.

    4.為貫徹落實(shí)黨中央關(guān)于黨史學(xué)習(xí)教育的總體部署,今年4月,教育部在中小學(xué)部署開展了“從小學(xué)黨史 永遠(yuǎn)跟黨走”主題教育活動.某校開展了學(xué)黨史讀書活動,學(xué)生積極參加,現(xiàn)對該校學(xué)生每周學(xué)黨史讀書時間進(jìn)行統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果繪制成頻率分布直方圖,如圖1,則該校學(xué)生每周學(xué)黨史讀書的平均時間(單位:小時)為( ).

    圖1

    A.11.6 B.11.20 C.11.25 D.11.30

    解題思路由題意得頻率之和為1,即(0.1+a+0.4+0.25+0.1)×1=1,解得a=0.15,則學(xué)黨史讀書時間的平均數(shù)為9.5×0.10+10.5×0.15+11.5×0.40+12.5×0.25+13.5×0.10=11.6(小時),故選A.

    解題思路依題意,得

    故選B.

    6.已知函數(shù)f(x)=ln(x+2)+m的圖象不經(jīng)過第二象限,則m的取值范圍為( ).

    A.m<-ln2 B.m≤-ln2

    C.m>ln2 D.m≥ln2

    解題思路由對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),可知函數(shù)f(x)在(-2,+∞)單調(diào)遞增,若函數(shù)圖象不經(jīng)過第二象限,則ln(0+2)+m≤0,解得m≤-ln2.

    故選B.

    7.已知等比數(shù)列{an}中,a1=1,a9=64,則a5=( ).

    A.8 B.-8 C.10 D.±8

    故選A.

    圖2

    A.①②④ B.②③④ C.①②⑤ D.③④⑤

    解題思路1 由題知兩條漸近線方程為4x±3y=0,設(shè)P(x0,y0),則lPP1:3x+4y-3x0-4y0=0,lPP2:3x-4y-3x0+4y0=0.

    故選D.

    11.由0,1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),從中任意抽取一個,則其恰好為“前3個數(shù)字保持遞增,后3個數(shù)字保持遞減”(如五位數(shù)“12543”,前3個數(shù)字“125”保持遞增,后3個數(shù)字“543”保持遞減)的概率是( ).

    C.(-1,1) D.(-1,+∞)

    由g(x)與f(x)互為反函數(shù),得

    即ea-1=a,構(gòu)造函數(shù)φ(x)=ex-1-x,求導(dǎo)得φ′(x)=ex-1-1,當(dāng)x<1時φ′(x)<0,當(dāng)x>1時φ′(x)>0,所以φ(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.

    二、填空題

    綜上該展開式中含x2項的系數(shù)為46.

    14.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2>a2+c2,sinB=sinC.設(shè)△ABC的面積為S,若4bS=a(b2+c2-a2),則A=____.

    解題思路由4bS=a(b2+c2-a2),得2abcsinB=2abccosA,即sinB=cosA.

    由b2>a2+c2,得cosB<0,即B為鈍角.

    又sinB=sinC,所以cosA=cos2A.

    圖3

    三、解答題

    17.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=2an-1(n∈N*).

    (1)證明:數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求an.

    解題思路(1)當(dāng)n=1時,得a1=1.當(dāng)n>2時,Sn-1=2an-1-1,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1.所以an=2an-1.所以{an}是以1為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以an=2n-1.

    (2)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d(d≥0),則T1=b1=2,T2=4+d,T3=6+3d.

    所以Tn=n2+n.

    所以Wn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1.

    故2Wn=1·21+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n.

    兩式相減,得

    -Wn=20+21+22+…+2n-1-n·2n

    =2n-1-n·2n.

    所以Wn=(n-1)·2n+1.

    18.新冠病毒變異株奧密克戎導(dǎo)致歐美多國新冠病例數(shù)激增,為全球抗疫帶來新的挑戰(zhàn).某市防疫部門為保障該市的防疫物資質(zhì)量,聯(lián)合質(zhì)檢部分對該市甲、乙兩家口罩生產(chǎn)企業(yè)進(jìn)行檢查,分別從這兩家企業(yè)生產(chǎn)的某種同類口罩中隨機(jī)抽取了100個作為樣本,并以樣本的一項關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)值為檢測依據(jù).

    已知該質(zhì)量指標(biāo)值對應(yīng)的產(chǎn)品等級如下:

    質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)等級次品二等品一等品二等品三等品次品

    根據(jù)質(zhì)量指標(biāo)值的分組,統(tǒng)計得到了甲企業(yè)的樣本頻率分布表和乙企業(yè)的樣本頻數(shù)分布直方圖(如圖4,其中a>0).

    質(zhì)量指標(biāo)值[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)頻數(shù)2184814162

    (1)為確??谡质褂谜叩姆酪甙踩裕灼髽I(yè)將所有次品口罩銷毀,并將一、二、三等品的售價分別定為2元、1元、0.5元.一名顧客隨機(jī)購買了甲企業(yè)銷售的2個口罩,記其支付費(fèi)用為X元,用頻率估計概率,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

    (2)如果你是某學(xué)校的后勤采購人員,需要為學(xué)校師生采購口罩,請你根據(jù)圖表數(shù)據(jù),自定標(biāo)準(zhǔn),對甲、乙兩企業(yè)口罩質(zhì)量的優(yōu)劣情況進(jìn)行比較,來決定購買哪個企業(yè)生產(chǎn)的口罩.

    隨機(jī)變量X的分布列為:

    X11.522.534P1361919161314

    (2)答案不唯一,參考如下:

    ①以口罩的合格率(非次品的占有率)為標(biāo)準(zhǔn),對甲、乙兩家企業(yè)的口罩質(zhì)量進(jìn)行比較,由圖表可知,(a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080)×5=1,得a=0.008,所以乙企業(yè)的樣本中次品的頻率為(a+0.020)×5=0.14,則合格率約為0.86,甲企業(yè)口罩的合格率約為0.96,所以甲企業(yè)口罩的合格率高于乙企業(yè)口罩的合格率,故認(rèn)為甲企業(yè)的口罩生產(chǎn)質(zhì)量更高,故采購甲企業(yè)的口罩.

    ②以口罩中一等品的概率為標(biāo)準(zhǔn),對甲、乙兩家企業(yè)的口罩質(zhì)量進(jìn)行比較,根據(jù)圖表可知,甲企業(yè)口罩中一等品的概率約為0.48,乙企業(yè)口罩中一等品的概率約為0.4,即甲企業(yè)口罩中一等品的概率高于乙企業(yè)口罩中一等品的概率,所以甲企業(yè)的口罩生產(chǎn)質(zhì)量更高,故選擇采購甲企業(yè)的口罩.

    圖5 圖6

    (1)求證:平面ABD⊥平面ADC;

    (2)求直線AC與平面ADE所成角的正弦值.

    圖7

    圖8

    (1)求橢圓Γ的離心率;

    (2)若橢圓Γ的短軸長為2,直線AB與AC分別交直線l:x=a+1于E,F(xiàn)兩點(diǎn),求△AEF的面積最小時,k1+k2的值.

    21.已知函數(shù)f(x)=e-x+sinx,g(x)=ax(a∈R).

    (2)若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間(0,2π)內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

    當(dāng)x∈(0,t)時,f″(x)>0,f′(x)單調(diào)遞增;

    當(dāng)x∈(0,x0)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

    所以x0為f(x)的極大值點(diǎn),得證.

    (2)由題意可知h(x)=e-x+sinx-ax在(0,2π)上單調(diào)遞減,則h′(x)=-e-x+cosx-a≤0在(0,2π)上恒成立,參變分離得a≥-e-x+cosx,x∈(0,2π),令φ(x)=-e-x+cosx,x∈(0,2π),φ′(x)=e-x-sinx,當(dāng)x∈(π,2π)時,φ′(x)>0恒成立,所以φ(x)在(π,2π)上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(0,π)時,φ″(x)=-e-x-cosx單調(diào)遞增,

    φ″(0)=-e0-cos0=-2<0,

    綜上,a≥φ(2π)=1-e-2π.

    (1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程;

    所以-1

    因?yàn)閥≠-1,所以曲線C1的極坐標(biāo)方程為

    23.已知f(x)=|2x-2|+|x+3|,

    (1)求不等式f(x)≤x+3的解集;

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